Метод контурных токов в матричной форме

Вернемся к схеме замещения рис. 1.5, на которой показаны три независимые контуры и принятые положительные направления обхода этих контуров. Без доказательства, которое базируется на уравнениях второго закона Кирхгофа и закона Ома [1], рассмотрим матричное выражение системы контурных уравнений:

. (1.25)

Здесь — квадратная неособенная матрица порядка k, называемая матрицей контурных сопротивлений, где k — число независимых контуров, определяемое как k =m-n, m — число ветвей, n — число независимых узлов.

Как видно, использование системы контурных уравнений также позволяет сократить порядок решаемой системы уравнений.

В (1.25) — матрица – столбец контурных токов;

Е_к — матрица – столбец контурных ЭДС.

Остальные обозначения такие же, что при записи уравнений законов Кирхгофа (см. п. 1.5).

Формируется и решается система контурных уравнений (1.25), находятся токи контуров , а по ним — токи ветвей

. (1.26)

Затем рассчитываются напряжения в узлах и мощности ветвей.

Дерево и хорды графа

Вернемся к направленному графу схемы замещения рис. 1.5.

В направленном графе удобно ветви разделить на две группы:

дерево графа и хорды.

1 2

Рис. 10 Возможные варианты деревьев графа, показанного выше

Дерево графа — это подграф, состоящий из совокупности минимального числа ветвей, которые соединяют все узлы. Дерево графа — это подграф, который не содержит замкнутых контуров. На рис.10.1 ветви 1,2,3 составляют дерево графа, остальные ветви называются хордами. Деревьев можно выделить много, оно не единственное, на рис 10.2 — ветви 1, 2,4 составляют другое дерево графа.

Число ветвей дерева равно числу независимых узлов, а число хорд равно числу независимых контуров. Из множества деревьев выделим дерево, ветвям которого присвоены первые номера (дерево рис 10.1). Для приведенного выше графа составим первую матрицу соединений М. Проведём в ней перегородку, выделив столбцы, соответствующие ветвям дерева 1, 2, и 3. В результате матрица М может быть представлена как клеточная матрица – строка, элементы которой — матрицы и .

(1.27)

1 2 3 4 5 6

Ветви дерева хорды

Заметим, что матрица , определяющая, как ветви дерева связаны с узлами, всегда квадратная, так как число ветвей дерева равно числу независимых узлов, и, следовательно, может быть обращена. Матрица фигурирует в контурном уравнении (1.25) и в выражении для токов ветвей (1.26).

Метод контурных токов в программных комплексах для расчетов установившихся режимов используется редко, из – за сложности и неоднозначности выделения независимых контуров.