Определение истинного значения измеряемой физической величины и погрешности измерений

Опыт показывает, что при любых экспериментальных исследованиях невозможно найти истинное значение физической величины, а можно лишь получить наилучшую приближенную оценку истинного значения измеряемой величины.

Теория погрешностей дает возможность оценить истинное значение измеряемой величины следующим образом. Пусть в результате измерений получен ряд значений некоторой физической величины –Х₁, Х₂, Х₃,,Х_i…, Х_N., где i=1,N; причем .

Это неравенство значений –Х_i обусловлено существованием различных случайных факторов. Согласно теории случайные факторы влияют равновероятно как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения измеряемой величины, следовательно среди всего набора величин Х_N найдется некоторая часть значений Х¹_i, которые меньше и часть значений Х_i¹¹,которые больше истинного значения измеряемой величины. Введя обозначение истинного значения измеряемой величины через букву «а» можно записать следующее:

Х_i¹,< а < Х_i¹¹ (1)

Очевидно, что используя, этот же прибор и проведя измерения в тех же самых условиях любой другой испытатель получит свой индивидуальный набор значений Х¹_N, но в этом случае для этих измерений будет справедливо равенство (1). Каждая последующая серия опытов Х_N Х¹_N Х_N¹¹ Х_N¹¹¹ ... и т.д., будет отличаться друг от друга. В результате этого возникает вопрос, какому же набору Х_N верить и как определить истинное значение измеряемой величины «а».

В теории погрешности доказывается, что наиболее достоверной приближенной оценкой истинного значения измеряемой величины «а» является среднее арифметическое, определяемое по формуле:

, (2)

где N -количество измерений, X - любая физическая величина.

В теории погрешностей вводят понятие абсолютной погрешности отдельного измерения, которое обозначается величиной DX_i.

Абсолютной погрешностью отдельного измерения называют величину DX_i, равную разности между значением i-го измерения и средним значением X_ср, взятым по модулю. Аналитически можно записать так:

(3)

Средней абсолютной погрешностью измерения называется среднее арифметическое абсолютных погрешностей отдельных измерений, которое определяется соотношением:

(4)

Величина DX_ср указывает границы, в которых заключено точное значение искомой физической величины или так называемый доверительный интервал погрешности измерений.

Абсолютная погрешность DX_ср хотя и характеризует качество измерений, но не является исчерпывающей характеристикой. Для оценки точности измерений в теории погрешностей вводится понятие об относительной погрешности измерений.

Относительной погрешностью измерений называют отношение абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины, выраженной в процентах, которая определяется по формуле:

(5)

Рассмотрим пример. Пусть в результате измерения некоторой физической величин X получены следующие экспериментальные значения, которые занесены в таблицу 1., где N число измерений.

Таблица 1.

N	1	2	3	4	5	6	7
Х	5,2	5,7	5,5	5,0	4,8	5,3	5,2

Согласно формулы (2) оценим X_ср, - среднее арифметическое

По формуле (3) найдем абсолютные погрешности отдельных измерений для данных значений, тогда получим:

DХ₁=½5,2 -5,24½=0,04

DХ₂=½5,7 -5,24½=0,46

аналогично получим для всех семи измерений

DХ₃₌0,26; DХ₄=0,24; DХ₅= 0,44; DХ₆=0,06; DХ₇=0,04

С учетом найденных DХ можно определить среднюю абсолютную погрешность результата измерения по формуле (4).

Из последнего следует, что истинное значение измеряемой величины «а» лежит в пределах от Х_ср –DХ_ср до Х_ср+DХ_ср или можно записать так называемый доверительный интервал

Х_ср-DХ_ср < а < Х_ср+DХ_ср (6)

Для рассмотренного случая истинное значение лежит в интервале значений 5,02 < а < 5,46

Этот интервал называют доверительным интервалом измеряемой величины для данного примера.

Согласно этих оценок можно записать окончательный результат измерений: a =5,24 ±0,22.

Для оценки точности измерений вычислим окончательную погрешность измеряемой величины по формуле (5) и получим

Таким образом, относительная погрешность для приведенного примера будет составлять e =4,2%.