Оценка истинного значения величины и достоверность

РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

Оценка истинного значения как прямых, так и косвенных измерений начинается с анализа систематических погрешностей. Для его проведения рекомендуется правило 2 (см. 5).

Определив исключаемую систематическую погрешность, вносят соответствующую поправку в результат измерений или вычислений. Оценка неисключенной систематической погрешности прямых измерений позволяет решить вопрос о числе измерений. Если эта погрешность существенно (на 30% или более) превосходит приборную, то она оценивается «на глазок», на основании интуиции и опыта. Измерения проводятся дважды. Второе измерение только для контроля. Если неисключаемая систематическая погрешность определяется приборной погрешностью, то измерения проводятся многократно и их результаты рекомендуется записывать в таблицу (см. 9).

Среднее арифметическое значение – это точечная и наиболее вероятная оценка истинного значения равноточных измерений. Вероятностная природа результатов измерений и их ошибок требует определения истинного значения с помощью доверительного интервала (х_ср+Δх), значение которого бессмысленно без указания надежности оценки, доверительной вероятности. В лабораторном практикуме рекомендуется надежность, равная 0,95.

Рассчитав по формуле (2.8) абсолютную погрешность Δх, конечный результат прямых измерений записывают в виде (2.10). В аналогичной форме записываются и косвенные измерения. Для вычисления абсолютной погрешности ΔU косвенных измерений определяется их класс и с помощью граф-схемы (рис. 1; 2) выбирается вариант расчета. Косвенные измерения I класса в большинстве случаев рекомендуется обрабатывать по третьему варианту, через относительную погрешность, вывод расчетной формулы которой облегчается, если использовать правило 1.

Оценка истинного значения измеряемой величины будет завершенной, если вы убедитесь в достоверности полученных результатов. Это можно осуществить путем:

а) сопоставления с результатами других авторов, например, с данными справочников;

б) сопоставления расчетных и экспериментальных значений или путем проверки выполнения законов сохранения (энергии, массы) для опытных данных;

в) сопоставления результатов, полученных исследователем по различным методикам. Так, объем цилиндра, рассчитанный по значениям диаметра и высоты, можно определить с помощью мензурки по «увеличению» объема жидкости при погружении в нее цилиндра. Объем цилиндра можно определить и по уменьшению его веса в воде. Число, определяющее уменьшение веса тела в граммах, есть объем тела в кубических сантиметрах.

В выводах по результатам измерений в лабораторной работе дайте анализ точности измерений, укажите, какие величины вносят наибольший вклад в погрешность косвенных измерений, предложите рекомендации по увеличению точности измерений.

Таким образом, оценить истинное значение величины – это значит:

1. Выявить систематические погрешности и учесть их.

2. Задавшись определенной надежностью, рассчитать доверительный интервал.

3. Определить относительную погрешность.

4. Убедиться в достоверности полученного результата.

ГРАФИКИ

В лабораторных работах для наглядности или для дальнейших вычислений часто требуется иметь график зависимости одной физической величины от другой. На графиках по горизонтальной оси принято откладывать независимую переменную, т.е. величину, значения которой задает экспериментатор, а по вертикальной оси – функцию этой величины. На осях координат указывают название или символ величины, наименование единиц измерения и основные деления.

Если в работе требуется экстраполяция графика, то отсчет на осях координат следует начинать не с нуля, а таких значений, чтобы была возможность отметить все экспериментальные значения. Это позволит взять больший масштаб на том же самом листе бумаги и яснее раскрыть физическую сущность явления.

В тех областях, где ход кривой монотонный, можно ограничиться небольшим числом измерений. В области максимумов, минимумов и точек перегибов следует проводить измерения значительно чаще.

Масштаб должен быть простым и таким, чтобы при нанесении точек на график не приходилось делать сложные подсчеты. Половина значения его наименьшего деления должна быть не менее абсолютной погрешности данной величины. Это дает возможность указать на графике ошибку в экспериментальном значении, что делается с помощью знаков или , где половина отрезка соответствует абсолютной погрешности соответствующей физической величины.

Указав подобным образом области значений, где возможны истинные значения исследуемой величины, мы можем провести «наилучшую» плавную кривую или прямую. График должен проходить через все области и так, чтобы примерно половина экспериментальных точек оказалась по одну сторону, а другая половина – по другую сторону графика (см. рис. 5).

Рис. 5

Существуют строгие методы, позволяющие по данным экспериментальным точкам провести линию, которая в пределах ошибок измерений будет соответствовать истинному графику. Таким наиболее распространенным методом является метод наименьших квадратов. Но в случае малых выборок метод наименьших квадратов столь же некорректен, как и классическая теория ошибок [1].

ВЫЧИСЛЕНИЯ

Точность вычислений должна быть согласована с точностью самих измерений. При относительной погрешности измерений порядка 1+10% расчеты можно производить, пользуясь тремя значащими цифрами, при относительной погрешности измерений порядка 0,1+1% можно пользоваться четырехзначными цифрами и т.д.

Следует различать понятия «значащие цифры» и верные знаки числа. Значащие цифры – это все цифры числа, кроме нулей, стоящих в начале. Число 0,0247 имеет три значащие цифры (2, 4, 7). Количество верных знаков числа отсчитывается от первой значащей цифры числа до первой значащей цифры его абсолютной ошибки: например, если для числа а=0,0247 абсолютная ошибка Δа=0,0032, то число а имеет один верный знак (2), остальные знаки сомнительные.

Чтобы уменьшить накопление ошибок округления при вычислениях, во всех данных для расчета следует сохранять не только верные знаки, но и несколько сомнительных. Количество сохраняемых сомнительных знаков зависит от объема расчетов: если количество выполняемых действий измеряется десятками, надо сохранять один-два сомнительных знака, если количество действий измеряется сотнями, надо сохранять два-три сомнительных знака [6].

Использование этих рекомендаций и правил приближенных действий приводит к тому, что погрешность вычислений как минимум на порядок (т.е. в 10 раз) меньше погрешности результата косвенных измерений. Поэтому арифметические операции не могут существенно исказить результаты измерений.

В лабораторном практикуме измерения одной и той же величины повторяют обычно не более 10 раз. Погрешность абсолютной погрешности при 10 и меньшем числе измерений более 30%. Поэтому случайную погрешность нет смысла определять с точностью более двух значащих цифр. Если у погрешности первая значащая цифра , и более, то в конечной записи можно оставить только одну значащую цифру. Таким образом, вычисление абсолютной и относительной погрешности прямых и косвенных измерений целесообразно производить не боле чем с двузначными цифрами. В записи окончательного результата косвенных измерений следует сохранять один сомнительный знак. Примеры записи окончательных результатов измерений:

;

.

ПРИМЕРЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Пример 1. Определение объема цилиндра с помощью штангенциркуля.

Предваряющий измерения анализ систематических погрешностей проведен в разд. 5. Измерение диаметра D и высоты h цилиндра проведем в разных местах и различных положениях цилиндра. Результаты измерений и вычислений занесем в табл. 2 и 3, где ΔD_i=D_cp-D_i и Δh_i=h_cp-h_i – разности между средним и измеренным значением.

Таблица 2

№	Di, мм	ΔDi , мм	ΔDi2, мм2		Р и t
	21,2	0,1	0,01	= =0,045	P=0,95 t=2,8
	21,4	0,1	0,01
	21,3	0,0	0,00
	21,2	0,1	0,01
	21,4	0,1	0,01
Dср=21,3	ΔDпр=0,1 мм	ΔDcл=0,13 мм

D=(21,3+0,16) мм

ε=0,7% (9.1)

Р=0,95

где абсолютная погрешность ΔD=0,16 мм определяется соотношением .

Таблица 3

№	hi, мм	Δhi , мм	(Δhi)2, мм2		Р и t
	62,1	0,1	0,01	0,065	P=0,95 t=2,8
	62,3	0,2	0,04
	62,1	0,0	0,00
	61,9	0,2	0,04
	62,1	0,0	0,00
hср=62,1мм	Δhпр=0,1 мм	Δhсл=0,18 мм

h=(62.1+0,21) мм

ε=0,34% (9.2)

Р=0,95

Вычисляем среднее значение объема цилиндра:

(9.3)

и относительную погрешность (см. формулу 3.13):

; (9.4)

. (9.5)

Первые два слагаемых подкоренного выражения меньше последнего более чем в 5 раз. Ими при вычислении можно пренебречь. Вычисляем абсолютную погрешность объема:

→ ; (9.6)

. (9.7)

Записываем окончательный результат:

V=(221+3,3)*10² мм³;

ε=1,5%; (9.8)

Р=0,95.

Убедимся в достоверности полученного значения объема цилиндра. Для этого его погрузим в мензурку с водой. Увеличение «объема воды» составило 22 мл, что в пределах погрешности измерений соответствует рассчитанному значению объема цилиндра.

Пример 2. Определение индуктивности катушки.

Индуктивность катушки определим из соотношения

, (9.9)

где Z – полное сопротивление катушки;

R – ее омическое сопротивление;

ω – циклическая частота переменного тока.

Полное сопротивление Z определим из закона Ома I_эф=U_эф/Z. (9.10)

Проведем измерения силы тока I_эф в электрической цепи (рис. 6) при различных напряжениях.

Результаты измерений и вычислений внесем в таблицу. Отметим полное сопротивление Z – косвенное измерение II класса

Рис. 6 Таблица 4

№	Uэф, В	Iэф, А	Zi, Ом	ΔZi	ΔZi2	Р и t
		0,58				0,95 4,3
		0,70
		0,95	99,0
Zср=101	ΔZсл=5,2

Чтобы найти абсолютную погрешность ΔZ, необходимо рассчитать и ΔZ_пр, т.е. вклад приборных погрешностей и ΔZ. Из (9.10) на основании правила I имеем, что

. (9.11)

Для вольтметра на 150 В класса точности 0,5 ΔU_np=0.005*150В=0,75В, для амперметра на 1 А класса точности 1,5 ΔI_np=0,015*1А=0,015А. Учтя это, можно записать:

. (9.12)

Отсюда

. (9.13)

Так как , (9.14)

то в нашем случае

. (9.15)

Таким образом, имеем

Z=(101+5,5) Ом;

ε=5%; (9.16)

Р=0,95.

R – определяем с помощью моста постоянного тока. Учитывая, что погрешность моста 0,1%, окончательный результат можно записать в виде

R=(41,4+0,4) Ом;

ε=0,10%; (9.17)

Р=0,95.

Для сетевого переменного тока

ω=2πν, (9.18)

где ν=(50+0,1) Гц.

Зная R, Z, ω, легко рассчитать из уравнения (9.9) индуктивность L:

. (9.19)

Для определения точности L выведем формулу относительной погрешности. В соответствии с правилом определения относительной погрешности (правило 1) из формулы (9.9) имеем:

, (9.20)

, (9.21)

. (9.22)

Подставив значения, получим:

. (9.23)

Легко заметить, что последними тремя членами подкоренного выражения можно пренебречь. Вычисление ε и ΔL производится устно. В результате наших измерений и вычислений мы получим, что

L=(0,29+0,018) Гн;

ε=6%; (9.24)

Р=0,95.

Более детальный анализ методики измерений показывает, что мы допускаем систематическую погрешность при определении Z. В самом деле, мы определили Z как отношение показаний вольтметра U_эф к показаниям амперметра I_эф. Но из закона Ома

Z=U_эф/I_эф’, (9.25)

где I_эф’ – сила тока, идущего через катушку. Очевидно, что I_эф’ I_эф. Нетрудно показать, что если пренебречь индуктивным сопротивлением вольтметра в схеме (рис. 6), то

, (9.26)

где I_эф – показания амперметра;

U_эф – показания вольтметра;

R_V – сопротивление вольтметра.

При R_V →¥ Z=U_эф/I_эф. В нашем примере для U_эф=94В, I_эф=0,95А, Z=99,2Ом. Сравнивая с данными табл. 4, видим, что систематическая погрешность ΔZ_сист=0,2 Ом. Эта систематическая погрешность значительно меньше случайной и ей можно пренебречь. Более того, взяв различные напряжения, мы эту систематическую погрешность частично обратили в случайную, частично учли.

Вставив в катушку сердечник, мы получили I_эф=0,4А, U_эф=240В. Вольтметр стоял на пределе 300В, R_V=40кОм. Если вычислить по формуле (9.9), получим Z=609Ом, т.е. погрешность первоначальной методики 9Ом или 1,5%, что сравнимо с ошибкой величины Z (9.16). Следует помнить слова Менделеева Д. И. о том, что достойны внимания и обработки только те данные, где все влияния описаны, или, несомненно, приняты во внимание, т.е. вот почему, прежде чем измерять, необходимо тщательно проанализировать методику измерений, выявить и учесть систематические погрешности.

Для доказательства достоверности значений индуктивности катушки определите ее другим методом, например, с помощью моста Максвелла.

ЛИТЕРАТУРА

1. Агекян Т.А. Основы теории ошибок для астрономов и физиков.– 2-е изд. – М: Наука, 1972. –172с.

2. Касандрова О.Н, Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. – М.: Наука, 1970. – 104с.

3. Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин. –Л.:Наука, 1974. –108с.

4. Сквайрс Дж. Практическая физика/ Пер. с англ. под ред. Е.М. Лейкина. –М.: Мир, 1971. –246с.

5. Сурикова Е.И. Погрешности приборов и измерений. –Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. –160с.

6. Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. –М.: Наука, 1971. –192с.

7. Рабинович С.Г. Погрешности измерений. –Л.: Энергия, 1978. –262с.

8. Соловьев В.А., Яхонтова В.Е. Элементарные методы обработки результатов измерений. –Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. –72с.

9. Кортнев А.В. и др. Практикум по физике. –М.: Высшая школа, 1963. –516с.

10. Лабораторный практикум по физике: Учебное пособие для студентов втузов./Под ред. А.С. Ахматова. –М.: Высшая школа, 1980. –360с.

СОДЕРЖАНИЕ.

1. Классификация измерений и их ошибок 1

2. Вероятность. Плотность вероятности. Доверительный

интервал и доверительная вероятность 2

3. Определение погрешности косвенных измерений 5

4. Приборы и их погрешности 9

5. Выявление, оценка и учет систематических погрешностей 14

6. Оценка истинного значения величины и достоверность

результатов измерений 17

7. Графики 18

8. Вычисления 20

9. Примеры обработки результатов измерений 21

Литература 26