Вычисление погрешности многократных прямых измерений

Как уже указывалось, погрешность измерения складывается из случайной и систематической погрешностей. При этом случайные погрешности можно обрабатывать статистическими методами.

Случайная погрешность измерений.Случайная погрешность вычисляется по результатам многократных измерений (не менее четырех) величины при неизменных условиях каждого повторного опыта.

Среднее арифметическое значение вычисляется по формуле:

(1)

где – число результатов измерений; – –й результат измерения величины . Разность может принимать как положительные, так и отрицательные значения и указывает, насколько – й результат измерения отличается от среднего значения . По этим разностям рассчитывают стандартное отклонение, называемое средним квадратическим отклонением.

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) группы, содержащей n измерений, вычисляется по формуле

.

(2)

На основе теории погрешностей можно утверждать, что при повторном измерении величины достаточно большое количество раз, примерно 70% результатов попадут в интервал , около 95% – в интервал и все остальные результаты будут находиться внутри интервала .

При вычислении погрешности используют величину – среднее квадратическое отклонение среднего арифметического (стандартное отклонение среднего арифметического), которое в раз меньше среднего квадратического отклонения. Величина рассчитывается по следующей формуле

(3)

Cлучайная погрешность прямых измерений обозначается .Для ее нахождения используют так называемый коэффициент Стьюдента , умножая на него среднее квадратическое отклонение . Коэффициент Стьюдента является поправочным множителем, учитывающим тот факт, что количество повторений одного и того же измерения, как правило, меньше 15.

В случае многократных измерений доверительную вероятность принимают равной . Если измерения не представляется возможным повторить, то допускается указывать значение доверительной вероятности .

На основе результатов измерений величины , значение определяется по формуле

,

(4)

где – коэффициента Стьюдента;

– среднее квадратическое отклонение среднего арифметического, определяется по формулам (2), (3).

Значения коэффициента Стьюдента, рассчитанные теоретически, приводятся в таблице 1 для разного числа измерений и доверительной вероятности .

Таблица 1

Значения коэффициентов Стьюдента для случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с степенями свободы ( – количество измерений)

	Доверительная вероятность,
= 0,95 (95%)	= 0,99 (99%)
	3,182	5,841
	2,776	4,604
	2,571	4,032
	2,447	3,707
	2,365	2,998
	2,306	3,355
	2,262	3,250
	2,228	3,169
	2,179	3,055
	2,145	2,977
	2,120	2,921
	2,102	2,878
	2,086	2,845
	2,074	2,819
∞	1,960	2,576

Систематическая погрешность. Систематическая погрешность при прямых измерениях обозначают . В качестве этой погрешности принимают пределы погрешностей средств измерений. При этом границы систематической погрешности , при наличии менее трех её составляющих, оценивают по формуле

,

(5)

где – границы каждой из составляющих систематической погрешности .

Погрешность измерения. Погрешность измерения находят путем декомпозиции случайной и систематической погрешностей по следующей формуле

,

(6)

где определяется по формуле

,

(7)

в которой величина находится согласно выражению

,

а для коэффициента имеется эмпирическая формула

(8)

Чаще всего считают, что систематическая погрешность состоит из одной составляющей , за которую принимают предел допускаемой погрешности средства измерения, который указан в паспорте каждого измерительного прибора. Значение этой погрешности может быть также рассчитано по формуле

где – класс точности измерительного прибора (обычно указывается на шкале прибора);

– нормирующее значение (конечное значение рабочей шкалы).

За предел допускаемой погрешности средства измерения можно принять половину цены наименьшего деления шкалы прибора.

Иногда при многократных измерениях физической величины может получаться одно и то же её значение. Это означает, что случайная погрешность не превышает наименьшего значения, которое может быть измерено данным прибором. В таких случаях погрешность измерения целиком определяется допустимой погрешностью средства измерения, за которую принимают половину цены наименьшего деления шкалы прибора.

Правила сравнений погрешностей. Из формулы (7) видно, что если одно из значений или хотя бы в несколько раз меньше другого, то его вклад в погрешность измерения будет незначительным. Поэтому в таком случае меньшей погрешностью можно пренебречь. В частности, если и отличаются друг от друга в три или более раза, то можно принять, что погрешность измерения равна большей из величин и . В теории погрешностей показывается более строгое правило сравнения отклонений. Так, если то можно пренебречь . Тогда из формул (6), (8) получаем

(9)

Если же то пренебрегают случайным отклонением и погрешность измерения, рассчитанная по формулам (6), (8), принимает вид

.

(10)

Окончательный результат измерений записывается в виде

(11)

где – среднее арифметическое значение измеряемой величины; – доверительная вероятность.

Пример – Н=(14,82+0,03) мм, = 0,95.

Еще раз отметим, что числовое значение среднего арифметического измеряемой величины должно оканчиваться цифрой того разряда, что и значение погрешности измерения . При этом следует выражать не более чем двумя значащими цифрами.