Точечная и интервальная оценка случайной погрешности. Доверительный интервал

При обработке результатов многократных измерений необходимо оценить значение случайной погрешности. Точечной оценкой случайной погрешности является среднее квадратическое отклонение (СКО), его также называют стандартным отклонением. СКО, вычисленное на основе небольшого числа измерений (n<25), называют выборочным (S). При большом числе измерений определяют генеральное СКО (s).

(1)

где m – математическое ожидание.

СКО среднего значения рассчитывают по формуле

или (2)

Точечная оценка результата измерений ( , S) обычно является промежуточной, она является характеристикой МВИ.

На основе СКО вычисляют интервальную оценку случайной погрешности e, которая представляет собой доверительную границу случайной погрешности (доверительную погрешность) по одной из нижеуказанных формул в соответствии с тем, каким значением стандартного отклонения располагают (генеральным s или выборочным S).

или (3)

где t_p и t_p,f – квантили (границы) нормального распределения и распределения Стьюдента, соответственно.

Значения t_p,f определяют по числу степеней свободы f (f = n-1) и доверительной вероятности Р с помощью таблицы Стьюдента (приложение 3). Значение t_P находят как аргумент функции нормированного нормального распределения Ф(t) по приложению 4, используя формулу

Ф(t_р) = (4)

где Р – доверительная вероятность

Например, при заданной доверительной вероятности Р=0,95

Ф(t_р)= , из приложения 4 определяем t_0,95 =1,96.

Интервальная оценка результата измерения представляет собой доверительный интервал ±e, внутри которого с заданной доверительной вероятностью находится истинное значение измеряемой величины[§].

Нижняя граница доверительного интервала: Х_Н= .

Верхняя граница доверительного интервала: Х_В= .

Отсюда доверительная погрешность равна

(5)

Интервальная оценка является непосредственно характеристикой результата измерений, ее используют для представления конечных результатов в технических измерениях.

Алгоритм обработки результатов измерений

Алгоритм обработки рассмотрим на примере.

Пример. Имеется 6 результатов измерений плотности породы (г/см³): 2,44; 2,46; 2,48; 2,46; 2,45; 2,43. Систематическая погрешность и промахи отсутствуют. Определить доверительный интервал при Р=0,99.

Решение.

1) Расчет среднего арифметического значения. = 2,470 г/см³

2) Расчет выборочного СКО по формуле (1), при этом для удобства заполним вспомогательную таблицу[**].

№	Хi		2
	2,44	-0,03	0,0009
	2,48	0,01	0,0001
	2,51	0,04	0,0016
	2,47
	2,49	0,02	0,0004
	2,43	-0,04	0,0016
	S=14,82		S=0,0046

=0,0303 г/см³

3) Расчет СКО среднего значения по формуле (2)

г/см³

4) Определение доверительной границы случайной погрешности по формуле (3). По приложению 3 находим квантиль Стьюдента. t_0,95,10 =2,26.

=0,0280 г/см³

5) Определение границ доверительного интервала. С учетом правил доверительный интервал для плотности породы составляет (2,470±0,028) г/см³ при Р=0,95. Границы интервала: Х_Н=2,442, Х_В=2,498 г/см³.