Определение вероятности того, что измеренное значение не превышает установленные пределы

Вероятность нахождения величины Х в заданном интервале [а, b] находят с помощью нормированной нормальной функции распределения Ф(t) (приложение 3) по формуле

(6)

где m – математическое ожидание (среднее значение), а и b – нижняя и верхняя границы интервала соответственно, s – стандартное отклонение

Пример.Погрешность измерения давления пара состоит из систематической и случайной составляющих (закон распределения нормальный). Систематическая погрешность завышает показания на 0,12 МПа. СКО случайной составляющей равно 0,08 МПа. Необходимо оценить вероятность того, что погрешность результата измерения не превысит пределов ±0,15 МПа.

Решение.

Для решения задачи представим суммарную погрешность в виде случайной величины, распределенной по нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ=0,08 МПа и математическим ожиданием, равным систематической погрешности m=0,12 МПа. По формуле (6) найдем вероятность, используя таблицу нормированного нормального распределения (приложение 4)

= Ф(0,375)–Ф(-3,375)=Ф(0,375)–[1–Ф(3,375)]= 0,6462–1+0,99963 = 0,6458

Примечание. В приложении 4 приведены значения функции Ф(t) для t³0. При t<0 делаем замену: Ф(-t) = 1 – Ф(t)

Таким образом, вероятность того, что погрешность результата не выйдет за пределы ±0,15 МПа, составляет около 64,6 %.

В случае отсутствия систематической погрешности вероятность нахождения величины в заданном интервале находим по формуле (4), принимая математическое ожидание m=0

=Ф(1,875) – Ф(-1,875)=Ф(1,875)–[1–Ф(1,875)]=0,9696–1+0,9696= 0,9392

Следовательно, в отсутствии систематической погрешности вероятность того, что погрешность результата не превысит ±0,15 МПа, составляет 93,9 %. Рассмотренный пример показывает, целесообразность устранения систематической погрешности.

Задачи

1. Хронометраж технологической операции дал следующие результаты (в минутах):

Какой закон распределения результатов наблюдается?

2. Проведено измерение частоты f, кГц. Исключите «грубые погрешности». Неисключенная систематическая погрешность q составляет ±1 %. Дайте точечную и интервальную оценку результата измерения.

3. Сформулируйте правило «трех сигм».

4. По результатам 20 измерений давления определен доверительный интервал значений измеряемого давления (23,84¸24,37) МПа при доверительной вероятности Р=0,9. Определите доверительный интервал с вероятностью Р=0,95 (распределение по закону Стьюдента).

5. Допустимое отклонение температуры стали при выпуске из печи не должно превышать ±10 °C от заданного значения. Среднее квадратическое отклонение случайной составляющей погрешности σ=8 °C (закон распределения нормальный). Кроме того, имеет место систематическая погрешность -6 °C. Определите вероятность, с которой результат измерения температуры уложится в заданный интервал ±10 °C.

6. Результат измерения давления 1,695 Па, погрешность ±0,0184 Па. Запишите результат, пользуясь правилом округления.

7. Шестикратное измерение рН раствора привело к следующим значениям: 2,87; 2,84; 2,89; 2,86; 2,89; 2,87. Определите, какова вероятность отклонения среднего значения от математического ожидания более чем на ±0,03?

8. Определите границы доверительного интервала погрешности измерения температуры с вероятностью Р=0,95, если при большом числе измерений было получено: = 1072 °C, дисперсия s²=64 (°C)².

9. Проведено измерение температуры кипения воды в термостате. Определите систематическую и случайную погрешности, исключив при этом грубый результат. Случайную погрешность представьте в точечной и интервальной форме.

98,6

97,8

98,1

97,8

98,4

95,2

98,0

98,1

98,3

98,6

10. Шестикратное взвешивание слитка из золота дало следующие результаты, г: 72,361; 72,357; 72,352; 72,346; 72,344; 72,340 г. Определите доверительный интервал для среднего значения при доверительной вероятности 0,90; 0,95; 0,99. Какие изменения интервала наблюдаются?

11. Как отразится на результате измерений следование русской поговорке: «Семь раз отмерь – один раз отрежь»?

12. Обработка данных, полученных при калибровке образцовой многогранной призмы, дала следующие результаты для отклонения одного из углов призмы от номинального значения: =29,98¢¢; =0,05¢¢; q = 0,03¢¢; n =20. Запишите результат измерения (Р=0,95).

13. При тех же условиях, что и в предыдущей задаче, оказалось, что q – граница неисключенных остатков систематической погрешности из-за влияющей величины – равна не 0,03¢¢, а 0,17¢¢. Какая запись результата измерения должна быть в этом случае (Р=0,95)?

14. Какое количество измерений необходимо выполнить, чтобы при доверительной вероятности Р=0,95 и случайной погрешности измерений s=0,1 мм обеспечить точность e=0,07 мм.

Задания для самостоятельной работы

1. Постройте гистограмму по результатам измерений параметра и определите закон их распределения.

Вариант	Параметр	Результаты измерений
	Содержание цинка в руде, %	0,89	0,84	0,84	1,16	0,74	1,16	1,11	1,26	0,89	0,95
0,95	1,26	1,37	1,00	0,95	1,37	0,95	1,05	1,11	0,74
1,21	1,05	1,05	1,00	1,05	1,05	1,05	1,16	1,05	1,16
1,11	0,84	1,00	1,16	1,05	1,21	0,95	1,05	1,26	1,05
	Отклонения от номинального диаметра болта, мкм	20,9	19,7	19,7	27,1	17,2	27,1	25,8	29,5	20,9	22,1
22,1	29,5	32,0	23,4	22,1	32,0	22,1	24,6	25,8	17,2
28,3	24,6	24,6	23,4	24,6	24,6	24,6	27,1	24,6	27,1
25,8	19,7	23,4	27,1	24,6	28,3	22,1	24,6	29,5	24,6
	Время заполнения калиброванной емкости, мин	100,6	97,0	97,0	97,7	96,3	96,3	97,7	94,9	94,2	95,6
96,3	96,3	94,9	96,3	94,9	94,9	91,5	94,9	99,1	95,6
94,2	97,4	97,0	94,9	92,2	91,5	93,6	98,4	94,2	90,8
94,7	94,7	91,5	92,2	90,8	97,0	90,1	99,8	92,2	94,9
97,0	94,2	98,4	97,0	92,2	95,6	92,9	92,9	92,9	96,3
	ТермоЭДС, мВ	8,75	8,82	8,82	8,88	8,76	8,76	8,88	8,63	8,57	8,69
8,76	8,76	8,63	8,76	8,63	8,63	8,32	8,63	9,01	8,69
8,57	8,86	8,82	8,63	8,38	8,32	8,51	8,95	8,57	8,25
8,61	8,61	8,32	8,38	8,25	8,82	8,19	9,07	8,38	8,63
8,82	8,57	8,95	8,82	8,38	8,69	8,44	8,44	8,44	8,76
	Диаметр оси, мм	15,07	15,19	15,19	15,30	15,08	15,08	15,30	14,86	14,76	14,97
15,08	15,08	14,86	15,08	14,86	14,86	14,32	14,86	15,52	14,97
14,76	15,25	15,19	14,86	14,43	14,32	14,65	15,41	14,76	14,21
14,83	14,83	14,32	14,43	14,21	15,19	14,11	15,62	14,43	14,86
15,19	14,76	15,41	15,19	14,43	14,97	14,54	14,54	14,54	15,08
	Плотность породы, г/см3	5,0	5,1	5,1	5,1	5,0	5,0	5,1	5,0	4,9	5,0
5,0	5,0	5,0	5,0	5,0	5,0	4,8	5,0	5,2	5,0
4,9	5,1	5,1	5,0	4,8	4,8	4,9	5,1	4,9	4,7
4,9	4,9	4,8	4,8	4,7	5,1	4,7	5,2	4,8	5,0
5,1	4,9	5,1	5,1	4,8	5,0	4,8	4,8	4,8	5,0
	Содержание марганца в пробах стали, %	0,98	0,93	0,93	1,27	0,81	1,27	1,22	1,39	0,98	1,04
1,04	1,39	1,51	1,10	1,04	1,51	1,04	1,16	1,22	0,81
1,33	1,16	1,16	1,10	1,16	1,16	1,16	1,27	1,16	1,27
1,22	0,93	1,10	1,27	1,16	1,33	1,04	1,16	1,39	1,16
	Длина скорлупок крабов, см	2,51	2,36	2,36	3,24	2,06	3,24	3,10	3,54	2,51	2,65
2,65	3,54	3,83	2,80	2,65	3,83	2,65	2,95	3,10	2,06
3,39	2,95	2,95	2,80	2,95	2,95	2,95	3,24	2,95	3,24
3,10	2,36	2,80	3,24	2,95	3,39	2,65	2,95	3,54	2,95
	Содержание сульфидов в руде, %	2,18	2,20	2,20	2,22	2,19	2,19	2,22	2,15	2,14	2,17
2,19	2,19	2,15	2,19	2,15	2,15	2,08	2,15	2,25	2,17
2,14	2,21	2,20	2,15	2,09	2,08	2,12	2,23	2,14	2,06
2,15	2,15	2,08	2,09	2,06	2,20	2,04	2,26	2,09	2,15
2,20	2,14	2,23	2,20	2,09	2,17	2,11	2,11	2,11	2,19
	Отклонения от внутреннего диаметра колеса, мкм	2,5	2,4	2,4	3,2	2,1	3,2	3,1	3,5	2,5	2,7
2,7	3,5	3,8	2,8	2,7	3,8	2,7	3,0	3,1	2,1
3,4	3,0	3,0	2,8	3,0	3,0	3,0	3,2	3,0	3,2
3,1	2,4	2,8	3,2	3,0	3,4	2,7	3,0	3,5	3,0
	Температура кипения воды, °С	99,2	100,0	100,0	100,7	99,3	99,3	100,7	97,9	97,1	98,6
99,3	99,3	97,9	99,3	97,9	97,9	94,3	97,9	102,1	98,6
97,1	100,4	100,0	97,9	95,0	94,3	96,4	101,4	97,1	93,6
97,7	97,7	94,3	95,0	93,6	100,0	92,9	102,9	95,0	97,9
100,0	97,1	101,4	100,0	95,0	98,6	95,7	95,7	95,7	99,3
	Длина слитка, мм	181,9	183,4	183,4	184,7	182,0	182,0	184,7	179,4	178,1	180,7
182,0	182,0	179,4	182,0	179,4	179,4	172,9	179,4	187,3	180,7
178,1	184,1	183,4	179,4	174,2	172,9	176,8	186,0	178,1	171,6
179,1	179,1	172,9	174,2	171,6	183,4	170,3	188,6	174,2	179,4
183,4	178,1	186,0	183,4	174,2	180,7	175,5	175,5	175,5	182,0
	Содержание хрома в стали, %	2,62	2,65	2,65	2,66	2,63	2,63	2,66	2,59	2,57	2,61
2,63	2,63	2,59	2,63	2,59	2,59	2,49	2,59	2,70	2,61
2,57	2,66	2,65	2,59	2,51	2,49	2,55	2,68	2,57	2,48
2,58	2,58	2,49	2,51	2,48	2,65	2,46	2,72	2,51	2,59
2,65	2,57	2,68	2,65	2,51	2,61	2,53	2,53	2,53	2,63
	Температура слитка металла, °С
	Предел текучести, кГ/мм2	30,9	29,1	29,1	40,0	25,5	40,0	38,2	43,6	30,9	32,7
32,7	43,6	47,3	34,5	32,7	47,3	32,7	36,4	38,2	25,5
41,8	36,4	36,4	34,5	36,4	36,4	36,4	40,0	36,4	40,0
38,2	29,1	34,5	40,0	36,4	41,8	32,7	36,4	43,6	36,4
	Сила тока на выходе преобразователя, мА	4,6	4,3	4,3	5,9	3,8	5,9	5,7	6,5	4,6	4,9
4,9	6,5	7,0	5,1	4,9	7,0	4,9	5,4	5,7	3,8
6,2	5,4	5,4	5,1	5,4	5,4	5,4	5,9	5,4	5,9
5,7	4,3	5,1	5,9	5,4	6,2	4,9	5,4	6,5	5,4
	Содержание фосфора в чугуне, %	13,9	14,0	14,0	14,1	13,9	13,9	14,1	13,7	13,6	13,8
13,9	13,9	13,7	13,9	13,7	13,7	13,2	13,7	14,3	13,8
13,6	14,0	14,0	13,7	13,3	13,2	13,5	14,2	13,6	13,1
13,6	13,6	13,2	13,3	13,1	14,0	13,0	14,4	13,3	13,7
14,0	13,6	14,2	14,0	13,3	13,8	13,4	13,4	13,4	13,9
	Отклонения от посадочного диаметра гильзы, мкм
	Содержание углерода в ниобии, %	0,018	0,017	0,017	0,024	0,015	0,024	0,023	0,026	0,018	0,019
0,019	0,026	0,028	0,020	0,019	0,028	0,019	0,022	0,023	0,015
0,025	0,022	0,022	0,020	0,022	0,022	0,022	0,024	0,022	0,024
0,023	0,017	0,020	0,024	0,022	0,025	0,019	0,022	0,026	0,022
	Предел прочности стали, кГ/мм2
	Содержание углерода в пробах стали, %	0,53	0,53	0,53	0,54	0,53	0,53	0,54	0,52	0,52	0,53
0,53	0,53	0,52	0,53	0,52	0,52	0,50	0,52	0,54	0,53
0,52	0,54	0,53	0,52	0,51	0,50	0,51	0,54	0,52	0,50
0,52	0,52	0,50	0,51	0,50	0,53	0,50	0,55	0,51	0,52
0,53	0,52	0,54	0,53	0,51	0,53	0,51	0,51	0,51	0,53
	Масса слитка алюминия, кг	3,4	3,2	3,2	4,4	2,8	4,4	4,2	4,8	3,4	3,6
3,6	4,8	5,2	3,8	3,6	5,2	3,6	4,0	4,2	2,8
4,6	4,0	4,0	3,8	4,0	4,0	4,0	4,4	4,0	4,4
4,2	3,2	3,8	4,4	4,0	4,6	3,6	4,0	4,8	4,0
	Влажность воздуха, %	63,4	59,7	59,7	82,1	52,2	82,1	78,4	89,6	63,4	67,2
67,2	89,6	97,0	70,9	67,2	97,0	67,2	74,6	78,4	52,2
85,8	74,6	74,6	70,9	74,6	74,6	74,6	82,1	74,6	82,1
78,4	59,7	70,9	82,1	74,6	85,8	67,2	74,6	89,6	74,6
	Отклонения от внутреннего диаметра колеса, мкм	2,5	2,4	2,4	3,2	2,1	3,2	3,1	3,5	2,5	2,7
2,7	3,5	3,8	2,8	2,7	3,8	2,7	3,0	3,1	2,1
3,4	3,0	3,0	2,8	3,0	3,0	3,0	3,2	3,0	3,2
3,1	2,4	2,8	3,2	3,0	3,4	2,7	3,0	3,5	3,0
	ТермоЭДС, мВ	8,75	8,82	8,82	8,88	8,76	8,76	8,88	8,63	8,57	8,69
8,76	8,76	8,63	8,76	8,63	8,63	8,32	8,63	9,01	8,69
8,57	8,86	8,82	8,63	8,38	8,32	8,51	8,95	8,57	8,25
8,61	8,61	8,32	8,38	8,25	8,82	8,19	9,07	8,38	8,63
8,82	8,57	8,95	8,82	8,38	8,69	8,44	8,44	8,44	8,76
	Содержание фосфора в стандартном образце, 10-6 %	7,5	7,0	7,0	9,7	6,2	9,7	9,2	10,6	7,5	7,9
7,9	10,6	11,4	8,4	7,9	11,4	7,9	8,8	9,2	6,2
10,1	8,8	8,8	8,4	8,8	8,8	8,8	9,7	8,8	9,7
9,2	7,0	8,4	9,7	8,8	10,1	7,9	8,8	10,6	8,8
	Сила тока на входе преобразователя, мА	4,8	4,3	4,3	5,9	3,8	5,9	5,7	6,5	4,6	4,9
4,6	6,5	7,0	5,1	4,9	7,0	4,9	5,4	5,7	3,8
5,2	5,4	5,4	5,1	5,4	5,4	5,4	5,9	5,4	5,9
5,7	4,3	5,1	5,9	5,4	6,2	4,9	5,4	6,5	5,4
	Диаметр внутренней оси, мм	15,07	15,19	15,19	15,30	15,08	15,08	15,30	14,86	14,76	14,97
15,08	15,08	14,86	15,08	14,86	14,86	14,32	14,86	15,52	14,97
14,76	15,25	15,19	14,86	14,43	14,32	14,65	15,41	14,76	14,21
14,83	14,83	14,32	14,43	14,21	15,19	14,11	15,62	14,43	14,86
15,19	14,76	15,41	15,19	14,43	14,97	14,54	14,54	14,54	15,08
	Содержание алюминия в стали, %	0,164	0,165	0,165	0,166	0,164	0,164	0,166	0,162	0,160	0,163
0,164	0,164	0,162	0,164	0,162	0,162	0,156	0,162	0,169	0,163
0,160	0,166	0,165	0,162	0,157	0,156	0,159	0,167	0,160	0,154
0,161	0,161	0,156	0,157	0,154	0,165	0,153	0,170	0,157	0,162
0,165	0,160	0,167	0,165	0,157	0,163	0,158	0,158	0,158	0,164
	Отклонения от посадочного диаметра гильзы, мкм

2. Многократное измерение параметра (указан в задании № 1) дало ряд результатов при неисключенной систематической погрешности q, %. Проверьте ряд на отсутствие промахов. Определите доверительный интервал при доверительной вероятности Р.

Вариант	Результаты измерений	q, %	Р
	0,97	1,16	1,27	1,05	0,95	1,14	0,98	1,05	0,74		0,2	0,99
											0,5	0,9
	94,3	95,4	96,0	94,9	94,2	93,5	93,6	99,4			1,5	0,95
	8,58	8,66	8,72	8,63	8,28	8,52	8,51	8,65	8,67		0,4	0,95
	14,83	14,85	14,72	14,43	14,81	14,79	14,81	14,82			0,5	0,998
	4,9	5,1	5,1	5,0	4,8	4,8	4,9	5,1	4,9	4,7		0,95
	1,22	0,83	1,10	1,27	1,16	1,33	1,14	1,16	1,39		0,5	0,98
	3,39	2,95	2,95	2,80	2,95	2,95	2,95	5,24			0,4	0,99
	2,15	2,15	2,08	2,09	2,06	2,20	2,04	2,26	3,09		0,2	0,9
	3,4	3,0	3,0	2,7	3,0	3,0	3,0	3,2	3,0	3,2		0,95
	100,0	98,1	101,4	100,4	98,0	98,6	97,7	95,7			0,4	0,98
	183,4	178,1	186,0	183,4	179,2	180,7	179,5	182,5	175,5		0,5	0,99
	2,63	2,63	2,59	2,63	2,59	2,60	2,58	2,59	2,75			0,9
											0,5	0,98
	41,8	36,4	36,7	34,5	36,9	36,1	36,4	38,0	36,4			0,95
	6,2	5,4	5,4	5,1	5,4	5,4	5,4	5,9	5,4	5,9		0,95
	13,7	14,0	14,2	13,8	13,9	13,2	13,8	14,1			0,5	0,99
												0,9
	0,019	0,016	0,018	0,020	0,019	0,018	0,019	0,022	0,023	0,015		0,95
											0,5	0,98
	0,52	0,54	0,53	0,52	0,51	0,50	0,51	0,54	0,52	0,49		0,99
	3,6	4,8	5,2	3,8	3,6	5,2	3,6	4,0	4,2	2,8		0,9
	85,8	84,6	84,8	83,9	84,6	84,6	84,4	82,1	84,6	82,1	0,5	0,98
	2,5	2,4	2,4	2,2	2,1	2,2	2,1	2,5	2,5	2,7		0,95
	8,61	8,64	8,52	8,58	8,55	8,52	8,59	8,77			0,6	0,95
	10,1	8,8	8,6	8,4	8,8	8,9	8,8	8,7	8,8			0,99
	4,6	5,5	5,0	5,1	4,9	5,0	4,9	5,4	4,7	3,8	0,5	0,9
	14,76	15,25	15,19	14,86	14,93	14,82	14,85	15,41				0,95
	0,161	0,160	0,156	0,157	0,159	0,161	0,158	0,170	0,167		0,5	0,98
												0,99

3. В результате n измерений параметра (указан в задании № 1) определен доверительный интервал значений (Х_Н¸Х_В) МПа при доверительной вероятности Р₁. Определите стандартное отклонение значений параметра и доверительный интервал с вероятностью Р₂.

Вариант	n	ХН	ХВ	Р1	Р2
		0,62	0,84	0,90	0,95
				0,99	0,9
				0,95	0,99
		8,75	9,05	0,9	0,98
		13,07	15,45	0,95	0,99
		4,7	5,3	0,99	0,95
		1,25	1,35	0,9	0,98
		2,45	3,54	0,95	0,99
		2,06	2,28	0,9	0,98
		2,5	3,6	0,95	0,99
		98,8	102,4	0,99	0,95
		172,6	184,5	0,9	0,98
		2,49	2,75	0,95	0,99
				0,9	0,98
		37,2	43,7	0,95	0,99
		3,9	6,2	0,99	0,95
		13,4	15,8	0,9	0,98
				0,95	0,99
		0,014	0,024	0,9	0,98
				0,95	0,99
		0,50	0,58	0,99	0,95
		3,6	4,1	0,9	0,98
		61,2	68,4	0,95	0,99
		2,2	4,7	0,9	0,98
		8,45	8,76	0,95	0,99
		7,6	10,1	0,99	0,95
		4,5	5,8	0,9	0,98
		14,78	15,63	0,95	0,99
		0,156	0,170	0,9	0,98
				0,95	0,99

4. Используя данные задания № 3 ( , s), при систематической погрешности D, найдите вероятность того, что результат единичного измерения параметра не выйдет за пределы интервала [а; b].

Вариант	D	а	b
	-0,04	0,78	1,51
	0,5	8,60	9,00
	-2,3	13,15	15,65
		4,5	5,0
	0,06	1,20	1,40
	0,05	2,55	3,55
		2,00	2,20
		2,3	3,8
	-1,1	99,9	101,0
	0,5	2,55	2,70
	-15
	0,4
	-0,4	14,5	15,6
		0,015	0,025
	-6
	0,05	0,46	0,56
	0,25	3,5
		2,1	4,5
	0,6	8,46	8,78
	0,5	8,5	9,5
	0,5	4,7	5,7
	2,5	14,65	15,65
	-0,05	1,145	0,168

Приложение 1. Построение гистограммы (Excel)

Для построения гистограммы в редакторе Microsoft Excel следует выполнить следующие шаги.

1. Активировать пакет анализа данных

Для этого нужно выполнить команду Сервис ® Надстройки и выбрать Пакет анализа (поставить метку рядом) → Ok. Затем необходимо снова выполнить команду Сервис, после этого в меню Сервис должна появиться строка Анализ данных.

2. В книге Excel ввести исходные числовые данные и границы интервалов (они называются «карманы»), например как показано ниже.

В качестве карманов вводить нужно верхнее значение интервала.

3. Построить гистограмму при помощи мастера гистограмм

Для этого нужно открыть окно мастера построения гистограмм (Пакет анализа ® Гистограмма) и заполнить диалоговое окно ® Ok. Ниже показан пример заполнения диалогового окна.

Параметры вывода можно указать другими, например, сделать ссылку на свободную ячейку на этом же листе.

В результате получаем таблицу с подсчитанными частотами попаданий данных в карманы и гистограмму.

При подсчете частот автоматически вычисляется число попаданий данных между указанным началом кармана и соседним, большим по порядку.

Приложение 2. Значения критерия Романовского b_т (a = 1 - Р)

n	a	n	a
0,1	0,05	0,1	0,05
	1,412	1,414		2,387	2,519
	1,689	1,710		2,426	2,563
	1,869	1,917		2,461	2,602
	1,996	2,067		2,494	2,638
	2,093	2,182		2,523	2,670
	2,172	2,273		2,551	2,701
	2,238	2,349		2,577	2,728
	2,294	2,414		2,601	2,754
	2,343	2,470		2,623	2,779

Приложение 3. Значения коэффициента Стьюдента

Наши рекомендации

n	Доверительная вероятность Р
0,9	0,95	0,98	0,99	0,999
	6,31	12,71	31,82	63,68	636,62
	2,92	4,30	6,97	9,93	31,6
	2,35	3,18	4,54	5,84	12,92
	2,13	2,78	3,75	4,60	8,61
	2,02	2,57	3,37	4,06	6,87
	1,94	2,45	3,14	3,71	5,96
	1,90	2,37	3,00	3,50	5,41
	1,86	2,31	2,90	3,36	5,04
	1,83	2,26	2,82	3,25	4,78
	1,81	2,23	2,76	3,17	4,59
	1,80	2,20	2,72	3,11	4,44
	1,78	2,18	2,68	3,06	4,32
	1,77	2,16	2,65	3,01	4,22
	1,76	2,15	2,62	2,98	4,14