Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

Лабораторная работа № 1

Тема: «Перевод чисел из одной системы счисления в другую»

Цель: Приобретение практических навыков по переводу чисел из одной системы счисления в другую.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

Система счисления – это способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные.

В позиционныхсистемах счисления величина цифры зависит от ее положения в числе.

Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне. Нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр. До сих пор при измерении времени мы используем основание равное 60 (в 1 минуте – 60 секунд, а в 1 часе – 60 минут).

В XIX веке широко использовалась двенадцатеричная система счисления (12 - дюжина) (в сутках две дюжины часов, круг содержит 30 дюжин градусов и т.д.).

Наиболее распространенными системами счисления в настоящее время являются:

· Двоичная

· Восьмеричная

· Десятичная

· Шестнадцатеричная

В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.

В позиционных системах счисления числа могут быть представлены в краткой или полной форме.

Пример: Рассмотрим десятичное число 555 – это сокращенная форма записи числа. В полной форме оно выглядит 555₁₀= 5*10⁰+5*10¹+5*10².

В непозиционнойсистеме счисления величина цифры не зависит от ее положения в числе.

Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская.

Пример: XXX (30) цифра Х=10 встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину – число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется.

Таблица 1

Системы счисления

Система счисления	Основание	Алфавит цифр
Позиционные системы счисления
Двоичная		0, 1
Восьмеричная		0…7
Десятичная		0…9
Шестнадцатеричная		0…9, А, В, С, D, E, F
Непозиционная система счисления
Римская		I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000)

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод из десятичной системы счисления в римскую.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе.

Пример: 1998 = 1000+(1000-100)+(100-10)+5+1+1+1=MCMXCVIII

Перевод в десятичную систему счисления

Для преобразования чисел из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную необходимо записать число в полной форме и вычислить его значение.

Пример: 1011₂=1*2⁰+1*2¹+0*2²+1*2³=1+2+0+8=11₁₀

675₈=5*8⁰+7*8¹+6*8²=5+56+384=445₁₀

19F₁₆=15*16⁰+9*16¹+1*16²=15+144+256=415₁₀

Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

Исходное число многократно (пока частное не станет равным нулю) делится на основание системы счисления, в которую переводим число. Запись остатков ведется слева направо.

Пример: Перевести число 19 в двоичную систему

Остаток

19:2=9 1

9:2=4 1

4:2=2 0 19₁₀=10011₂

2:2=1 0

1:2=0 1

1 0 0 1 1

Переведем десятичное число 87 в соответствующие системы счисления:

87:2=43 (1)	87:8=10 (7)	87:16=5 (7)
43:4=21 (1)	10:8=1 (2)	5:16=0 (5)
21:2=10 (1)	1:8=0 (1)
10:2=5 (0)
5:2=4 (1)
4:2=2 (0)
2:2=1 (0)
1:2=0 (1)
8710=10101112	8710=5716	8710=1278

Задание 1. Перевести десятичную систему счисления в римскую, двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную систему счисления:

1. 1235
2. 1245
3. 1356
4. 1467
5. 1578
6. 1689
7. 1799
8. 1812
9. 1923
10. 1234
11. 1345
12. 1456
13. 1567
14. 1678
15. 1789
16. 1892
17. 1934
18. 1252
19. 1363
20. 1474
21. 1585
22. 1696
23. 1723
24. 1834
25. 1945
26. 1168
27. 1279
28. 1382
29. 1493
30. 1564

Задание 2.Переведите в десятичную систему счисления:

№ варианта	Двоичная система счисления	Восьмеричная система счисления	Шестнадцатеричная система счисления
	000110, 011010, 101110	11, 25, 107	1А, ВF, 9С
	000111, 011011, 101111	12, 26, 107	3А, ВЕ, 10С
	001000, 011100, 110000	16, 53, 210	5В, ВС, 20С
	001001, 011101, 110001	20, 57, 153	4D, АЕ, 42А
	001010, 011110, 110010	17, 54, 150	7С, СD, 30 Е
	001011, 011111, 110011	21, 56, 154	6D, АВ,, 51 А
	001100, 100000, 110100	15, 63, 202	2Е, АС, 31С
	001101, 100001, 110101	22,72, 350	3Е, ВС, 43В
	001110, 100010, 110110	25, 31, 250	10F, СD, 25Е
	001111, 100011, 110111	18, 55, 151	8С, DE, 40Е
	010000, 100100, 111000	23, 64, 204	3В, АС, 32F
	010001, 100101, 111001	19, 56, 152	9C, EF, 41E
	010010, 100110, 111010	13, 33, 123	5F, 2AB, 15C
	010011, 100111, 111011	24, 41, 135	7D,3FC, 31A
	010100, 101000, 111100	15, 27, 162	5B, AD, 16D

Контрольные вопросы

1. Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных?
2. Может ли в качестве цифры использоваться символ буквы?
3. Почему человек использует десятичную систему счисления, а компьютер двоичную?
4. Как с помощью калькулятора перевести одну систему счисления в другую?