Проекция Гаусса–Крюгера

В любой проекции изображение получается тем более искаженным, чем больше картографируемая территория. Поэтому прямоугольная система координат не может быть распространена на большую территорию. Приходится решать задачу по частям.

В 1825 г. К.Ф. Гаусс впервые решил общую задачу по изображению одной поверхности на другой с сохранением подобия в бесконечно малых частях. Частным случаем этой задачи является отображение поверхности эллипсоида вращения на плоскости. Предложенная К.Ф. Гауссом проекция практически не применялась. В 1912 г. А. Крюгер вывел и опубликовал рабочие формулы этой проекции. После этого проекция получила название проекции Гаусса–Крюгера и нашла широкое применение в топографо-геодезических работах.

Геометрическая интерпретация проекции Гаусса–Крюгера выглядит следующим образом. Поверхность земного эллипсоида условно делят меридианами на зоны, соответствующие 6° по долготе. Средний меридиан зоны называется осевым. Затем эллипсоид вписывается в поперечно расположенный цилиндр так, чтобы плоскость его экватора совместилась с осью цилиндра, а один из осевых меридианов оказался касательной к его боковой поверхности. Эту зону, а затем и последующие по определенному математическому закону проецируют на внутреннюю боковую поверхность цилиндра (рис. 4, а). После проецирования поверхность цилиндра разворачивают в плоскость, разрезав цилиндр по образующим, касательным земных полюсов. Спроецированные аналогично последовательно одна за другой зоны соприкасаются между собой в точках, расположенных по линии экватора, как это показано на рис. 5, а.

Рис. 4. Схема образования проекции Гаусса–Крюгера:

а – геометрическое представление получения изображения зоны;
б – спроецированное на плоскость изображение зоны
(---- – действительные размеры зоны, — – размеры зоны в проекции)

Получается, что вся поверхность Земли разбивается на 60 зон, считая от начального – Гринвичского меридиана (0°). Через каждую зону от Северного до Южного полюса проходит прямолинейный осевой меридиан зон. Долгота осевого меридиана n-й зоны равна (6n – 3)°. Нумерация зон идет с запада на восток, начиная от Гринвичского меридиана. Территория России располагается примерно в 28 зонах: от 4 до 32. В пределах каждой зоны плоская координатная система располагается самостоятельно. Оси X и Y размещаются по осевому меридиану зоны и экватору. Начало отсчета координат в их пересечении. Поскольку территория России расположена в северном полушарии, то все значения х всегда будут положительными. Значения координаты у могут быть в каждой зоне и положительными и отрицательными. Чтобы избежать этих неудобств, начало отсчета ординат искусственно сдвигают на запад на 500 км (рис. 5). Другими словами, к значению у прибавляют 500 км. Ширина полузоны по долготе составляет всего 3°, т. е. порядка 333 км, поэтому все значения у станут положительными. Поскольку в каждой зоне координаты могут совпадать, в значении у указывается также номер зоны. Например, если координаты точки даны в виде: х = 6 650 457, у = 4 307 128, то это значит, что точка расположена от экватора на расстоянии 6 650 457 м; в значении координаты у цифра 4 означает номер зоны, а от оставшегося числа следует отнять 500 000 м, тогда получим расстояние нашей точки от осевого меридиана, а именно – 192 872 м. Такие координаты называют преобразованными. Для удобства пользования плоскими координатами каждую зону покрывают сеткой квадратов, так называемой километровой сеткой (сторона квадрата равна 1 км), которая изображается на топографических картах масштаба 1:10 000; 1:25 000; 1:50 000 (на картах масштаба 1:100 000 квадраты двухкилометровые; 1:200 000 – от 4 до 10 км).

Рис. 5. Зональная система координат в проекции Гаусса–Крюгера:

а – деление поверхности Земли на зоны (1 – осевой меридиан, 2 – экватор);
б – определение плоских координат в зоне

Такая зональная система координат, принятая в качестве государственной, обеспечивает возможность построения на территории всей Земли системы плоских прямоугольных координат и позволяет получать практически без искажений довольно большие участки земной поверхности.

2.6. Искажения при изображении поверхности эллипсоида
на плоскости в проекции Гаусса–Крюгера

Представим участок земной поверхности в виде части поверхности сферы радиусом R, который заменяется частью горизонтальной плоскости. Из рис. 6 видно, что с удалением от точки m разница DS в длине дуги S и ее проекции на плоскость S' возрастает, а расстояние между ними (высота точки местности) увеличивается. Из данных рис. 6 получаем

; ; .

Сделав ряд преобразований, запишем

. (1)

Можно также определить значение Dh, учитывая малость Dh относительно R и близость S и S',

. (2)

Рис. 6. Искажение длины линии и изменение высоты точки
при переходе от сферической поверхности к горизонтальной

Из расчетов по полученным формулам следует, что при длине линии 10 км DS составляет только 1:1 000 000 ее длины. Поэтому считается, что участок радиусом 10 км можно принять за плоский при съемке планов без рельефа. Значительно быстрее возрастают расхождения между высотами точек на сфере и на плоскости. При той же длине линии 10 км разность высот достигает уже 7,8 м, поэтому значение Dh можно не учитывать лишь при расстояниях меньше 1 км.

2.7. Полярные координаты. Связь плоской прямоугольной
и полярной систем координат

Система полярных координат может быть задана на плоскости, сфере или поверхности эллипсоида и состоит из точки М – начала координат (рис. 7) и полярной оси МA, относительно которых положение точки определяется координатами: углом положения a (дирекционный угол или румб на плоскости, азимут на сфере и эллипсоиде) и кратчайшим расстоянием S между точками М и М₁, считаемым по поверхности.

За полярную ось (начальное направление) обычно принимают: на плоскости – направление, параллельное оси абсцисс прямоугольных координат, а на сфере и эллипсоиде – северное направление меридиана, проходящего через точку М.

Связь плоской прямоугольной и полярной систем координат осуществляется путем решения прямой и обратной геодезических задач.

Рис. 7. Схема полярных координат точки M1	Рис. 8. Решение прямой и обратной геодезических задач

Прямая геодезическая задача. Задача формулируется так: заданы х_А и у_А – плоские геодезические координаты точки А (рис. 8). Измерено непосредственно в натуре расстояние S между точками и a – угол положения (направления). Находим приращения координат (см. рис. 8):

; . (3)

Получаем искомые координаты точки В:

; . (4)

Обратная геодезическая задача. Заданы х_А и у_А; х_B и у_B – координаты точек А и В (см. рис. 8). Следует найти угол положения и расстояние S_AB. Из рисунка видно, что

; ; (5)

. (6)