Плоскость проекции Гаусса – Крюгера

Перевычисление координат точек от геодезических к прямоугольным рассмотрен ранее. Теперь следует рассмотреть перенос на плоскость геодезической линии.

Пусть на поверхности эллипсоида задана геодезическая линия между точками Q₁ и Q₂ длиной s и азимутом А₁₂ -(левый рисунок).

Х¹

Р X ɣ₁ α₁₂ Q₂

A₁₂ Q₂ d₁₂

Q₁ s δ₁₂ σ

Q₁

L₀ L₁ L_{2 -------------------------------} У

L₁

На плоскости - (правый рисунок) - меридиан точки Q₁ и геодезическая линия sизображаются кривыми линиями L₁ и σ. На практике это вызывает значительные неудобства, поэтому осевой меридиан изображается прямой линией, параллельной осевому меридиану координатной зоны точки Q₁, а изображение геодезической линии - кривую σ -на плоскости заменяют прямолинейным отрезком – ее хордой d₁₂ с направлением α₁₂

(дирекционным углом) от прямой линии Х¹, параллельной осевому меридиану.

Таким образом, перенос геодезической линии на плоскость сводится к переходу от длины S к ее изображению σ и далее к хорде d, от геодезического азимута A к дирекционному углу α хорды d.

Элементарный отрезок в любой проекции определяется выражением для масштаба m:

dd

m = ----------,

dS

где dS – дифференциал геодезической линии, dd – дифференциал хорды d.

Отсюда длина хорды d находится как

Q₂

d = ∫ m dS.

Q₁

Выражение для определения масштаба проекции Гаусса –Крюгера представляется формулой:

m = 1 + y²/2R² + y⁴/ 24R⁴.

Поскольку с изменением широты значение радиуса R изменяется незначительно, то постоянному значению У практически имеется постоянное значение масштаба и можно принять, что изоколы будут в конформных проекциях изображаются прямыми линиями, располагаются практически параллельно оси абсцисс по всей координатной полосе.Поэтомупроекция Гаусса удобна для изображения на плоскости полосы эллипсоида, вытянутой с юга на север.

В конформных проекциях углы изображаются в точках без искажения, поэтому для выражения азимута и дирекционного угла на плоскости следует оперировать, согласно рисункам, следующими углами: А₁₂, ɣ₁, α₁₂ и δ₁₂,гдеА₁₂ – прямой геодезический азимут направления s₁₂ (отсчитавается от северного направления по часовой стрелке в пределах от 0 до 360⁰);

ץ₁ – сближение меридианов в точке Q₁ (гауссовосближение меридиана)

– угол межу кривой изображения меридиана и его изображением как прямой линии Х¹ на плоскости (знак сближения меридианов совпадает со знаком разности долгот ℓ = L-L₀); считается положительным, если двигаться по часовой стрелке от меридиана точки до линии Х¹ (западное или восточное сближение)_, угол изменяется от 0 до половины значения принятой координатной зоны;

δ₁₂ – угол между касательной в точке Q₁ кривой σи хордой d - поправка за кривизну изображения геодезической линии на плоскости - угол считается положительным при движении по часовой стрелке от кривой σ к хорде d.

При принятых обозначениях углов для конформных проекциях согласно правому рисунку для выражения азимута А будем иметь:

А₁₂ =ɣ₁ + α₁₂ – δ₁₂ .

Тогда, для искомого дирекционного угла α₁₂ получим:

α₁₂ = А₁₂ -ɣ₁ + δ₁₂.

Сближение меридианов ɣ на плоскости (гауссово сближение)

1. Выражение ɣ через геодезические координаты

ɣ =ℓsin B + sin B cos² B (1 + 3η²)ℓ ³ / 3 + sin B cos⁴ B (2 – tg²B)ℓ ⁵ / 15

Погрешность менее 0,001”;

С погрешностью до 1^י можно принять: ɣ ^′ =ℓ ^′ sin B.

2. В функции плоских координат ɣ выражается как

tg B_x tg B_x tg B_x

ɣ = ------- y - -------- (1 + tg² B_x - η²) y³ + ------- (2 + 5 tg² B_x + 3 tg⁴ B_x) y⁵

N_x 3N_x³ 15 N_x⁵

Поправка δ за кривизну изображения геодезической линии:

∆ y₂₁ у³_m ∆ y₂₁у²_m

δ"₁₂ = - f ∆x₂₁ (y_m - ------- - ------- ) - f e² --------------sin 2B_m

6 3R²_m R_m

∆ y₂₁ у³_m ∆ y₂₁у²_m

и обратное:δ"₂₁ = + f ∆x₂₁ (y_m + ------ - ------- ) + f e² --------------sin 2B_m,

6 3R²_m R_m

где коэффициентf = ρ” / 2R²_m и у_m – среднее значение ординат.

По приведенным формулам поправки δ вычисляют с погрешностью до 0,001”, что применяется в сетях триангуляции 1 класса при сторонах до 60км и У не более 120 км.

Для 2-го класса с погрешностью не более 0,01” поправки δ можно вычислять по формулам вида

δ"₁₂ = - f/3 ∆x₂₁(2y₁ + y₂) и δ"₂₁ = + f/3∆x₂₁(2y₂ + y₁) при f =0,00253.

При необходимости знания поправки с погрешностью до 0,1” пользуются формулой вида:δ"₁₂ = - δ"₂₁ = - 0,00253 (x₂ - x₁) у_m

Вычисленные значения поправок δ" алгебраически прибавляютк значениям измеренных углов (азимутов) направлений.

При введении поправок в углы треугольника поправку в угол вычисляют

как δ"_i = δ"_ik - δ"_ij . Сумма поправок в углы треугольника составляет значение сферического избытка со знаком минус.

Поправка ∆S в длину геодезической линии S за масштаб

ее изображения на плоскости

_S

Как известно, длина хорды выражается интегралом d = ∫ ₀ m dS, где

m = 1 + Y² / 2R² + Y⁴ / 24 R⁴

Применяя для интегрирования известную нам формулу Симпсона:

d = S / 6 (m₁ + 4 m_ср. + m₂),

где m₁, m_ср., m₂ – значения масштабов соответственно в начальной, средней и конечной точках S.

Рабочие формулы для вычисления поправки ∆S = (d – S):

Перейдя в выражениях для m_1, m_ср. и m₂ к средней ординате у_ср., получим:

У₁ = У_ср. – Δ_у/2, У₂ = У_ср + Δ_у/2 , где Δ_у.= (У₂ – У₁).

с погрешностью до 0,001 м: У_ср. = ½(у₁+у₂),

∆S_ik = f¹ (y²_cр. + ∆y²/12 + y⁴_ср. /12R²) S_ik;

с погрешностью до 0,01 м:

∆S_ik = f¹ (y²_cр. + ∆y² / 12 ) S_ik ,

где f¹ = 1/2 R²_m(из специальных таблиц по аргументам В или Х)

В приведенных формулах значения У_ср. и ∆y выражают в километрах, S в метрах, получая поправку ∆S_ikв метрах.

В сетях низших классов применяют формулу вида:

∆S_ik = (d – S_ik) = f¹ y²_cр. S_ik .

Приведенное выражение для вычисления поправки ∆S_ik удобно для приближенной оценки линейных искажений, возникающих при редукции

длины геодезической линии на плоскость проекции Гаусса – Крюгера:

∆S_ik / S_ik = 1 / f¹ y²_cр. .

Значение относительного искажения на краю шестиградусной зоны (y_cр. = 300 км) может быть подсчитано по формуле:

∆S_ik / S_ik = 0,123^. 3^{2 .} 10^{- 3}≈ 0,001 107= 1/ 900,

где y_cр. выражено в сотнях километров.

Из полученного значения линейного искажения исходят припланировании различных картометрических работ.