Порядок выполнения работы. 1. Приготовить в лабораторном журнале одну таблицу по форме табл

1. Приготовить в лабораторном журнале одну таблицу по форме табл. 21.

2. Измерив расстояние L между опорными ребрами призм, подвесить маятник за призму А₁ (см. рис. 15). Отклонить маятник на угол не более 20° и по секундомеру измерить время t n = 20 полных колебаний.

3. Подвесить маятник за призму А₂ и измерить время t′ того же числа полных колебаний.

4. Передвинуть внутреннюю призму на одно деление и снова измерив расстояние L между опорными ребрами призм, проделать п. 2–3 . Далее проделать пп. 2–4 не менее пяти раз.

Таблица 21

Результаты измерения времени полных колебаний маятника

№ опыта →							Среднее
L= м
t, с
t’, с
L= м
t, с
t’, с
L= м
t, с
t’, с
L= м
t, с
t’, с
L= м
t, с
t’, с

5. По полученным данным построить графики зависимостей t и t′ от L (рис. 16). По точке пересечения этих графиков определить приведенную длину L₀ и соответствующее ей время n = 20 полных колебаний маятника t₀.

6. Рассчитать ускорение свободного падения по формуле (86).

t, t’

t₀

L₁ L₂ L₃ L₄ L₀ L₅ L₆ L

Рис. 16. Зависимость времени полных колебаний от расстояния между грузами

Лабораторная работа № 13

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ

Цель работы. Определение частоты биений, синфазных и противофазных колебаний двух маятников, соединенных между собой пружиной; экспериментальная проверка расчетных зависимостей; изучение резонансных явлений в механических колебательных системах (вынужденные колебания).

Введение

В природе часто встречаются колебательные системы, взаимодействующие друг с другом, что приводит к обмену колебательной энергией между ними. К таким системам относятся ионы в узлах кристаллической решетки, многоатомные молекулы и т.д.

Простейшей моделью такой связанной колебательной системы с двумя степенями свободы являются два математических маятника, соединенных между собой пружиной с жесткостью k и совершающих колебания в вертикальной плоскости (рис. 17).

l₁

φ₁ a φ₂

l₁

m₁ m₂

Рис. 17. Схема системы двух маятников для получения связанных колебаний

Состояние такой системы полностью описывается двумя независимыми параметрами – углами j₁ и j₂ отклонения маятников от вертикали.

Наличие связи существенным образом меняет свойства маятников, составляющих колебательную систему. Если закрепить один из маятников, то частота колебаний второго все равно будет отличаться от своей собственной частоты, т.к. на него действует не только сила тяжести, но и сила упругой связи.

Связанную систему удобно рассматривать как совокупность простых систем с одной степенью свободы. Частоту, с которой колеблется каждая такая простая система, в то время когда все остальные покоятся, называют парциальной.

Если один из маятников вывести из положения равновесия и предоставить систему самой себе, то наблюдается передача импульса (количества движения) и энергии от первого ко второму, а затем обратно. Происходит взаимное ”раскачивание” маятников, колебания носят характер биений. Такие колебания не являются гармоническими.

Гармонические колебания в системе двух связанных маятников можно возбудить двумя способами.

1. Если маятникам сообщить одинаковые отклонения в одну сторону от положения равновесия, то связь не подвергается деформации и возвращающая сила будет меньше, чем при возбуждении парциальных колебаний. Частота колебаний (синфазных) системы в этом случае меньше, чем парциальные частоты.

2. Если маятники получают одинаковые смещения, но в противоположных направлениях, то к возвращающей силе (обусловленной силой тяжести), добавится сила упругости связи. Эта сила пропорциональна разности смещений маятников и стремится ”стянуть” маятники. Поэтому частота колебаний (противофазных) системы будет больше парциальных частот.

Гармонические колебания, которые могут быть возбуждены в связанных системах, называются нормальными колебаниями, а соответствующие им частоты – нормальными частотами.

Число нормальных колебаний определяется числом колебательных степеней свободы системы. Выбранная нами колебательная система с двумя степенями свободы, обладает двумя нормальными колебаниями. Все другие колебания, возникающие в системе, представляют собой результат суперпозиции нормальных колебаний.

Найдем частоты связанной системы в общем случае. Считаем, что углы отклонения маятников малы, т.е. sinj≈j. В этом приближении уравнение системы двух связанных маятников имеет вид:

.

(87)

Частоты парциальных колебаний маятников n₁ и n₂ находятся из уравнений движения (87):

а) при приравнивании в первом из них j₂=0;

б) во втором – j₁=0 (в каждом случае как бы закрепляется один из маятников).

Тогда, уравнение (87) принимает вид:

.

(88)

Уравнение (88) представляет уравнение собственных колебаний, аналогичное ранее приведенным уравнениям, например (27), и циклические парциальные частоты колебаний маятников равны:

.

Решение системы уравнений движения (87), соответствующее собственным (нормальным) колебаниям системы ищется в виде:

.

(89)

где частоты w и сдвиг фаз y одинаковы для обоих маятников, различны лишь амплитуды смещений. Подставляя решение (89) в уравнение (87), получаем для нормальных частот следующие выражения:

.

(90)

Таким образом колебание каждого маятника есть сумма двух гармонических колебаний с нормальными частотами w₁ и w₂:

,

где постоянные A₁; A₂; B₁; B₂; y₁; y₂ – определяются начальными условиями.

В частном случае, когда параметры маятников совпадают (m₁=m₂=m, l₁=l₂=l) выражения (88) и (90) упрощаются. В этом случае парциальные частоты ω_{0 1} и ω_{0 2} равны между собой:

.

Подставляя это выражение в (90), получаем для нормальных частот связанной системы:

,

(91)

т.е. справедливо соотношение: .

Чтобы разобраться в процессе биений, необходимо рассмотреть вопрос сложения двух гармонических колебаний различных частот:

.

(92)

Если w₁ и w₂ не очень отличаются друг от друга, то можно положить ω₁=ω₂+δ, где δ – разница частот – малая величина, то суммарное колебание из (92)

,

(93)

а член будет мало меняться со временем, то уравнение (93) примет вид:

,

(93)

Выражение (92) описывает колебания вида биений. График таких колебаний показан на рис. 18, и их можно назвать «чистыми биениями». Причем очевидно, что период биений равен: .

t

X

Рис. 18. Колебания вида биений

Частота биений равна разности частот составляющих колебаний и не зависит от их амплитуд и начальных фаз.

При действии на колебательную систему внешней гармонической силой, оба маятника будут совершать вынужденные гармонические колебания с частотой вынуждающей силы W. Амплитуда колебаний системы в этом случае будет зависеть от W следующим образом:

,

где b – коэффициент затухания системы; w_i – нормальные частоты колебательной системы. В случае малых затуханий при приближении частоты вынуждающей силы к одной из нормальных частот происходит характерное для резонанса возрастание амплитуды колебаний системы и, следовательно (при наличии двух частот w₁ и w₂), будет наблюдаться так называемый ”двугорбый резонанс” (рис. 19).

Рис. 19. Амплитудно-частотные характеристики