Каждое из результатов измерений включает в себя какую-то ошибку

.

Если через х обозначить истинное значение измеряемой величины, то можно записать:

.

Если сложить все эти равенства и разделить на число измерений N, то получим:

.

Для большого количества наблюдений N>100 (измерений одной и той же величины) из вышеизложенного можно привести методику обработки результатов эксперимента.

1. Проводим эксперимент, измеряя многократно величину x_i. Результаты эксперимента заносим в таблицу в первый вертикальный столбец. Таблицу удобнее сразу заполнять в компьютер, например в электронные таблицы Exel или в статистические программы.

2. Вычисляем среднее значение .

3. Для оценки величины случайной ошибки во второй столбец напротив каждого измерения заносим модуль разницы между измеренной величиной и средним значением: .

4. Вычисляем среднюю арифметическую ошибку: .

5. Внимательно проверяем во втором столбце отклонений результата измерения от среднего значения выполнение не превышение результата от средней арифметической ошибки: . При нарушении данного неравенства результаты этого измерения ставим под сомнение считая грубой ошибкой и исключаем его из таблицы. После исключения всех промахов, повторяем п. 2–4.

Величину Δx называют абсолютной ошибкой измерения и считают главной характеристикой точности измерения. После проведения данных оценок можно заключить, что истинное значение измеряемой величины лежит в интервале значений . Данный интервал в математической статистике называют доверительным интервалом для точного значения величины x. Распространенный способ записи доверительного интервала в виде:

.

(1)

Иным образом строят доверительный интервал при ограниченном числе наблюдений. При условии, что в случайную ошибку эксперимента вносят клад множество факторов, то методика расчета следующая.

1. Определяются с количеством N экспериментальных наблюдений. Минимальное количество опытов при одних и тех же условиях должно быть не менее трех. Считается, что два из трех опытов будут достоверны. Обычно проводят не менее пяти опытов.

2. Проводим эксперимент, измеряя величину x_i. Результаты эксперимента заносим в таблицу в первый вертикальный столбец. Таблицу удобнее сразу заполнять в компьютер.

3. Вычисляем среднее значение:

.

(2)

4. Для оценки величины случайной ошибки во второй столбец напротив каждого измерения заносим модуль разницы между измеренной величиной и средним значением: .

5. Вычисляем среднеквадратичное отклонение:

.

(3)

6. Задаются доверительной вероятностью p, показывающей вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в постраиваемый доверительный интервал. Обычно в инженерных расчетах p=0,95. По табл. 1 находят поправочный коэффициент Стьюдента (более точные таблицы можно найти в статистических справочниках или в статистических программах, например, в Exel распределение Стьюдента выдает функция =СТЬЮДРАСПОБР(1–p;N–1)). Таблица построена следующим образом: строки соответствуют поправочным коэффициентам для количества экспериментов N, а столбцы – для доверительной вероятности p; на пересечении находим нужный коэффициент.

7. Вычисляем абсолютную ошибку измерения:

.

(4)

где t_P,N – коэффициент Стьюдента.

8. Внимательно проверяем во втором столбце отклонений результата измерения от среднего значения выполнение не превышение результата от средней арифметической ошибки: . При нарушении данного неравенства результаты этого измерения ставим под сомнение считая грубой ошибкой и исключаем его из таблицы. После исключения всех промахов, повторяем п. 2–7, а при недостатке экспериментальных наблюдений повторяем эксперимент.

9. Результат эксперимента приводим в виде (1).

Таблица 1

Коэффициенты Стьюдента

Число измерений N	Доверительная вероятность Р
	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	0,95	0,99
	1,00	1,38	2,01	3,1	6,3	12,7	63,5
	0,82	1,06	1,31	1,9	2,9	4,3	9,9
	0,77	0,98	1,25	1,6	2,4	3,2	5,8
	0,74	0,94	1,20	1,5	2,1	2,8	4,6
	0,73	0,92	1,16	1,5	2,0	2,6	4,0
	0,72	0,90	1,13	1,4	1,9	2,4	3,7
	0,71	0,90	1,11	1,4	1,9	2,4	3,5
	0,70	0,88	1,11	1,4	1,9	2,3	3,4

Приведем пример расчета результатов прямого измерения. В результате эксперимента контролировали диаметр прессованного алюминиевого прутка. Диаметр прутка измеряли микрометром в каждом месте через 10 см по длине. В каждой точке проводили по 5 измерений. Доверительный интервал строили с доверительной вероятностью p=0,95. Результаты одного эксперимента приведены в табл. 2.

Таблица 2

Результаты измерения диаметра прутка в одном контрольном месте

Номер опыта	Диаметр Di, мм	, мм	Примечание
	10,08	0,014
	10,11	0,016
	10,26	0,166	Промах
	9,98	0,114
	10,04	0,054
2,7764	10,094	0,0469	0,130

Из результатов таблицы видно, что третье измерение является грубой ошибкой, поскольку отклонение от среднего результата в данном измерении превышает рассчитанную абсолютную ошибку ΔD. Данное измерение исключаем из таблицы и пересчитываем снова. Результаты пересчета приведены в табл. 3.

Таблица 3

Результаты измерения диаметра прутка в одном контрольном месте

после исключения грубых ошибок

Номер опыта	Диаметр Di, мм	, мм	Примечание
	10,08	0,028
	10,11	0,058
	9,98	0,072
	10,04	0,012
3,1824	10,052	0,0281	0,089

В табл. 3 грубые ошибки отсутствуют и ее можно использовать в качестве окончательного отчета о проведенной работе.

Другой методикой определения абсолютной ошибкой пользуются при повторяющихся результатах измерения. Если при измерении физической величины постоянно появляется одной и то же значения, то такой результат называется повторяющимся. Повторяющийся результат говорит о том, что прибор не ощущает случайных ошибок и точность его мала.

При повторяемости результата за абсолютную ошибку наблюдения принимают половину цены деления, если класс точности прибора не указан. Если класс точности прибора известен (обычно он написан на приборе или указан в паспорте прибора в процентах), то за абсолютную ошибку измерении принимают: , где p – класс точности прибора, x_max – максимальное показание шкалы прибора.

Во всех приведенных методиках, за исключением повторяемости результатов, необходимо помнить о том, что если абсолютная ошибка при расчете получается меньше чем погрешность прибора, то в качестве абсолютной ошибки нужно брать погрешность прибора.

В некоторых случаях невозможно произвести опыт несколько раз, сохраняя неизменными условия эксперимента. К таким экспериментам относятся, например, измерения тепловых характеристик при постоянной скорости нагрева: дилотометрия (измерение изменения размеров тела при изменении температуры), калориметрический метод измерения теплоемкости, измерение удельной поверхности адсорбента и т.д.; а также неповторимые однозначно опыты, например, изучение взрывов.

При однократных измерениях за абсолютную ошибку измерения принимают погрешность прибора.

Для полной характеристики точности эксперимента определяют кроме абсолютной ошибки еще и относительную ошибку эксперимента, которую выражают зачастую в относительных процентах:

.

(5)

В большинстве экспериментов целью ставят не прямые, а косвенные измерения. К косвенным измерениям относят расчет измеряемой величины по известной теоретической зависимости по результатам прямых измерений аргументов , где М – число аргументов в расчетной формуле, для которых проводятся прямые измерения. Например, определение плотности шара по прямым измерениям его массы взвешиванием и диаметра метрически.

Абсолютная ошибка косвенных измерений определяется в соответствии с правилами дифференциального исчисления функций нескольких переменных:

.

Для вышеприведенного примера определения плотности шара, диаметр которого порядка 20 мм, методика проведения и обработки эксперимента следующая.

1. Определяемся с измерительными приборами: массу шара будем определять на аналитических весах с приборной точностью 10 мг, диаметр шара определяем микрометром с приборной ошибкой 0,005 мм.

2. Записываем расчетную формулу:

и выводим формулу для вычисления абсолютной ошибки:

.

3. Проводим по пять прямых измерений массы и диаметра шара и рассчитываем по приведенной методике (см. формулы (2)–(4) и табл. 2 и табл. 3). Результаты измерений представляем в виде таблиц, под которыми записываем вывод в виде формулы (1). Масса и диаметр шара равны: .

4. Подставляя в полученную в п.2 формулу для расчета плотности средние значения массы и диаметра, вычисляем плотность материала шара.

5. Подставляя в полученную в п.2 формулу для расчета абсолютной ошибки определения плотности средние значения массы, диаметра и их абсолютных ошибок, вычисляем абсолютную ошибку определения плотности материала шара.