Призма. Параллелепипед

Призмой называется многогранник, две грани которого – равные n-угольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы (боковые грани). Боковым ребром призмы называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию.

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой (рис. 1). Если боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется наклонной. Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональным сечением называется сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Перпендикулярным сечением называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы.

Призма. Параллелепипед - student2.ru Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех граней призмы (т.е. сумма площадей боковых граней и площадей оснований).

Рис. 1

Для произвольной призмы верны формулы:

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Призма. Параллелепипед - student2.ru (1)

Призма. Параллелепипед - student2.ru

где l – длина бокового ребра;

H – высота;

P – периметр перпендикулярного сечения;

Q – Площадь перпендикулярного сечения;

Sбок – площадь боковой поверхности;

Sполн – площадь полной поверхности;

Sосн – площадь оснований;

V – объем призмы.

Для прямой призмы верны формулы:

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Призма. Параллелепипед - student2.ru

где p – периметр основания;

l – длина бокового ребра;

H – высота.

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны к основаниям, называется прямым (рис. 2). Если боковые ребра не перпендикулярны основаниям, то параллелепипед называется наклонным. Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. Длины ребер, исходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда. Так как параллелепипед – это призма, то основные его элементы определяются аналогично тому, как они определены для призм.

Теоремы.

1. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

2. В прямоугольном параллелепипеде квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех его измерений: Призма. Параллелепипед - student2.ru

3. Призма. Параллелепипед - student2.ru Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

Рис. 2

Для произвольного параллелепипеда верны формулы:

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Призма. Параллелепипед - student2.ru

где l – длина бокового ребра;

H – высота;

P – периметр перпендикулярного сечения;

Q – Площадь перпендикулярного сечения;

Sбок – площадь боковой поверхности;

Sполн – площадь полной поверхности;

Sосн – площадь оснований;

V – объем призмы.

Для прямого параллелепипеда верны формулы:

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Призма. Параллелепипед - student2.ru (2)

где p – периметр основания;

l – длина бокового ребра;

H – высота прямого параллелепипеда.

Для прямоугольного параллелепипеда верны формулы:

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Призма. Параллелепипед - student2.ru (3)

Призма. Параллелепипед - student2.ru

где p – периметр основания;

H – высота;

d – диагональ;

a,b,c – измерения параллелепипеда.

Для куба верны формулы:

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Призма. Параллелепипед - student2.ru

где a – длина ребра;

d – диагональ куба.

Пример 1.Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 33 дм, а его измерения относятся, как 2 : 6 : 9. Найти измерения параллелепипеда.

Решение. Для нахождения измерений параллелепипеда воспользуемся формулой (3), т.е. тем фактом, что квадрат гипотенузы прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Обозначим через k коэффициент пропорциональности. Тогда измерения параллелепипеда будут равны 2k, 6k и 9k. Запишем формулу (3) для данных задачи:

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Решая это уравнение относительно k, получим:

Призма. Параллелепипед - student2.ru Призма. Параллелепипед - student2.ru

Значит, измерения параллелепипеда равны 6 дм, 18 дм и 27 дм.

Ответ: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

Пример 2. Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной 8 см, если боковое ребро равно стороне основания и наклонено под углом 60º к основанию.

Призма. Параллелепипед - student2.ru Решение. Сделаем рисунок (рис. 3).

Для того, чтобы найти объем наклонной призмы необходимо знать площадь ее основания и высоту. Площадь основания данной призмы – это площадь равностороннего треугольника со стороной 8 см. Вычислим ее:

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Высотой призмы является расстояние между ее основаниями. Из вершины А1 верхнего основания опустим перпендикуляр на плоскость нижнего основания А1D. Его длина и будет высотой призмы. Рассмотрим DА1АD: Призма. Параллелепипед - student2.ru Призма. Параллелепипед - student2.ru так как это угол наклона бокового ребра А1А к плоскости основания, А1А = 8 см. Из этого треугольника находим А1D:

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Теперь вычисляем объем по формуле (1):

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Ответ: 192 см3.

Пример 3. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 14 см. Площадь наибольшего диагонального сечения равна 168 см2. Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 4)

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Рис. 4

Наибольшее диагональное сечение – прямоугольник AA1DD1, так как диагональ AD правильного шестиугольника ABCDEF является наибольшей. Для того, чтобы вычислить площадь боковой поверхности призмы, необходимо знать сторону основания и длину бокового ребра.

Зная площадь диагонального сечения (прямоугольника), найдем диагональ основания.

Поскольку Призма. Параллелепипед - student2.ru , то Призма. Параллелепипед - student2.ru

Так как Призма. Параллелепипед - student2.ru то АВ = 6 см.

Тогда периметр основания равен: Призма. Параллелепипед - student2.ru

Найдем площадь боковой поверхности призмы:

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Площадь правильного шестиугольника со стороной 6 см равна:

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Находим площадь полной поверхности призмы:

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Ответ: Призма. Параллелепипед - student2.ru

Пример 4. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площади диагональных сечений 300 см2 и 875 см2. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 5).

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Обозначим сторону ромба через а, диагонали ромба d1 и d2, высоту параллелепипеда h. Чтобы найти площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда необходимо периметр основания умножить на высоту: Призма. Параллелепипед - student2.ru (формула (2)). Периметр основания р = АВ + ВС + CD + DA = 4AB = 4a, так как ABCD – ромб. Н = АА1 = h. Т.о. Призма. Параллелепипед - student2.ru Необходимо найти а и h.

Рассмотрим диагональные сечения. АА1СС1 – прямоугольник, одна сторона которого диагональ ромба АС = d1, вторая – боковое ребро АА1 = h, тогда

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Аналогично для сечения ВВ1DD1 получим:

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Используя свойство параллелограмма такое, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, получим равенство Призма. Параллелепипед - student2.ru Получим следующее:

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Из первых двух равенств выразим Призма. Параллелепипед - student2.ru и подставим в третье. Получим:

Призма. Параллелепипед - student2.ru Призма. Параллелепипед - student2.ru Призма. Параллелепипед - student2.ru

Призма. Параллелепипед - student2.ru и далее

Призма. Параллелепипед - student2.ru Тогда

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Ответ: 1850 см2.

Пример 5. На ребрах СС1, AD и АВ куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р, М, R – середина этих ребер. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки Р, М, R. Считая ребро куба равным 24 см, найти площадь полученного сечения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 6).

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Построение. Прямая MR – след секущей плоскости на плоскости нижнего основания. Призма. Параллелепипед - student2.ru Призма. Параллелепипед - student2.ru Призма. Параллелепипед - student2.ru Призма. Параллелепипед - student2.ru Получается искомое сечение куба PNRMK. Для вычисления его площади воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Многоугольник PNRMK, его ортогональная проекция – СВRMD, определим, где угол между плоскостями этих многоугольников. Ребром двугранного угла является прямая MR. Из точки Р опустим перпендикуляр на прямую MR: Призма. Параллелепипед - student2.ru точка Е – середина отрезка MR. Призма. Параллелепипед - student2.ru Призма. Параллелепипед - student2.ru – угол между плоскостью многоугольника и его проекции. Теорему запишем в виде:

Призма. Параллелепипед - student2.ru Тогда Призма. Параллелепипед - student2.ru

Вычислим Призма. Параллелепипед - student2.ru Так как ABCD – квадрат, а Призма. Параллелепипед - student2.ru – треугольник равнобедренный Призма. Параллелепипед - student2.ru то

Призма. Параллелепипед - student2.ru

Вычислим Призма. Параллелепипед - student2.ru Призма. Параллелепипед - student2.ru Призма. Параллелепипед - student2.ru из Призма. Параллелепипед - student2.ru

Призма. Параллелепипед - student2.ru Призма. Параллелепипед - student2.ru

Призма. Параллелепипед - student2.ru Призма. Параллелепипед - student2.ru

Площадь сечения: Призма. Параллелепипед - student2.ru

Ответ: Призма. Параллелепипед - student2.ru

Наши рекомендации