Ортогональность тригонометрической системы

Тригонометрические ряды

Функция , определенная на неограниченном множестве , называется периодической, если существует число такое, что для каждого выполняется условие:

, где

Замечание: Наименьшее из таких чисел называется периодом функции .

Примеры

1. Функция , определенная на интервале , является периодической, так как существует число такое, что для всех выполняется условие Таким образом, функция имеет период . Аналогично исследуется функция .

2. Функция , определенная на множестве чисел является периодической, так как существует число а именно, такое, что для имеем

Функциональный ряд вида

(1)

называется тригонометрическим рядом, а постоянные называются коэффициентами тригонометрического ряда (1).

Частичные суммы тригонометрического ряда (1) являются линейными комбинациями функций из системы функций которая называется тригонометрической системой. Так как членами этого ряда являются периодические функции с периодом , то в случае сходимости ряда (1) его сумма будет периодической функцией с периодом :

Разложить периодическую функцию с периодом в тригонометрический ряд (1) означает найти сходящийся тригонометрический ряд, сумма которого равна функции .

Ортогональность тригонометрической системы

Функции , непрерывные на отрезке , называются ортогональными на этом отрезке, если выполнено условие

Примеры

Функции ортогональны на отрезке , так как

Конечная или бесконечная система функций

интегрируемых на отрезке , называется ортогональной системой на этом же отрезке, если для любых номеров таких, что выполняется равенство

Теорема №1.

Тригонометрическая система

ортогональна на отрезке .

Доказательство

При любом целом имеем

С помощью известных формул тригонометрии

для любых натуральных находим:

Наконец, в силу формулы

для любых целых получаем

При имеем

Что и требовалось доказать.

Тригонометрический ряд Фурье

Поставим себе задачей вычислить коэффициенты тригонометрического ряда (1), зная функцию

Теорема №2.

(1)

(2)

Пусть равенство

имеет место для всех значений x, причем ряд в правой части равенства сходится равномерно на отрезке . Тогда справедливы формулы:

Доказательство

Из равномерной сходимости ряда (1) вытекает непрерывность, а значит, и интегрируемость функции . Поэтому равенства (2) имеют смысл. Более того, ряд (1) можно почленно интегрировать.

Имеем

или

откуда и следует первая из формул (2) для

Умножим теперь обе части равенства (1) на функцию произвольное натуральное число:

Ряд (3), как и ряд (1), сходится равномерно. Поэтому его можно интегрировать почленно,

Все интегралы в правой части, кроме одного, который получается при , равны нулю в силу ортогональности тригонометрической системы. Поэтому

откуда

Аналогично, умножая обе части равенства (1) на и интегрируя от , получим

откуда

Что и требовалось доказать.

Пусть дана произвольная периодическая функция периода 2π, интегрируемая на отрезке . Можно ли её представить в виде суммы некоторого сходящегося тригонометрического ряда, заранее неизвестно. Однако по формулам (2) можно вычислить постоянные и .

Тригонометрический ряд

Коэффициенты которого определяется через функцию по формулам

Называется тригонометрическим рядом Фурье функции , а коэффициенты , определяемые по этим формулам, называются коэффициентами Фурье функции

Каждой интегрируемой на отрезке функции можно поставить в соответствие ее ряд Фурье

Т.е. тригонометрический ряд, коэффициенты которого определяются по формулам (2). Однако если от функции не требовать ничего, кроме интегрируемости на отрезке , то знак соответствия в последнем соотношении, вообще говоря, нельзя заменить знаком равенства.

Замечание.Часто требуется разложить в тригонометрический ряд функцию , определенную только на отрезке и, следовательно, не являющуюся периодической. Так как в формулах (2) для коэффициентов Фурье интегралы вычисляются по отрезку то такой функции тоже можно написать тригонометрический ряд Фурье. Вместе с тем, если продолжить функцию периодически на всю ось Оx, то получим функцию на интервале :

Эту функцию называют периодическим продолжением функции . При этом функции не имеет однозначного определения в точках

Ряд Фурье для функции тождественен ряду Фурье для функции . К тому же, если ряд Фурье для функции с отрезка на всю ось Ox . В этом смысле говорить о ряде Фурье для функции , определенной на отрезке , равносильно тому, что говорить о ряде Фурье для функции , являющейся периодическим продолжением функции на всю ось Ox. Отсюда следует, что признаки сходимости рядов Фурье достаточно сформулировать для периодических функций.

Достаточные условия

Примеры

1. Функция является кусочно-монотонной на интервале , так как этот интервал можно разбить на два интервала , на первом из которых она убывает (и значит, не возрастает), а на втором возрастает (и значит, не убывает).

2. Функция кусочно-монотонна на отрезке , так как этот отрезок можно разбить на два интервала

Теорема №3

Функция , кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке , может иметь на нем только точки разрыва первого рода.

Доказательство

Пусть, например, точка разрыва функции Тогда в силу ограниченности функции и монотонности по обе стороны от точки с существуют конечные односторонние пределы

Это означает, что точка c есть точка разрыва первого рода (рис.2). Что и требовалось доказать.

Теорема №4

Если периодическая функция с периодом 2π кусочно-монотонна и ограничена на отрезке , то ее ряд Фурье сходится в каждой точке x этого отрезка, причем для суммы

Этого ряда выполняются равенства:

1.

2.

3.

Примеры

3. Функция периода , определенная на интервале равенством , удовлетворяет условиям теоремы. Поэтому её можно разложить в ряд Фурье. Находим для неё коэффициенты Фурье:

Ряд Фурье для такой функции имеет вид

4. Разложить функцию в ряд Фурье на интервале .

Данная функция удовлетворяет условиям теоремы 4. Найдем коэффициенты Фурье, используя свойство аддитивности определенного интеграла.

Следовательно, ряд Фурье имеет следующий вид:

На концах отрезка , т.е. в точках , которые являются точками разрыва первого рода, будем иметь .

Замечание.Если в найденном ряде Фурье положить , то получим

Примеры

1. Функция является четной на отрезке , так как для всех

2. Функция является нечетной на отрезке , так как для всех

3. Функция , не принадлежит ни к четным, ни к нечетным функциям, так как

.

Пусть функция , удовлетворяющая условиям теоремы 1, является четной на отрезке . Тогда

т.е. является четной функцией, а - нечетной. Поэтому коэффициенты Фурье четной функции будут равны

Следовательно, ряд Фурье четной функции имеет вид

Если нечетная функция на отрезке , то произведение будет нечетной функцией, а произведение четной функцией. Поэтому будем иметь

Следовательно, ряд Фурье нечетной функции имеет вид

Примеры

1. Разложить в ряд Фурье на отрезке функцию

>>Решение <<

2. Разложить в ряд Фурье на интервале функцию .

>>Решение<<

Примеры

1. Функцию разложить в ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам.

>>> решение <<<

Примеры

1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , заданную на отрезке формулой

>>Решение и рисунок<<

Теорема №5

Если функция имеет период и интегрируема, то для любого числа a выполняется равенство

т.е. интеграл по отрезку, длина которого равная периоду T, имеет одно и то же значение независимо от положения этого отрезка на числовой оси.

Доказательство

В самом деле,

Делаем замену переменной во втором интеграле, полагая Это дает

и следовательно,

Что и требовалось доказать.

Геометрически это свойство означает, что в случае площади заштрихованных на рис.10 областей равны между собой.

Примеры

2. Функция является периодической с периодом В силу нечетности данной функции без вычисления интегралов можно утверждать, что при любом a

>>> тут еще замечание должно быть <<<

3. Разложить в ряд Фурье заданную на интервале функцию

с периодом 2π.

>> решение <<

Примеры

1. Разложить в комплексный ряд Фурье функцию периода 2π

…. решение….

Ряд Фурье

Введем обозначение

и назовем величину нормой функции .

Если в ортогональной системе для всякого n имеем , то система функций называется ортонормированной.

Если система ортогональна, то система ортонормирована.

Примеры

1.

2.

3.

Система функций называется ортогональной на интервале с весом , если:

1. для всех существуют интегралы

2.

Здесь предполагается, что весовая функция определена и положительна всюду на интервале за возможным исключением конечного числа точек, где может обращаться в нуль.

Примеры

4.

5.

(4)

9.2. Ряд Фурье по ортогональной системе

Пусть ортогональная система функций в интервале и пусть ряд

сходится на этом интервале к функции :

(5)

Умножая обе части последнего равенства на фиксировано) и интегрируя по xот a до b, в силу ортогональности системы получим, что

или

(6)

Эта операция имеет, вообще говоря, чисто формальный характер. Тем не менее, в некоторых случаях, например, когда ряд (4) сходится равномерно, все функции непрерывны и интервал конечен, эта операция законна. Но для нас сейчас важна именно формальная трактовка. Итак, пусть задана функция . Образуем числа по формуле (5) и напишем

Ряд, стоящий в правой части, называется рядом Фурье функции относительно системы . Числа называются коэффициентами Фурье функции по этой системе. Знак в формуле (6) означает лишь, что числа связаны с функцией формулой (5) (при этом не предполагается, что ряд справа вообще сходится, а тем более сходится к функции ). Поэтому естественно возникает вопрос: каковы свойства этого ряда? В каком смысле он «представляет» функцию ?

Сходимость в среднем

Последовательность , сходится к элементу в среднем, если

или, что то же, норма в пространстве .

Теорема №6

Если последовательность сходится равномерно, то она сходится и в среднем.

Доказательство

Пусть последовательность сходится равномерно на отрезке к функции . Это означает, что для всякого при всех достаточно больших n имеем

Следовательно,

откуда вытекает наше утверждение. Что и требовалось доказать.

Обратное утверждение неверно: последовательность может сходиться в среднем к , но не быть равномерно сходящейся.

Пример

Рассмотрим последовательность….

Равенство Парсеваля

(12)

Для некоторых систем знак неравенства в формуле (10) может быть заменен (для всех функций ) знаком равенства. Получаем равенство

называется равенством Парсеваля-Стеклова (условием полноты).

Тождество Бесселя (9) позволяет записать условие (12) в равносильной форме

Тем самым выполнение условия полноты означает, что частичные суммы ряда Фурье функции сходятся к функции в среднем, т.е. по норме пространства .

Ортонормированная система называется полной в , если всякую функцию можно с любой точностью приблизить в среднем линейной комбинацией вида

с достаточно большим числом слагаемых, т.е. если для всякой функции и для любого найдется натуральное число и числа такие, что

Теорема №7

Если ортонормированная система полна в пространстве , то ряд Фурье всякой функции по этой системе сходится к в среднем, т.е. по норме .

Можно показать, что тригонометрическая система

полна в пространстве Отсюда следует утверждение.

Теорема №8

Если функция , то её тригонометрический ряд Фурье сходится к ней в среднем.

Упражнения

Разложите в ряд Фурье в интервале функцию.

1.

2.

3.

4.

5. .

6.

7.

8. .

9.

10.

11.

Разложите в ряд Фурье функцию.

12. , заданную в интервале , продолжив её в интервал :

a) четным образом;

b) нечетным образом.

13. , заданную на интервале .

14. , заданную на интервале .

Разложите в ряд Фурье по синусам функцию.

15. , заданную на интервале .

16. , заданную на интервале .

Ответы

1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. а) ; б) . 13. . 14. . 15. . 16. .

Тригонометрические ряды

Функция , определенная на неограниченном множестве , называется периодической, если существует число такое, что для каждого выполняется условие:

, где

Замечание: Наименьшее из таких чисел называется периодом функции .

Примеры

1. Функция , определенная на интервале , является периодической, так как существует число такое, что для всех выполняется условие Таким образом, функция имеет период . Аналогично исследуется функция .

2. Функция , определенная на множестве чисел является периодической, так как существует число а именно, такое, что для имеем

Функциональный ряд вида

(1)

называется тригонометрическим рядом, а постоянные называются коэффициентами тригонометрического ряда (1).

Частичные суммы тригонометрического ряда (1) являются линейными комбинациями функций из системы функций которая называется тригонометрической системой. Так как членами этого ряда являются периодические функции с периодом , то в случае сходимости ряда (1) его сумма будет периодической функцией с периодом :

Разложить периодическую функцию с периодом в тригонометрический ряд (1) означает найти сходящийся тригонометрический ряд, сумма которого равна функции .

Ортогональность тригонометрической системы

Функции , непрерывные на отрезке , называются ортогональными на этом отрезке, если выполнено условие

Примеры

Функции ортогональны на отрезке , так как