Комплексные числа в тригонометрической форме

Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме

Алгебраической формой комплексного числа z = (a, b).называется алгебраическое выражение вида

z = a + bi.

Арифметические операции над комплексными числами z1= a1+ b1i и z2= a2+ b2i, записанными в алгебраической форме, осуществляются следующим образом.

1. Сумма (разность) комплексных чисел

z1± z2= (a1± a2) + (b1±b2)∙i,

т.е. сложение (вычитание) осуществляются по правилу сложения многочленов с приведением подобных членов.

2. Произведение комплексных чисел

z1∙z2= (a1∙a2- b1∙b2) + (a1∙b2+ a2∙b1)∙i,

т.е. умножение производится по обычному правилу умножения многочленов, с учетом того, что i2=1.

3. Деление двух комплексных чисел осуществляется по следующему правилу:

Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru , (z2 ≠ 0),

т.е. деление осуществляется умножением делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Возведение в степень комплексных чисел определяется следующим образом:

Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

Легко показать, что

Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru

Примеры.

1. Найти сумму комплексных чисел z1= 2 – i и z2= –4 + 3i.

z1+ z2= ( 2 + (–1)∙i )+ (–4 + 3i ) = ( 2 + (–4)) + ((–1) + 3 ) i = –2+2i.

2. Найти произведение комплексных чисел z1= 2 – 3i и z2= –4 + 5i.

Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru = ( 2 – 3i ) ∙ (–4 + 5i ) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i – 3i∙5i =7+22i.

3. Найти частное z от деления z1= 3 – 2на z2 = 3 – i.

z = Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

4. Решить уравнение: Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru , x и y Î R.

Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru

(2x + y ) + ( x + y )i = 2 + 3i.

В силу равенства комплексных чисел имеем:

Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru

откуда x = –1 , y = 4.

5. Вычислить: i2, i3, i4, i5, i6, i-1 , i-2.

Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru

6. Вычислить Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru , если Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru

Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

7. Вычислить число Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru обратное числу z =3-i.

Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

Комплексные числа в тригонометрической форме

Комплексной плоскостью называется плоскость с декартовыми координатами (x, y), если каждой точке с координатами (a, b) поставлено в соответствие комплексное число z = a + bi. При этом ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой. Тогда каждое комплексное число a + bi геометрически изображается на плоскости как точка A ( a, b ) или вектор Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

Следовательно, положение точки А ( и, значит, комплексного числа z) можно задать длиной вектора | Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru | = r и углом j , образованным вектором | Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru | с положительным направлением действительной оси. Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается | z |=r, а угол j называется аргументом комплексного числа и обозначается j = arg z .

Ясно, что | z | ³ 0 и | z | = 0 Û z = 0.

Из рис. 2 видно, что Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до 2pk, k Î Z.

Из рис. 2 видно также, что если z=a+bi и j=arg z, то

cosj = Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru , sinj = Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru , tgj = Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

Если zÎ Rи z > 0,то arg z = 0 +2pk;

если z Î Rи z < 0,то arg z = p + 2pk;

если z = 0, arg z не определен.

Главное значение аргумента определяется на отрезке 0 £ arg z £ 2p,

либо -p £ arg z £ p.

Примеры:

1. Найти модуль комплексных чисел z1 = 4 – 3i и z2 = –2–2i.

Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru ;

Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

2. Определить на комплексной плоскости области, задаваемые условиями:

1) | z | = 5; 2) | z | £ 6; 3) | z – (2+i) | £ 3; 4) 6 £ | z – i | £ 7.

Решения и ответы:

1) | z | = 5 Û Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru Û Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru - уравнение окружности радиусом 5 и с центром в начале координат.

2) Круг радиусом 6 с центром в начале координат.

3) Круг радиусом 3 с центром в точке z0 = 2 + i.

4) Кольцо, ограниченное окружностями с радиусами 6 и 7 с центром в точке z0 = i.

3. Найти модуль и аргумент чисел: 1) Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru ; 2) Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

1) Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru ; а = 1, b = Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru Þ Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru ,

Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru Þ j1 = Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

2) z2 = –2 – 2i; a = –2, b = -2 Þ Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru ,

Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

Указание: при определении главного аргумента воспользуйтесь комплексной плоскостью.

Используя формулы Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru можно перейти от алгебраической формы записи комплексных чисел к тригонометрической форме (формула Муавра):

Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

Комплексные числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на целое число кратное 2p.

4. Записать числа в тригонометрической форме.

1) Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru , 2) Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru , 3) Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru , 4) Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

1) Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru , Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru ,

Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

(За значение угла берем наименьшее неотрицательное из возможных значений аргумента.)

Таким образом: z1 = Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

2) Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru , r2 = 1, j2 = Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru , Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

3) Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru , r3 = 1, j3 = Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru , Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

4) Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru , r4 = 1, j4 = Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru , Комплексные числа в тригонометрической форме - student2.ru .

Наши рекомендации