Из обратной многократной геодезической засечки
Рис. 3. Схема обратной многократной геодезической засечки
Для определения положения пункта Р (рис. 3) обратной геодезической засечкой необходимо на местности иметь три твёрдых (опорных) пункта, а на пункте Р выполнить измерение углов от какого-либо направления, принятого за начальное, до каждого из направлений, например: твёрдые пункты - Т1, Т2, Т3; углы - β1 и β2. С целью контроля и повышения точности используют большее число пунктов Т4,….,Тn+1 и выполняют измерения большего числа углов β3, β4,..., βn, в этом случае обратная засечка называется "многократной".
- 11 -
На определяемом пункте Р можно вместо углов выполнить измерение направлений на твёрдые (опорные) пункты, в этом случае положение точки Рбудет определено несколько точнее, чем при измерении отдельных углов.
Измерение углов и направлений на определяемом пункте Р выполняют точными оптическими теодолитами Т2, 2Т2 (или им равноточными) методами и числом приёмов, соответствующими данному классу точности геодезической сети.
Пример № 3
Определить координаты пункта Р, полученного из обратной многократной засечки (рис. 3), и произвести оценку точности.
Координаты исходных пунктов и измеренные углы для вариантов приведены в табл. 4.
Таблица 4
Исходные данные и измеренные величины
| № варианта | Исходные пункты | Координаты, м | Измеренные направления | |
| X | Y | |||
| Т1 | 13 134,209 | 2 736,034 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 243,222 | 5 137,586 | 54 47 56,7 | |
| Т3 | 9 738,903 | 7 146,400 | 144 36 17.3 | |
| Т4 | 8 962,278 | 3 994,663 | 235 42 00.1 | |
| Т5 | 11 206,911 | 3 032,828 | 327 26 48.2 | |
| Т1 | 13 144,325 | 2 747,180 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 253,338 | 5 148,732 | 54 47 55.9 | |
| Т3 | 9 749,019 | 7 157,546 | 144 36 25.1 | |
| Т4 | 8 979,394 | 4 005,809 | 235 42 09.1 | |
| Т5 | 11 217,027 | 3 043,974 | 327 26 46.2 | |
| Т1 | 13 154,441 | 2 758,326 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 263,454 | 5 159,878 | 54 47 53.8 | |
| Т3 | 9 759,135 | 7 168,692 | 144 36 31,8 | |
| Т4 | 8 982,510 | 4 016,955 | 235 42 19,0 | |
| Т5 | 11 227,143 | 3 055,120 | 327 26 45,2 | |
| Т1 | 13 164,557 | 2 769,472 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 273,570 | 5 171,024 | 54 47 50,5 | |
| Т3 | 9 769,251 | 7 179,838 | 144 36 37,6 | |
| Т4 | 8 992,626 | 4 028,101 | 235 42 29,5 | |
| Т5 | 11 237,259 | 3 066,266 | 327 26 45,2 |
- 12 -
(продолжение таблицы 4)
Исходные данные и измеренные величины
| № варианта | Исходные пункты | Координаты, м | Измеренные направления | |
| X | Y | |||
| Т1 | 13 174,673 | 2 780,618 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 283,686 | 5 182,170 | 54 47 46,2 | |
| Т3 | 9 779,367 | 7 190,984 | 144 36 41,7 | |
| Т4 | 9 002,742 | 4 039,247 | 235 42 39,9 | |
| Т5 | 11 247,375 | 3 077,412 | 327 26 46.2 | |
| Т1 | 13 184,789 | 2 791,764 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 293,802 | 5 193,316 | 54 47 41,2 | |
| Т3 | 9 789,483 | 7 202,130 | 144 36 44,3 | |
| Т4 | 9 012,858 | 4 050,393 | 235 42 50,0 | |
| Т5 | 11 257,491 | 3 088,558 | 327 26 48.2 | |
| Т1 | 13 194,905 | 2 802,910 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 303,918 | 5 204,462 | 54 47 35,4 | |
| Т3 | 9 799,599 | 7 213,276 | 144 36 45,0 | |
| Т4 | 9 022,974 | 4 061,539 | 235 42 59,1 | |
| Т5 | 11 267,607 | 3 099,704 | 327 26 48.2 | |
| Т1 | 13 205,021 | 2 814,056 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 314,034 | 5 215,608 | 54 47 35,4 | |
| Т3 | 9 809,715 | 7 224,422 | 144 36 43,9 | |
| Т4 | 9 033,090 | 4 072,685 | 235 43 06,9 | |
| Т5 | 11 277,723 | 3 110,850 | 327 26 54,7 | |
| Т1 | 13 215,137 | 2 825,202 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 324,150 | 5 226,754 | 54 47 23,1 | |
| Т3 | 9 819,831 | 7 235,568 | 144 36 41,1 | |
| Т4 | 9 043,206 | 4 083,831 | 235 43 13,2 | |
| Т5 | 11 287,839 | 3 121,996 | 327 26 58,9 | |
| Т1 | 13 225,253 | 2 836,348 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 334,266 | 5 273,900 | 54 47 17,1 | |
| Т3 | 9 829,947 | 7 246,714 | 144 36 36,6 | |
| Т4 | 9 053,322 | 4 094,977 | 235 43 17,6 | |
| Т5 | 11 297,955 | 3 133,142 | 327 27 03,7 | |
| Т1 | 13 235,369 | 2 847,494 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 344,382 | 5 249,046 | 54 47 11,5 | |
| Т3 | 9 840,063 | 7 257,860 | 144 36 30,7 | |
| Т4 | 9 063,438 | 4 106,123 | 235 43 19,8 | |
| Т5 | 11 308,071 | 3 144,288 | 327 27 08,5 |
- 13 -
(продолжение таблицы 4)
Исходные данные и измеренные величины
| № варианта | Исходные пункты | Координаты, м | Измеренные направления | |
| X | Y | |||
| Т1 | 13 245,485 | 2 858,640 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 354,498 | 5 260,192 | 54 47 06,6 | |
| Т3 | 9 850,179 | 7 269,006 | 144 36 23,6 | |
| Т4 | 9 073,554 | 4 117,269 | 235 43 19,9 | |
| Т5 | 11 318,187 | 3 155,434 | 327 27 13,5 | |
| Т1 | 13 255,601 | 2 869,786 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 364,614 | 5 271,338 | 54 47 02,6 | |
| Т3 | 9 860,295 | 7 280,152 | 144 36 15,7 | |
| Т4 | 9 083,670 | 4 128,415 | 235 43 17,8 | |
| Т5 | 11 328,303 | 3 166,580 | 327 27 18,1 | |
| Т1 | 13 265,717 | 2 880,932 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 374,730 | 5 282,484 | 54 46 59,7 | |
| Т3 | 9 870,411 | 7 291,298 | 144 36 07,3 | |
| Т4 | 9 093,786 | 4 139,561 | 235 43 13,6 | |
| Т5 | 11 338,419 | 3 177,726 | 327 27 22,4 | |
| Т1 | 13 275,833 | 2 892,078 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 384,846 | 5 293,630 | 54 46 57,9 | |
| Т3 | 9 880,527 | 7 302,444 | 144 35 58,7 | |
| Т4 | 9 103,902 | 4 150,707 | 235 43 07,5 | |
| Т5 | 11 348,535 | 3 188,872 | 327 27 26,1 | |
| Т1 | 13 285,949 | 2 903,224 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 394,962 | 5 304,776 | 54 46 57,4 | |
| Т3 | 9 890,643 | 7 313,590 | 144 35 50,2 | |
| Т4 | 9 114,018 | 4 161,853 | 235 42 59,7 | |
| Т5 | 11 358,651 | 3 200,018 | 327 27 29,0 | |
| Т1 | 13 296,065 | 2 914,370 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 405,078 | 5 315,922 | 54 46 58,2 | |
| Т3 | 9 900,759 | 7 324,736 | 144 35 42,4 | |
| Т4 | 9 124,134 | 4 172,999 | 235 42 50,6 | |
| Т5 | 11 368,767 | 3 211,164 | 327 27 31,0 | |
| Т1 | 13 306,181 | 2 925,516 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 415,194 | 5 327,068 | 54 47 00,3 | |
| Т3 | 9 910,875 | 7 335,882 | 144 35 35,6 | |
| Т4 | 9 134,250 | 4 184,145 | 235 42 40,8 | |
| Т5 | 11 378,883 | 3 222,310 | 327 27 32,0 |
-14 -
(продолжение таблицы 4)
Исходные данные и измеренные величины
| № варианта | Исходные пункты | Координаты, м | Измеренные направления | |
| X | Y | |||
| Т1 | 13 316,297 | 2 936,662 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 425,310 | 5 338,214 | 54 47 03,6 | |
| Т3 | 9 920,991 | 7 347,028 | 144 35 29,9 | |
| Т4 | 9 144,366 | 4 195,291 | 235 42 30,2 | |
| Т5 | 11 388,999 | 3 233,456 | 327 27 32,0 | |
| Т1 | 13 326,413 | 2 947,808 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 435,426 | 5 349,360 | 54 47 07,9 | |
| Т3 | 9 931,107 | 7 358,174 | 144 35 25,8 | |
| Т4 | 9 154,482 | 4 206,437 | 235 42 19,8 | |
| Т5 | 11 399,115 | 3 244,602 | 327 27 31,0 | |
| Т1 | 13 336,529 | 2 958,954 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 445,542 | 5 360,506 | 54 47 12,9 | |
| Т3 | 9 941,223 | 7 369,320 | 144 35 23,2 | |
| Т4 | 9 164,598 | 4 217,583 | 235 42 09,8 | |
| Т5 | 11 409,231 | 3 255,748 | 327 27 29,1 | |
| Т1 | 13 346,645 | 2 970,100 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 455,658 | 5 371,652 | 54 47 18,7 | |
| Т3 | 9 951,339 | 7 380,466 | 144 35 22,4 | |
| Т4 | 9 174,714 | 4 228,729 | 235 42 00,6 | |
| Т5 | 11 419,347 | 3 266,894 | 327 27 26,2 | |
| Т1 | 13 356,761 | 2 981,246 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 465,774 | 5 382,798 | 54 47 24,8 | |
| Т3 | 9 961,455 | 7 391,612 | 144 35 23,6 | |
| Т4 | 9 184,830 | 4 239,875 | 235 41 52,8 | |
| Т5 | 11 429,463 | 3 278,040 | 327 27 22,5 | |
| Т1 | 13 366,877 | 2 992,392 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 475,890 | 5 393,944 | 54 47 30,9 | |
| Т3 | 9 971,571 | 7 402,758 | 144 35 26,3 | |
| Т4 | 9 194,946 | 4 251,021 | 235 41 46,5 | |
| Т5 | 11 439,579 | 3 289,186 | 327 27 18,3 | |
| Т1 | 13 376,993 | 3 003,538 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 484,006 | 5 405,090 | 54 47 30,8 | |
| Т3 | 9 981,687 | 7 413,904 | 144 35 26,3 | |
| Т4 | 9 205,062 | 4 262,167 | 235 41 42,2 | |
| Т5 | 11 449,695 | 3 300,332 | 327 27 13,5 |
- 15 -
(окончание таблицы 4)
Исходные данные и измеренные величины
| № варианта | Исходные пункты | Координаты, м | Измеренные направления | |
| X | Y | |||
| Т1 | 13 387,109 | 3 014,684 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 496,122 | 5 416,236 | 54 47 42,6 | |
| Т3 | 9 991,803 | 7 425,050 | 144 35 36,7 | |
| Т4 | 9 215,178 | 4 273,313 | 235 41 39,9 | |
| Т5 | 11 459,811 | 3 311,478 | 327 27 08,7 | |
| Т1 | 13 397,225 | 3 025,830 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 506,238 | 5 427,382 | 54 47 47,5 | |
| Т3 | 10 001,919 | 7 436,196 | 144 35 43,8 | |
| Т4 | 9 225,294 | 4 284,459 | 235 41 39,9 | |
| Т5 | 11 469,927 | 3 322,624 | 327 27 03,7 | |
| Т1 | 13 407,341 | 3 036,976 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 516,354 | 5 438,528 | 54 47 51,5 | |
| Т3 | 10 012,035 | 7 447,342 | 144 35 51,7 | |
| Т5 | 11 480,043 | 3 333,770 | 327 26 59,1 | |
| Т1 | 13 417,457 | 3 048,122 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 526,470 | 5 449,674 | 54 47 54,4 | |
| Т3 | 10 022,151 | 7 458,488 | 144 36 00,1 | |
| Т4 | 9 245,526 | 4 306,751 | 235 41 46,2 | |
| Т5 | 11 490,159 | 3 344,916 | 327 26 54,8 | |
| Т1 | 13 427,573 | 3 059,268 | 0°00'00,0'' | |
| Т2 | 12 536,586 | 5 460,820 | 54 47 56,2 | |
| Т3 | 10 032,267 | 7 469,634 | 144 36 08,8 | |
| Т4 | 9 255,642 | 4 317,897 | 235 41 52,2 | |
| Т5 | 11 500,275 | 3 356,062 | 327 26 51,1 |
Согласно теории параметрического способа уравнивания, выразим уравненные значения координат определяемого пункта (P(X ,Y) через приближённые значения X0, Y0 и поправки к ним δX и δY. Получим выражения
. (38)
- 16 -
Приближённые значения координат определяемого пункта P(X0,Y0) на плоскости по трём данным точкам обратной засечкой находят из решения задачи Потенота, а поправки к ним δX и δY определяют из уравнивания. О задаче Потенота имеется обширная литература и предложено более ста способов её решения. Рассмотрим один из них.
Программа уравнивания
Решение задачи Потенота
Рис. 4. Задача Потенота - 1
(по двум смежным углам)
- 17 -
Рис. 5. Задача Потенота - 2
(по двум несмежным углам)
Задача - неопределённая, если определяемая точка находится на окружности, проведённой через три исходных пункта.
Рис. 6. Задача Потенота - 3
- 18 -