Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности.

Задача о четвёртой точке (задача Потенота) решается с наибольшей точностью, если: а) определяемая точка лежит внутри треугольника, образованного исходными пунктами Т₁, Т₂ и Т₃ (см. рис. 4), сумма углов β₁ и β₂ всегда больше 180°;

б) определяемая точка лежит вне треугольника, образованного исходными пунктами Т₁, Т₂ и Т₃ (см. рис. 6), углы β₁ и β₂ должны быть не менее 30 и не более 150°;

в) расстояние между определяемой точкой Р и любым исходным пунктом Т должно быть не менее 0,8 - 1,0 км.

1.1 Вычисление радиусов окружностей, вмещающих измеренные на определяемом пункте Р углы β₁ и β₂

По формулам:

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru (39)

определить радиусы окружностей,

где Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru ,

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru ,

1.2 Вычисление координат центров окружностей, вмещающих измеренные на определяемом пункте Р углы β₁ и β₂ (рис. 4)

Рабочие формулы:

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru ;

(40)

где X_i, Y_i - координаты исходных пунктов (i=1, 2, 3); b_1,2; b_2,3- расстояния между исходными пунктами; X_O₁, Y_O₁ и X_O₂, Y_O₂ - координаты центров окружностей, проведённых через определяемую точку Р и исходные пункты Т₁-Т₂ и Т₂-Т₃.

- 19 -

1.3 Вычисление длины базиса В - расстояния между центрами окружностей, вмещающих измеренные на определяемом пункте Р углы β₁ и β₂

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru . (41)

1.4 Вычисление углов φ₁и φ₂ при базисе В и угла τ

Вычисление углов φ₁, φ₂ и τ вычисляют по формуле, предложенной Хмелевским Ю.С.

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru , , (42)

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru , (43)

где Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru - полупериметр.

Контроль: φ₁+ φ₂+ τ = 180°

1.4 Вычисление координат пункта Р и точки Коллинса P' (рис. 4)

по формулам Юнга

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru , (44)

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru , (45)

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru , (46)

- 20 -

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru , (47)

1.5 Решение обратных геодезических задач. Вычисление углов β₁ и β₂ с целью разрешения неоднозначности вычисления координат пункта Р

Рабочие формулы решения

Обратных геодезических задач

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru , , (48)

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru , (49)

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru , (50)

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru , , (51)

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru , (52)

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru . (53)

Формулы вычисления углов

β₁ и β₂

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru , , (54)

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru , , (55)

- 21 -

Если значения углов - величины отрицательные, то к ним следует прибавить 360°.

Совпадение вычисленных углов с измеренными позволяет однозначно определить определяемый пункт Р. В то же время, совпадение координат точки Р' с координатами пункта Т₂, является дополнительным контролем правильности определения координат пункта Р.

1.6 Оценка точности определения положения пункта Р

Точность положения пункта Р (без учёта ошибок исходных пунктов) в задаче Потенота определяется формулой

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru , (56)

где ω - угол между исходными сторонами 2 - 1 и 2 - 3.

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru , (57)

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru - полупериметр исходных сторон.

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru , (58)

где i = 1, 2, 3 - номера сторон S и исходных (твёрдых) пунктов Т.

- 22 -

Решение задачи Потенота рассмотрим на примере.

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности. - student2.ru

Рис. 6. Решение задачи Потенота

- 23 -

Таблица 5

Исходные данные и измеренные величины

№ (названия) пунктов	К о о р д и н а т ы, м	Измеренные углы β
X	Y
Т1	+ 49 052,900	+ 36 940,200	β₁= 98° 11' 15.0"
Т2	+ 45 587,500	+ 35 640,700	β₂= 112° 53' 03.0"
Т3	+ 49 326,100	+ 33 321,100

Вычисление радиусов R₁, R₂ окружностей, вмещающих углы β₁, β₂ и длин исходных сторон b_1,2, b_1,3, b_2,3 (см. рис. 4, 5 и формулы

(39 - 41).

R₁ = 1 869,576 м; R₂ = 2 387,805 м ;

b_1,2 = 3 701,040 м; b_1,3 = 3 629,397 м; b_2,3 = 4 399,136 м.

Вычисление координат (X_o₁, Y_o₁, X_o₂, Y_o₂) центров окружностей, вмещающих измеренные углы β₁, β₂, и длины базиса В между центрами (см. рис. 4, 5 и формулы 40, 41)

Таблица 6

Координаты центров окружностей

и длина базиса между центрами