Нормальное распределение: вид кривой, ее свойства.

Каждому психологическому (или шире — биологическому) свойству соот­ветствует свое распределение в генеральной совокупности. Чаще всего оно является нормальным и характеризуется своими параметрами: средним (М) и стандартным отклонением. Только эти два значения отличают друг от дру­га бесконечное множество нормальных кривых, одинаковой формы, задан­ной уравнением (5.1). Среднее задает положение кривой на числовой оси и выступает как некоторая исходная, нормативная величина измерения. Стандар­тное отклонение задает ширину этой кривой, зависит от единиц измерения и выступает как масштаб измерения.

Все многообразие нормальных распределений может быть сведено к од­ной кривой. Тогда каждое свойство будет иметь среднее 0 и стандартное отклонение 1. Это и есть единичное нормальное распределение, кото­рое используется как стандарт — эталон. Рассмотрим его важные свойства.

-Единицей измерения единичного нормального распределения являет­ся стандартное отклонение.

-Кривая приближается к оси Zпо краям асимптотически — никогда не касаясь ее.

-Кривая симметрична относительно М=0. Ее асимметрия и эксцесс рав­ны нулю.

-Кривая имеет характерный изгиб: точка перегиба лежит точно на рас­стоянии в одну о от М.

-Площадь между кривой и осью Zравна 1.

Последнее свойство объясняет название единичное нормальное распреде­ление и имеет исключительно важное значение. Благодаря этому свойству площадь под кривой интерпретируется как вероятность, или относительная частота. Действительно, вся площадь под кривой соответствует вероятности того, что признак примет любое значение из всего диапазона его изменчиво­сти (от -∞ до +∞). Площадь под единичной нормальной кривой слева или справа от нулевой точки равна 0,5. Это соответствует тому, что половина ге­неральной совокупности имеет значение признака больше 0, а половина — меньше 0. Относительная частота встречаемости в генеральной совокупнос­ти значений признака в диапазоне от z1, до z2равна площади под кривой, ле­жащей между соответствующими точками. Отметим еще раз, что любое нор­мальное распределение может быть сведено к единичному нормальному распределению путем z-преобразования.

Наиболее важным общим свойством разных кривых нормального распределения является одинаковая доля площади под кривой между одни­ми и теми же двумя значениями признака, выраженными в единицах стан­дартного отклонения.

Полезно помнить, что для любого нормального распределения существу­ют следующие соответствия между диапазонами значений и площадью под кривой:

М± σ соответствует =68% (точно — 68,26%) площади;

М± 2σ соответствует =95% (точно — 95,44%) площади;

М±Зσ соответствует =100% (точно — 99,72%) площади.

Единичное нормальное распределение устанавливает четкую взаимосвязь стандартного отклонения и относительного количества случаев в генераль­ной совокупности для любого нормального распределения.

Полезно знать, что если распределение является нормальным, то:

90% всех случаев располагается в диапазоне значений М± 1,64σ;

95% всех случаев располагается в диапазоне значений М± 1,96σ;

99% всех случаев располагается в диапазоне значений М± 2,58σ.

Существует специальная таблица, позволяющая определять площадь под кривой справа от любого положительного z. Пользуясь ею, можно определить вероятность встречаемости значений признака из любого диапазона. Это широко используется при интерпретации данных тестирования.