Краткие теоретические сведения. Наиболее часто встречающееся в статистике и в теории вероятностей распределение – это нормальное распределение.

Наиболее часто встречающееся в статистике и в теории вероятностей распределение – это нормальное распределение.

Известно, что случайные ошибки в экономических рядах, рядах, возникающих в природе, имеют приблизительно нормальное распределение. Рост взрослых людей также можно приближенно описать нормальным распределением.

Нормальное распределение имеет два параметра:

mean – среднее;

standard deviation – стандартное отклонение.

Эти параметры задаются в окне вероятностного калькулятора.

Иногда стандартное отклонение называют среднеквадратическим отклонением.

Перечислим некоторые признаки нормального распределения.

Плотность нормального распределения симметрична относительно среднего. Среднее значение определяет меру расположения плотности. Среднее значение нормального распределения совпадает с медианой и модой.

Напомним факт, известный из курса элементарной теории вероятностей, что дисперсия дает меру рассеяния плотности вероятности.

Корень квадратный из дисперсии равен стандартному отклонению. Дисперсию часто обозначают сигмой в квадрате (s ²), а стандартное отклонение – просто сигмой (s). Дисперсия и стандартное отклонение – положительны. Дисперсия может сколь угодно приближаться к нулю, но может принимать и сколь угодно большое значение, при этом, очевидно, изменяется и распределение вероятности.

Говорят, что случайная величина X имеет логарифмически-нормальное распределение, если величина Ln (X) является нормальной. Это можно выразить так: логарифм логарифмически-нормальной величины является нормальной величиной. Так как нормальное распределение описывается двумя параметрами, то и логарифмически-нормальное распределение также имеет два параметра.

Вероятностный калькулятор

Запустите модуль Basic Statistics/Tables (Основные статистики / таблицы) из переключателя модулей. Высветите в стартовой панели модуля Basic Statistics/Tables (Основные статистики/таблицы) строку Probability calculator (Вероятностный калькулятор) (рисунки 2.1).

Рисунок 2.1 – Запуск модуля

Нажмите кнопку ОК. Откроется окно Probability Distribution Calculator (Калькулятор вероятностных распределений) (рисунок 2.2).

Окно имеет следующую структуру – в левой части список распределений Distribution (распределение). Многие стандартные распределения в этом окне можно выбрать, высвечивая их названия в списке слева: Бета, Коши, χ-квадрат (хи-квадрат), нормальное, логнормальное, распределение Стьюдента и т. д. Выберем, например, в списке строчку Z(Normal) (Нормальное распределение). Автоматически справа появляются поля, где можно задать параметры нормального распределения: mean (среднее) и st. dev (стандартное отклонение) (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Калькулятор вероятностных распределений

Система по умолчанию запишет в них стандартные значения:
среднее = 0, стандартное отклонение = 1. Эти значения можно изменить, поместив курсор мыши в эти поля, щелкнуть левой кнопкой и ввести с клавиатуры нужные величины.

Одновременно с выбором распределения в левом списке справа в калькуляторе появляются графики нормальной плотности и функции распределения: Density Function(Функция плотности), Distribution Function (Функция распределения).

В поле р задается уровень вероятности. Поместите курсор мыши в это поле и щелкните левой кнопкой. Наберите далее любое значение в интервале от 0 до 1. После нажатия на кнопку Compute(Вычислить)(в правом верхнем углу калькулятора) в строке X появится соответствующий квантиль.

То же можно сделать и в обратную сторону – по заданному значению X вычислить уровень вероятности р. Задав какое-либо значение, щелкните по кнопке Compute(Вычислить)в правом верхнем углу. В строке рпоявится уровень для данного значения X.

Опции в верхней части окна имеют следующее назначение: Inverse(Обратная функция распределения), Two-tailed (Двухсторонний),
1 - Cumulative р (1 – Кумулята р), Send to Print (Отправить на печать), Create graph (Создать график).

Если пометить опцию Create graph(Создать график) инажать далее кнопку Compute(Вычислить), то на экране появится график плотности и функции распределения (задайте в строке р какое-либо значение, например: р = 0 (рисунок 2.3). Таким образом, вероятностный калькулятор заменяет многие таблицы. Теперь, вместо того чтобы использовать таблицы распределений, вы можете использовать данный калькулятор.

Рисунок 2.3 – Плотность и функция распределения стандартной нормальной величины

Нормальное распределение

Зададим различные значения среднего, оставив пока без изменения стандартное отклонение. Будем считать, что оно равно 1.

Откройте вероятностный калькулятор в поле mean(среднее), задав вначале 1. В поле р зададим значение 0,5 (в данном примере это чисто техническая установка).

Выберите опцию Create graph(Создать график) и нажмите далее кнопку Compute(Вычислить), на экране появится график плотности (рисунок 2.4 а). Повторите те же действия, задав в поле mean(среднее)значение 2,5. Вы увидите следующий график (рисунок 2.4 б).

а) б)

Рисунок 2.4 – Плотность нормального распределения со средним:
а) 1; б) 2,5

Посмотрите внимательно на эти графики. Вы видите, что график плотности нормального распределения сдвигается по оси ординат при изменении среднего. Можно сказать и более точно: при возрастании среднего графики сдвигаются вправо.

Пик плотности нормального распределения находится в точке с ординатой, равной среднему значению, а плотность симметрична относительно этого значения.

Это значение задается в поле mean (среднее).

Посмотрим, как меняется плотность распределения при изменении другого параметра – стандартного отклонения.

Зададим различные значения стандартного отклонения, считая, что среднее фиксировано и равно нулю.

Покажем на графиках, как изменяется плотность нормального распределения при уменьшении и увеличении дисперсии
(рисунки 2.5 а, 2.5 б).

а) б)

Рисунок 2.5 – Плотность нормального распределения со средним = 0 и дисперсией: а) 0,01 и б) 0,04

Итак, при увеличении дисперсии плотность нормального распределения расплывается или рассеивается относительно среднего значения, при уменьшении дисперсии она наоборот сжимается, концентрируясь возле одной точки – точки максимального значения.

Рассмотрим пример использования нормального распределения.

Известно, что в некоторой стране рост взрослых мужчин приближенно имеет нормальное распределение со средним 176,6 см и стандартным отклонением 7,63 см.

Какова вероятность того, что рост наугад выбранного мужчины не больше 185 см и не меньше 175 см?

Шаг 1. Откройте вероятностный калькулятор. Выберите в списке распределений Z(Normal) (Нормальное распределение).

Шаг 2. Задайте:

- в поле mean –среднее 175,6;

- в поле st.dev. – стандартное отклонение 7,63.

Шаг 3. В поле Х задайте 185. Нажмите кнопку Compute
(Вычислить).

В поле р появилось значение 0,891022. Запомните это значение
как p₁.

Шаг 4. В поле Хзадайте 175. Нажмите кнопку Compute (Вычислить).

В поле р появилось значение 0,468661. Запомните это значение
как р₂.

Шаг 5. Вычтите р₂из p₁.Вы получите 0,422361.

Итак, с вероятностью 0,422361 встреченный вами мужчина имеет
рост не ниже 175 и не выше 185 сантиметров.

Правила 2 и 3 сигма

Правила 2 и 3 сигма полезно знать. Они часто используются на практике. Смысл этих правил состоит в том, что если от точки среднего или от точки максимума плотности нормального распределения отложить вправо и влево соответственно два и три стандартных отклонения (2 и 3 сигма), то площадь под графиком нормальной плотности, подсчитанная по этому промежутку, будет соответственно равна 95,45% и 99,73% всей площади под графиком.

Другими словами, это можно выразить следующим образом: 95,45% и 99,73% всех независимых наблюдений из нормального распределения лежат в пределах двух и трех стандартных отклонений от среднего значения.

Это правило также легко проверить с помощью вероятностного калькулятора. Выберите нормальное распределение в списке распределений, задайте, например, стандартные параметры:
среднее = 0, стандартное отклонение = 1, пометьте опцию Two-tailed(Двухсторонний), в строке X задайте 2 (два стандартных отклонения), нажмите Compute, в строке р появится значение 0,9545 (рисунок 2.6).

В поле Density Function (Функция плотности) вероятностного калькулятора показана заштрихованная площадь под графиком плотности, в поле р показано значение 0,9545. Переходя к процентам, имеем 95,45%. Заштрихованная площадь составляет 95,45% всей площади под графиком.

Рисунок 2.6 – Иллюстрация к правилу 2 сигм

Выберите нормальное распределение, задайте стандартные параметры: среднее = 0, стандартное отклонение = 1, пометьте опцию Two-tailed в строке X задайте 3 (три стандартных отклонения), нажмитеCompute, в строке р появится значение 0,9973(рисунок 2.7).

Рисунок 2.7 – Иллюстрация к правилу 3 сигм

Данные правила действуют при любых значениях среднего и стандартного отклонения нормального закона.