В зависимости от положения центра проецирования относительно плоскости проекций проецирование может быть центральным или параллельны.

Следы прямой линии. Сформулировать последовательность построения горизонтального и фронтального следов прямой.

Следом прямой линии называется точка пересечения прямой с соответствующей плоскостью проекций. Для определения горизонтального следа М (М′, М′′) прямой АВ (А′В′, А′′В′′) надо: продлить фронтальную проекцию А′′В′′ до пересечения с осью ОХ (М′′), затем повести перпендикуляр к оси ОХ до пересечения с продолжением горизонтальной проекции А′В′. Для определения фронтального следа N (N′, N′′) прямой надо: продлить горизонтальную проекцию А′В′ до пересечения с осью ОХ, затем провести перпендикуляр к оси ОХ до пересечения с подолжением фронтальной проекции А′′В′′.

М (М′, М′′) — горизонтальный след рпямой АВ (А′В′, А′′В′′);

N (N′, N′′) — фронтальный след прямой АВ (А′В′, А′′В′′).

Способ вращения вокруг проецирующих прямых.

Сущность способа заключается в том, что данная система плоскостей проекций остается неизменной, а проецируемую фигуру вращают вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к одной из плоскостей проекций, до той пары, пока она не займет частное положение, т.е. при вращении плоскость сохраняет свое первоначальное положение, а геометрический образ перемещается в пространстве. Центр вращения — точка пересечения оси вращения с плоскостью вращения. Радиус вращения — расстояние от центра вращения до заданной точки.

17. Пересечение многогранников плоскостью частного положения.

Cечение — изображение фигуры, полученной в секущей плоскости. Способ ребер подразумевает определение точек пересечение ребер с заданной плоскостью. Способ граней определяет линии пересечения граней многогранника с заданной плоскостью.

Развертки поверхностей. Развертывание поверхности многогранников.

Развертка — плоская фигура, получающаяся при совмещении поверхности с плоскостью. При совмещении всех граней многогранника с плоскостью в такой последовательности, в которой они размещены в многограннике, получается развертка его поверхности. Для построения развертки нужно найти натуральную величину всех граней многогранника и фигуры сечения. Три вида разверток: точные (призмы, пирамиды); приближенные (поверхности вращения заменяют многогранной поверхностью); условные (поверхности заменяются абсолютно другой).

Построение линии пересечения поверхностей способом концентрических вспомогательных сфер.

Способ концентрических вспомогательных сфер возможно использовать при следующих условиях: пересекающиеся поверхности — поверхности вращения; оси этих поверхностей должны пересекаться; плоскость осей должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.

В зависимости от положения центра проецирования относительно плоскости проекций проецирование может быть центральным или параллельны.

При центральном проецировании проецирующие лучи выходят с одной точки — центра проецирования S, который находится на определённом расстоянии от плоскости проекций П₀. Центральное проецирование обладает наглядностью, оно используется при изображении предметов в перспективе. Основной недостаток — трудность определения размеров по его изображению.

При параллельном проецировании, проецирующие лучи проходят параллельно один одному. В этом случае считают, что центр проекций отдален в бесконечность. При параллельном проецировании задается направление проецирования — S и плоскость проекций. В зависимости от направления проецирования относительно плоскости проекций параллельные проекции могут быть прямоугольными, если проецирующие лучи проходят перпендикулярно к плоскости проекций, и косоугольными, если проецирующие лучи не перпендикулярные к плоскости проекций.

Основные свойства прямоугольного параллельного проецирования: 1) проекция точки есть точка; 2) проекция прямой есть прямая; 3) если точка принадлежит прямой, то одноименная проекция точки находится на одноименной проекции прямой; 4) если точка делит отрезок в каком-то соотношении, то проекция отрезка делится в таком же соотношении; 5) если две прямые параллельны между собой, то их одноименные проекции то же параллельны; 6) если две прямые пересекаются между собой, то они имеют общую точку, проекции этих прямых так же имеют общую точку, связанную проекционной связью.

Операция проецирования сводится к изображению множества точек предмета на плоскости проекций. При этом необходимо, чтобы между изображенными точками на плоскости и точками поверхности устанавливалось взаимное соотношение. В качестве основных плоскостей проекций берут горизонтальную (П₁), фронтальную (П₂) и профильную (П₃). Две плоскости П₁и П₂делят пространство не четыре двухгранных угла (квадранты), а три плоскости П₁, П₂и П₃ — на восемь трехгранных углов (октантов). Линии пересечения плоскостей проекций называются осями проекций (x y z).

2. Чертеж точки в системе прямоугольных координат. Способы построения недостающих проекций точек.

Точка в пространстве определяется своими координатами, которые, как правило, имеют числовые значения, например А (x, y, z), А (10, 45, 15). Прямоугольные проекции точки на плоскостях проекций определяются как основания перпендикуляров, опущенных с точки на каждую с плоскостей проекций. Проекции точек обозначаются большими буквами латинского алфавита или числами.

А′ — горизонтальная проекция точки А;

А′′ — фронтальная проекция точки А;

А′′′ — профильная поекция точки А.

Для получения проекционного чертежа совмещают плоскости П₁и П₃с фронтальной плоскостью проекций П₂поворотом соответственно около осей X и Z. Тогда на чертеже проекции А′ и А′′ размещаются на одном перпендикуляре к оси ОX, а А′′ и А′′′ — на одном перпендикуляре к оси ОZ. Известно три способа построения профильной проекции точки по данным двум проекциям.

3. Прямая линия общего и частного положения на эпюре Монжа.

Для того, чтобы выполнить чертеж прямой, необходимо найти проекции двух её точек. В начертательной геометрии, в зависимости от положения прямых относительно плоскостей проекций, они могут иметь свое название — прямые общего и частного положения. Прямая не параллельная ни одной с плоскостей проекций, называется прямой общего положения. Прямые частного положения бывают параллельными или перпендикулярными плоскостям проекций. Прямые, параллельные одной из плоскости проекций, делятся на: горизонтальные прямые — параллельные горизонтальной плоскости проекций; фронтальные прямые — параллельные фронтальной плоскости проекций; профильные прямые — параллельные профильной плоскости проекций. Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, делятся на: горизонтально-проецирующие прямые, перпендикулярные горизонтальной плоскости проекций; фронтально-проецирующие прямые, перпендикулярные фронтальной плоскости проекций; профильно-проецирующие прямые, перпендикулярные профильной плоскости проекций.