Значення похідної в деякій точці дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною до кривої в цій точці з додатним напрямом осі Ох.

Похідна степеневої функції

.

¨ Диференціальне відношення (1) має такий вигляд:

.

Згідно з наслідком 5 із підрозд. 4.2.6 маємо:

.

Отже, = ¨

Похідна показникової функції

¨ Диференціальне відношення (1) дорівнює

.

Згідно з наслідком 4 із підрозд. 4.2.6 маємо:

.

Отже,

.

У частинному випадку при а = е дістаємо:

. ¨

Похідна логарифмічної функції

¨ Записуємо диференціальне відношення (1):

Користуючись другою визначною границею, дістаємо

.

Отже, при шукана похідна подається так:

Зокрема, коли а = е, маємо:

. ¨

Похідні тригонометричних функцій

¨ 1. Для функції у = sinx диференціальне відношення (1) подається так:

.

Згідно з першою визначною границею маємо:

.

Отже,

.

2. Аналогічно для функції у = cosx дістаємо:

3. Для функції у = tgх диференціальне відношення (1) набуває вигляду:

Згідно з наслідком 1 і п. 4.2.5 .

Отже,

.

4. Аналогічно для функції у = ctgx записуємо:

¨

24. Правила диференціювання

Правило 1. Похідна сталої дорівнює нулеві (сonst)¢ = 0.

(7)¢ = 0; (– 100)¢ = 0.

Правило 2. Якщо u — будь-яка диференційовна функція від х і с — довільна стала, то (cu) ¢ = cu¢.

· ·

Правило 3. Якщо u та v — диференційовні функції від х, то їх сума u + v є диференційовною функцією: . Аналогічно, похідна суми будь-якого скінченного числа диференційовних функцій дорівнює похідним цієї функції: .

Знайти похідну функції .

· .·

Правило 4.Добуток двох диференційовних функ­цій u та v є диференційовною функцією .

Знайти у¢, якщо у = (х² +1) lnx.

· .

Правило 5. У точках, в яких , відношення двох дифе­ренційовних функцій є функція диференційовна, причому .

Знайти у¢, якщо .

·

. ·

25. Похідна оберненої функції

Теорема 1. Якщо функція у = f(x) монотонна й має в точці х відмінну від нуля похідну, то функція, обернена до даної, подається у вигляді х = g(y) і має похідну х = g(y), обернену до похідної даної функції:

. (4)

Похідні обернених тригонометричних функцій:

;

;

;

. ¨

26. Похідна складної функції

Правило 6.

Теорема 2. Похідна складної функції : — правило ланцюга.

Задана функція у = f(x). Знайти у¢.

1) ; 2) ; 3) .

· 1) За формулою (5) маємо:

2) Візьмемо: . Тоді за правилом 4

.

Функції і — складні. Згідно з (5) маємо:

.

3) Нехай і . Тоді за правилом 5 дістаємо:

.

Похідні функцій arctgx³ і обчислюємо за формулою (5):

;

¨

27. Логарифмічна похідна

Нехай у = f(x) диференційовна функція. Тоді можемо записати

(6)

Означення. Похідна функції , обчислена за формулою (6), називається логарифмічною похідною f у точці х.

Якщо і , дістаємо такі формули для обчислення логарифмічних похідних функцій F(x) i G(x):

(7)

Знайти логарифмічну похідну функції

.

· Маємо:

.

Далі обчислюємо за формулами:

28. Похідна неявної функції

Розглянемо диференціювання неявної функції, заданої рівнянням .

Для знаходження похідної функції у, заданої неявно, достат­ньо продиференціювати обидві частини рівняння, розглядаючи у як функцію від х, а потім зі здобутого рівняння знайти похідну у¢.

Знайти похідну функції у, задану рівнянням

.

· Диференціюючи обидві частини рівності і враховуючи, що у є функцією від х, дістаємо:

. ·

28. Похідна функції, заданої параметрично

Диференціювання параметрично заданої функції грунтується на такій теоремі.

Теорема 3. Нехай виконуються такі умови:

1) функції визначені та неперервні на деякому проміжку І;

2) диференційовні в точці t₀ Î І;

3) функція х = j(t) є строго монотонною на проміжку І, j¢(t₀) ¹ 0;

4) t = a(х) — функція, обернена до функції х = j(t). Тоді функція , диференційовна в точці х₀ = j¢(t₀) і

або . (8)

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

1) 2)

· За формулою (8) дістаємо:

1) ; ;

2) ,

. ·

29. Похідна показниково-степеневої функції

Означення. Функція називається показниково-степеневоюфункцією.

Прологарифмуємо рівняння

.

Продиференціюємо обидві частини останнього рівняння:

(9)

Правило диференціювання
показниково-степеневої функції:

Щоб знайти похідну показниково-степеневої функції, потрібно спочатку продиференціювати її як показникову, а потім як степеневу функцію. Результати додати

Окремі випадки:

1. Нехай функція y = f(x) є показниковою:

, тобто .

Тоді

.

2. Нехай функція у = f(x) є степеневою,

, тобто v(x) = a.

Тоді

Знайти у¢, якщо у = (х² + 1)^sinx.

¨ 1) .

2) .

3)

. ¨

30. ПОНЯТТЯ ПохіднИХ вищих порядків

Нехай у = f(x) — деяка диференційовна функція на інтервалі І, причому похідна цієї функції у¢ = f¢(x) також є диференційовною функцією на зазначеному інтервалі. Похідна функції f ¢(x) називається похідною другого порядку функції f і позначається f ¢¢ або f ⁽²⁾. Якщо f ⁽²⁾ диференційовна на інтервалі І, то похідна функції f ⁽²⁾ називається похідною третього порядку функції f (х) і позначається f ⁽²⁾.

Аналогічно, похідною n-го порядку f ⁽ⁿ⁾ функції f (х) за індукцією називається похідна функції f ^(n-1), якщо вона існує і диферен­ційовна.

Іноді замість позначення f ⁽ⁿ⁾(х) застосовують символ або Dⁿy, Dⁿf(x).

Для функції f(x) = х⁴ + 2х³ + х + 5 знайти похідну n-го порядку.

· f ¢(x) = 4х³ + 6х² + 1, f ²(x) = 12х² + 12х, f ⁽³⁾(x) = 24х + 12, f ⁽⁴⁾(x) = 24, f ⁽ⁿ⁾(x) = 0 для n ³ 5. ·

31. Механічний та геометричний
зміст похідної

Джерелом диференціального числення стали, як відомо, два питання:

1) про відшукання швидкості в разі довільного закону руху;

2) про відшукання дотичної до довільної лінії.

Обидва вони привели до однієї й тієї самої обчислювальної задачі, яку було покладено в основу диференціального числення. Ця задача полягає в тому, щоб за даною функцією f(x) відшукати іншу функцію f ¢(x), яка дістала назву похідної і являє собою швидкість зміни функції f(x) щодо зміни аргументу.

У механіці відповідна задача формулюється так: знайти швидкість тіла, що рухається за законом , у деякий момент часу t. Вважаємо, що відстань S і час t — фізичні величини, які можна вимірювати.

Нехай за час від t до t + Dt тіло пройшло шлях s + Ds = f(t + Dt).

Тоді Ds = f(t + Dt) – f(t).

Означення.

Середня швидкість Середня швидкість тіла, що рухається вздовж деякої лінії, визначається за формулою .

Щоб знайти миттєву швидкість v такого тіла, потрібно перейти до границі відношення при :

.

Означення.

Миттєва швидкість Миттєвою швидкістю тіла, що рухається вздовж лінії s = f(t), називається похідна функції s = f(t) за часом t: .

Нехай — рівняння вільного руху тіла, g — прискорення його вільного падіння. Знайти миттєву швидкість тіла в будь-який момент часу; у момент часу t = 2 c.

· За означенням маємо

.

Зокрема, якщо t = 2, дістаємо:

. ·

Сформулюємо тепер розглянуту задачу мовою геометрії.

Нехай дано функцію у = f(x), графік якої наведено на
рис. 5.1. Диференціальне відношення дорівнює тангенсу кута b, утвореного січною, що проходить через точки А та В, які мають відповідно абсциси х та х + Dх, із додатним напрямом вісі Ох.

Якщо приріст Dх ® 0, то точка В прямує до точки А, а кут b —до кута a, утвореного дотичною до розглядуваної кривої в даній точці з додатним напрямом осі Ох. Отже, маємо:

. (10)

Значення похідної в деякій точці дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною до кривої в цій точці з додатним напрямом осі Ох.

Знайти тангенси кутів нахилу дотичної до кривої у = х² у точках М₁(½; ¼), М₂(–1; 1) (рис. 5.6).

Рис. 5.6

· Згідно з (10) дістаємо:

За формулою похідної степеневої функції маємо: .

Отже,

·

32. Рівняння дотичної та нормалі до кривої

Розглянемо рівняння кривої у = f(x) (рис. 5.7). Візьмемо на кривій точку М(х₁, у₁) і запишемо рівняння дотичної до цієї кривої в точці М, припускаючи, що дотична не паралельна жодній координатній осі.

Рівняння кривої, що має кутовий коефіцієнт k і проходить через точку М, набирає вигляду

.

Для дотичної , тому рівняння дотичної буде таке:

Поряд із дотичною до кривої розглядають і її нормаль.

Означення. Нормаллю до кривої в даній точці називається пряма, яка проходить через цю точку і перпендикулярна до дотичної в ній.

Рис. 5.7

Із означення нормалі випливає, що її кутовий коефіцієнт k_норм пов’язаний із кутовим коефіцієнтом k дотичної рівністю

, тобто

Отже, дістаємо рівняння нормалі до кривої у = f(x) у точці
М (х₁, у₁):

Написати рівняння дотичної та нормалі до кривої
у = х³ у точці М(1; 1).

· Оскільки у¢ = 3х², то кутовий коефіцієнт дотичної

.

Отже, згідно з (1) рівняння дотичної буде таке:

, або .

Рівняння нормалі:

, або (рис. 5.8).

Рис. 5.8

33. Поняття диференціала ФУНКЦІЇ

Нехай функція у = f(x) диференційовна в інтервалі .
З означення диференційовності маємо:

Звідси можна записати:

(1)

де функція при задовольняє умову

Із (1) для приросту функції дістаємо:

Покладемо, що .