Краткие указания к выполнению задания. 3.2.1. Проработать раздел “Колебания материальной точки”, пользуясь конспектом лекций и рекомендуемыми учебниками [1 – 4].

3.2.1. Проработать раздел “Колебания материальной точки”, пользуясь конспектом лекций и рекомендуемыми учебниками
[1 – 4].

3.2.2. Определить коэффициент с упругости пружины для заданного значения коэффициента динамичности при .

3.2.3. Выбрать ось в направлении движения груза. Начало отсчета на оси взять на конце недеформированной пружины.

3.2.4. Изобразить груз А в произвольный момент времени и расставить действующие на него силы.

3.2.5. Составить дифференциальное уравнение движения
груза А.

3.2.6. Записать дифференциальное уравнение колебаний груза в канонической форме.

3.2.7. Определить решение дифференциальное уравнение колебаний груза с учетом начальных условий.

3.2.8. Построить амплитудно-частотные характеристики системы без учета и с учетом сопротивления.

Таблица 3.1

Варианты числовых значений параметров задания №2

№ Вар.	№ Подвар.	Масса груза m, кг	Амплитуда силы F0, H	Круговая частота w, с-1	Начальн. коорд. x0, м	Начальн. скорость V0, м/с	Коэфф. динам.	Коэфф. затух. n, с-1
1.		0,4			0,03		1,2
	0,5			0,05	0,5	1,3
	0,6			0,07		1,4
	0,7			0,09	1,5	1,5
	0,8			0, 11		1,6
	0,9			0, 13	2,5	1,7
2.						1,2	1,5
				0,2		1,6
				0,4	0,8	1,7
				0,6	0,6	1,8
				0,8	0,4	1,9
					0,2
3.		0,8			0,04
				0,05	0,2	1,8
	1,2			0,06	0,4	1,6
	1,4			0,07	0,6	1,4
	1,6			0,08	0,8	1,2
	1,8			0,09
4.					0,1
				0,01	1,8	2,2
				0,02	1,6	2,4
				0,03	1,4	2,6
				0,04	1,2	2,8
				0,05
5.					0,05		1,8
				0,04	0,1
				0,03	0,2	2,2
				0,02	0,3	2,4
				0,01	0,4	2,6
					0,5	2,8

Продолжение табл. 3.1

№ Вар.	№ Подвар.	Масса груза m, кг	Амплитуда силы F0, H	Круговая частота w, с-1	Начальн. коорд. x0, м	Начальн. скорость V0, м/с	Коэфф. динам.	Коэфф. затух. n, с-1
6.							1,5
				0,01	0,9	1,6
				0,02	0,8	1,7
				0,03	0,7	1,8
				0,04	0,6	1,9
				0,05	0,5
7.					0,05		1,4
				0,04	0,2	1,6
				0,03	0,4	1,8
				0,02	0,6
				0,01	0,8	2,2
						2,4
8.							1,8
				0,01	1,8	1,6
				0,02	1,6	1,4
				0,03	1,4	1,2
				0,04	1,2
				0,05		0,8
9.					0,02		1,5
				0,03	0,1
				0,04	0,2	2,5
				0,05	0,3
				0,06	0,4	3,5
				0,07	0,5
10.
				0,02	2,5	2,2
				0,04		2,4
				0,06	1,5	2,6
				0,08		2,8
				0,1	0,5

Продолжение табл. 3.1

№ Вар.	№ Подвар.	Масса груза m, кг	Амплитуда силы F0, H	Круговая частота w, с-1	Начальн. коорд. x0, м	Начальн. скорость V0, м/с	Коэфф. динам.	Коэфф. затух. n, с-1
11.					0,01		2,5
				0,02	0,1	2,6
				0,03	0,2	2,7
				0,04	0,3	2,8
				0,05	0,4	2,9
				0,06	0,5
12.							1,6
				0,02	0,8	1,7
				0,04	0,6	1,8
				0,06	0,4	1,9
				0,08	0,2
				0,1		2,1
13.					0,2		1,8
				0,3	0,3	1,7
				0,4	0,6	1,6
				0,5	0,9	1,5
				0,6	1,2	1,4
				0,7	1,5	1,3
14.
				0,03	1,8	2,1
				0,06	1,6	2,2
				0,09	1,4	2,3
				0,12	1,2	2,4
				0,15		2,5
15.					0,01		2,5
				0,02	0,1	2,4
				0,03	0,2	2,3
				0,04	0,3	2,2
				0,05	0,4	2,1
				0,06	0,5

Продолжение табл. 3.1

№ Вар.	№ Подвар.	Масса груза m, кг	Амплитуда силы F0, H	Круговая частота w, с-1	Начальн. коорд. x0, м	Начальн. скорость V0, м/с	Коэфф. динам.	Коэфф. затух. n, с-1
16.						1,5	1,4
				0,2		1,6
				0,4	2,5	1,8
				0,6
				0,8	3,5	2,2
						2,4
17.					0,1		1,5
				0,2	0,5	1,6
				0,3		1,7
				0,4	1,5	1,8
				0,5		1,9
				0,5	2,5
18.						0,5
				0,01	0,4	2,8
				0,02	0,3	2,6
				0,03	0,2	2,4
				0,04	0,1	2,2
				0,05
19.					0,02		2,2
				0,03	0,2	2,3
				0,04	0,4	2,4
				0,05	0,6	2,5
				0,06	0,8	2,6
				0,08		2,8
20.							2,8
				0,2	2,5	2,6
				0,4		2,4
				0,6	1,5	2,2
				0,8		2,1
					0,5

Продолжение табл. 3.1

№ Вар.	№ Подвар.	Масса груза m, кг	Амплитуда силы F0, H	Круговая частота w, с-1	Начальн. коорд. x0, м	Начальн. скорость V0, м/с	Коэфф. динам.	Коэфф. затух. n, с-1
21.					0,05		1,9
				0,04	0,2
				0,03	0,4	2,1
				0,02	0,6	2,2
				0,01	0,8	2,3
						2,4
22.		1,5				1,8
				0,01	1,6	1,9
	2,5			0,02	1,4	1,8
				0,03	1,2	1,7
	3,5			0,04		1,6
				0,05	0,8	1,5
23.		3,5			0,3
				0,4	0,3	2,5
	4,5			0,5	0,6
				0,6	0,9	1,5
	5,5			0,7	1,2
				0,8	1,5	0,5
24.		0,5					2,5
				0,01	1,1	2,4
	1,5			0,02	1,2	2,3
				0,03	1,3	2,2
	2,5			0,04	1,4	2,1
				0,05	1,5
25.					0,15		2,3
				0,14	0,1	2,4
				0,13	0,2	2,5
				0,12	0,3	2,6
				0,11	0,4	2,7
				0,1	0,5	2,8
26.		2,5					1,6
				0,1	3,5	1,7
	3,5			0,2		1,8
				0,3	2,5	1,9
	4,5			0,4
				0,5	1,5	2,1

Окончание табл. 3.1

№ Вар.	№ Подвар.	Масса груза m, кг	Амплитуда силы F0, H	Круговая частота w, с-1	Начальн. коорд. x0, м	Начальн. скорость V0, м/с	Коэфф. динам.	Коэфф. затух. n, с-1
27.					0,2		1,3
				0,3	0,1	1,4
				0,4	0,2	1,5
				0,5	0,3	1,6
				0,6	0,4	1,7
				0,7	0,5	1,8
28.						1,5	1,7
				0,1	1,4	1,6
				0,2	1,3	1,5
				0,3	1,2	1,4
				0,4	1,1	1,3
				0,5		1,2
29.					0,08		1,5
				0,07	0,5
				0,06		2,5
				0,05	1,5
				0,04		3,5
				0,03	2,5
30.						2,5
				0,2	2,4	2,1
				0,4	2,3	2,2
				0,6	2,2	2,3
				0,8	2,1	2,4
						2,5
31.					0,1
				0,2	0,2	2,8
				0,3	0,4	2,6
				0,4	0,6	2,4
				0,5	0,8	2,2
				0,6
32.						1,5	0,4
				0,2	1,4	0,8
				0,4	1,3	1,2
				0,6	1,2	1,6
				0,8	1,1
						2,4

Пример выполнения задания

3.3.1. Условие примера

Груз А прикрепленный к горизонтальной пружине совершает горизонтальные колебания под действием возмущающей силы , как показано на рис. 3.1.

Масса груза m=0,8 кг, амплитуда возмущающей силы
=28,8 Н, ее круговая частота с^-1, начальные условия движения груза на пружине м, м/с.

Определить коэффициент с упругости пружины для значения коэффициента динамичности при .

Найти уравнение движения груза при заданных начальных условиях и найденном значении коэффициента упругости пружины. Начало отсчета на оси взять на конце недеформированной пружины.

Построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.

При решении задачи считать, что сила упругости пружины прямо пропорциональна ее деформации, а силами сопротивления движению пренебречь.

Определить зависимость амплитуды вынужденных колебаний от сопротивления движению, считая силу сопротивления пропорциональной величине скорости груза. При значении коэффициента затухания с^-1, построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.

3.3.2. Решение примера

Определим коэффициент с упругости пружины.

При отсутствии сил сопротивления коэффициент динамичности вычисляется по формуле

,

откуда

с^-2.

С другой стороны, квадрат круговой частоты свободных колебаний без учета сил сопротивления равен

,

следовательно

Н/м.

Амплитуда вынужденных колебаний определяется произведением

.

Здесь - деформация пружины при статическом действии силы .

В нашем примере

м, м.

Силы, приложенные к грузу А в произвольный момент времени, изображены на рис. 3.2

Составляем дифференциальное уравнение движения груза

(3.1)

где - сила упругости пружины:

.

Подставляя выражения возмущающей силы и силы упругости в уравнение (3.1), получаем следующее дифференциальное уравнение вынужденных колебаний груза:

которое приводится к канонической форме

(3.2)

Здесь м/с².

Это дифференциальное уравнение необходимо решать при начальных условиях:

м, (3.3)

м/с.

Общее решение уравнения (3.2) является суммой двух функций

,

где - общее решение однородного уравнения, а - частное решение неоднородного уравнения.

Однородное уравнение имеет решение

,

где и и - постоянные интегрирования.

Частное решение неоднородного уравнения следующее

.

Таким образом, в нашем примере

. (3.4)

Постоянные интегрирования находим из начальных условий (3.3).

Подставляя функцию (3.4) в первое начальное условие, имеем:

,

откуда

м.

Далее определяем производную по времени от функции (3.4)

.

Тогда из второго начального условия (3.3), следует

.

Получаем

м.

Уравнение колебательного движения груза А окончательно примет вид

, м.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки следующая

(3.5)

Результаты вычислений по формуле (3.5) для различных значений z приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

z		0,25	0,5	0,75	0,9	1,0	1,1	1,25	1,5	1,75	2,0
В×102, м	1,0	1,07	1,33	2,29	5,26	¥	4,76	1,78	0,8	0,485	0,333

По данным табл. 3.2 строим кривую 1 на рис. 3.3, которая называется амплитудно–частотной характеристикой системы при отсутствии сопротивления.

При наличии силы сопротивления окружающей среды, пропорциональной скорости груза, дифференциальное уравнение движения системы будет иметь вид

,

где n – коэффициент затухания (с^-1).

Величина амплитуды вынужденных колебаний находится по формуле

(3.6)

где - относительный коэффициент затухания .

В нашем случае .

Результаты вычислений по формуле (3.6) для различных значений z приведены в табл. 3.

Таблица 3.3

z		0,25	0,5	0,75	0,9	1,0	1,1	1,25	1,5	1,75	2,0
В×102, м	1,0	1,06	1,29	1,89	2,46	2,5	2,05	1,33	0,72	0,459	0,322

По данным табл. 3.3 строим кривую 2 на рис. 3.3, которая дает представление о влиянии сопротивления на амплитуду вынужденных колебаний груза.

Задание №3. Применение теоремы об изменении кинетического момента к определению угловой скорости твердого тела

Содержание задания

Тело D массой вращается вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью . Варианты расчетных схем изображены на
рис. 4.1. При этом в точке M желоба AB тела D на расстоянии AM от точки A, отсчитываемом вдоль желоба, закреплена материальная точка K массой . В момент времени на систему начинает действовать пара сил с моментом . При действие пары сил прекращается; одновременно точка K начинает относительное движение по желобу согласно закону .Варианты числовых значений параметров приведены в табл. 4.1.

Примечание. Знак минус перед и соответствует направлению движения часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси z.

Определить угловые скорости тела D соответственно в моменты времени и .

Тело D рассматривать как тонкую однородную пластину. Форма пластины выбирается в соответствии с вариантом задачи
(см. рис. 4.1). Осевой момент инерции тела определять по формуле приведенной в табл. 4.2.