Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

При определении внутренних усилий при игибе используется следующее правило знаков:

1. Поперечная сила Qy положительна, если равнодействующая R внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа – вниз (рис. 3.1).

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Рис. 3.1

2. Изгибающий момент Mx положителен, если он вызывает положительную кривизну балки (рис. 3.2). При определении знака кривизны рассматриваемое сечение балки условно считается жестко закрепленным.

Чтобы выяснять, характер распределения поперечных сил и изгибающих моментов по длине балки, строят соответствующие эпюры.

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Рис. 3.2

Условие прочности при изгибе

Нормальное напряжение при изгибе определяется по следующей формуле:

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru , (3.1)

где Mx – изгибающий момент; Jx – осевой момент инерции сечения; y – координата точки, в которой определяется напряжение.

Максимальное нормальное напряжение:

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru .

Осевой момент сопротивления сечения:

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru ; (3.2)

– для прямоугольного сечения:

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru , Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru , Wx = Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru ; (3.3)

– для круглого сечения:

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru , Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru , Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru . (3.4)

С учетом формулы (3.2) условие прочности при изгибе примет следующий вид:

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru , (3.5)

где [σ] – допускаемое нормальное напряжение при изгибе.

Задание на расчетно-графическую работу № 3

Расчетно-графическая работа № 3 по теме «Изгиб» включает в себя две задачи: подбор сечений консольной балки с оценкой их рациональности и определение безопасной нагрузки для двухопорной балки.

Задача 1. Из расчета консольной балки на прочность подобрать двутавровое, прямоугольное ( Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru = 1,5) и круглое сечения. Принять [σ] = 160 МПа. Сравнить по массе балки указанных сечений.

Вариант I II III IV V VI VII VII IX X
F, кН
M, кНм
l, м 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

Варианты расчетных схем к задаче 1 приведены на с. 34–37.

Задача 2. Прогон пролетного строения низководного моста изготавливается в виде сварного пакета из двух стальных горячекатаных швеллеров по ГОСТ 8240–72. Определить допустимую нагрузку на прогон, принимая допускаемое напряжение на изгиб [σ] = 100 МПа; сосредоточенная сила F = ql.

Вариант I II III IV V VI VII VII IX X
Швеллер 24а 22а 20а
l, м 8,0 7,0 6,0 5,6 5,0 4,8 4,0 3,6 3,0 2,4

Варианты расчетных схем к задаче 2 приведены на с. 38–41.

Пример выполнения расчетно-графической работы № 3

Задача 1

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru Исходные данные:

F = 10 кН;

М = 20 кНм;

l = 1,2 м;

[σ] = 160 МПа.

Требуется определить:

номер двутавра, h, b, d – ?

Решение:

1. Строим эпюру изгибающих моментов:

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru ,

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru ,

при z1 = 0, Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru (кНм),

при z1 = 0,6l, Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru (кНм);

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru ,

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru ,

при z2 = 0,6l, Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru (кНм),

при z2 = l, Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru (кНм).

По рассчитанным данным строим эпюру, опасное сечение – в заделке.

2. Из расчета на прочность при изгибе найдем необходимый осевой момент сопротивления сечения балки:

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru ,

откуда

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru (мм3) = 305 (см3).

3. Подбираем заданные сечения.

По ГОСТ 8239–72 находим двутавр, имеющий Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru см3. Для двутавра № 24а Wx = 317 см3.

Прямоугольное сечение:

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru (см3),

откуда

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru (см), Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru (см).

Круглое сечение:

Wx = 0,1d3 = 305 (см3),

откуда

d = Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru = 14,5 (см).

4. Сравним по массе балки найденных сечений:

mд : mп : mк = ρVд : ρVп : ρVк = lAд : lАп : lАк = Ад : bh : Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru ,

где m – масса; ρ – плотность; V – объем; АД – площадь сечения двутавра, прямоугольника, круга.

По ГОСТ 8239–72 для двутавра № 24а Ад = 37,5 см2.

mд : mп : mк = 37,5 : (9,3 × 14) : Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru = 37,5 : 130,2 : 165,1 = 1 : 3,5 : 4,4.

Ответ: двутавр № 24а, прямоугольник 9,3 × 14 см, круг диаметром 14,5 см; наиболее рационально двутавровое сечение, масса балки прямоугольного сечения в 3,5 раза больше, а круглого – в 4,4 раза больше, чем двутаврового, при одинаковой прочности.

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru Задача 2

Исходные данные:

швеллер № 40;

l = 8,0 м;

[σ] = 100 МПа.

Требуется определить:

q, F – ?

Решение:

1. Определяем реакции опор, составляя уравнения моментов относительно точек А и В:

∑МА = 0, –q ∙ 1,2l ∙ 0,6l + F ∙ 1,2l + yB l = 0, yB = –0,4 ql;

∑MB = 0, –yAl + q ∙ 1,2l · 0,4l + F ∙ 0,2l = 0, yA = 0,68ql.

Проверка:

y = 0; yA + yB + F –q ∙ 1,2l = 0, 0,68ql – 0,48ql + ql − 1,2ql = 0.

2. Рассчитываем эпюру изгибающих моментов:

0 ≤ z1 ≤ l,

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru ,

при z1 = 0, Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru = 0;

при z1 = l, Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru = 0,68 ql 2 − 0,5ql 2 = 0,18ql 2.

Найдем положение вершины параболы:

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru , Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru ,

при z1 = 0,68l, Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru .

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru ,

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru ;

при z2 = 0, Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru = 0;

при z2 = 0,2l, Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru = 0,18ql2.

Найдем положение вершины параболы на втором участке:

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru , Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru ,

при z2 = l, Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru = 0,5 ql2.

По рассчитанным данным строим эпюру изгибающих моментов. Опасным является сечение при z1 = 0,68l, где Мх = 0,23ql2.

2. Определим геометрические характеристики сечения прогона, которое состоит из двух сваренных швеллеров.

3. Сечение имеет две оси симметрии, которые и являются главными центральными осями.

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru Момент инерции одного швеллера № 40 относительно оси x (по ГОСТ 8240–72) Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru см4. Для сварочного сечения, учи-тывая, что ось x для всего сечения совпадает с главной центральной осью швеллера: Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru , Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru см4.

Осевой момент сопротивления сечения:

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru (см3),

здесь ymax Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru , h = 40 см (для швеллера № 40).

5. Из расчета на прочность при изгибе найдем допустимую нагрузку на прогон. Условие прочности:

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru ,

где Mx = 0,23ql2; l = 8 м; Wx = 1522∙10-6 м3; [σ] = 100 ∙ 106 Н/м2, тогда

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru (Н/м2),

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru (Н/м) = 10,3 (кН/м),

F = ql = 10,3 ∙ 8 = 82,4 (кН).

Ответ: распределенная нагрузка q = 10,3 кН/м, допустимая нагрузка F = 82,4 кН.

Варианты расчетных схем

Задача 1

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Задача 2

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Клячкин, В. Н. Сопротивление материалов : учеб. пособие / В. Н. Клячкин. – Ульяновск : УВГТУ, 1983. – 130 с.

2. Леденева, Н. Ф. Сборник задач по сопротивлению материалов : учеб.-метод. пособие для курсантов УВАУ ГА / Н. Ф. Леденева, И. Н. Карпунина. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2001. – 53 с.

3. Степин, П. А. Сопротивление материалов : учебник для немашиностроительных специальностей вузов / П. А. Степин. – 8-е изд. – М. : Высшая школа, 1988. – 367 с.

4. Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов : учебник для втузов / В. И. Феодосьев. – 10-е изд., перераб. и доп. – М. : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. – 592 с.

Методические указания
по выполнению расчетно-графических работ

(раздел «Сопротивление материалов»)

Карпунина

Ирина Николаевна

Леденева

Нина Федоровна

Мельникова

Ираида Анатольевна

Сиднева

Ирина Евгеньевна

МЕХАНИКА

редактор О. А. Запевалова

Компьютерная верстка О. В. Рябинкина

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru Подписано в печать 14.08.2012. Формат 60´90/16. Бумага офсетная.

Печать трафаретная. Усл. печ. л. 5,5. Уч.-изд. л. 3,74.

Тираж 100 экз. Заказ № 213

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru РИО и типография УВАУ ГА(И), 432071, Ульяновск, ул. Можайского, 8/8

 
  Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Наши рекомендации