Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов

В нашем примере рама имеет четыре участка, как показано на рис.16.Выражения для внутренних усилий и их эпюры определяются для каждого участка рамы в отдельности. Для горизонтальных участков остаются верны те же знаки внутренних силовых факторов, что и для балок, а вертикальные участки сводим к горизонтальным поворотом рамы по ходу часовой стрелке.

Проводим сечение на I участке (рис.16). Поскольку участок занимает вертикальное положение, развернем раму по ходу часовой стрелке и рассмотрим левую от сечения часть.

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru I участок Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (начало отсчета на левом конце);

Q(x1) = HBq1 x1= 3,33кН– 3кН/м·x1;

Q(0) = 3,33кН– 3кН/м·0= 3,33кН (значение на левой границе участка);

Q(2м) = 3,33кН– 3кН/м·2м = – 2,67кН (значение на правой границе участка);

Поскольку поперечная сила меняет знак в пределах участка, определяем координату, при которой она обращается в нуль:

Q(x0) = 3,33кН – 3кН/м·x0=0; x0= Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru 1,11м.

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Рис.16.

Изгибающий момент на этом участке

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru M(x1) = HBx1Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru = 3,33кН ·x1– 3 Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru · Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru = 3,33кН ·x1– 1,5кН/м· Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru ;

Слева от сечения моменты всех сил берем относительно центра тяжести поперечного сечения (рис.16).

Изгибающий момент (M) является квадратичной функцией координаты x1.

Для построения его графика определяем значение изгибающего моментана границах участка и в найденной выше точке.

M (0) = 3,33кН ·0– 1,5кН/м· Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru =0 (значение на левой границе участка);

M (1,11м) = 3,33кН ·1,11м– 1,5кН/м·(1,11м )2 = 1,84815кНм=1,85 кНм;

M (2м) = 3,33кН·2м– 1,5кН/м·(2м)2 = 0,66кНм (значение на правой границе уч-ка).

N(x1) =0 (слева от сечения отсутствуют силы, действующие параллельно оси участка).

Проводим сечение на II участке и рассматриваем левую от сечения часть рамы (рис.16).

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru II участок Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (начало отсчета на левой границе участка).

Q(x2) = F1= 6кН;

 
  Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru

M (x2) = F1 x1 = 6кН ·x1;

M (0) = 6кНм·0 = 0 (значение на левой границе участка);

M (1м) = 6кН·1м= 6 кНм (значение на правой границе участка).

N (x2) =0 (слева от сечения отсутствуют силы, действующие параллельно оси участка).

Проводим сечение на III участке. Поскольку участок занимает вертикальное положение, развернем раму по ходу часовой стрелке. Будем рассматривать правую от сечения часть рамы (частьIII-го участка иIV участок).

III участок Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (начало отсчета на правой границе участка);

 
  Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru Q(x3) = F2 +HA =5кН – 7,67кН= –2,67кН.

M (x3) = – F2 x3Rq2 · 1м + RA·2м – HA · x3 =

= –5кН ·x3 – 8кН ·1м +2кН·2м –(–7,67кН)· x3 = 2,67кН· x3 – 4кНм.

M (0) = 2,67кН ·0– 4кНм = – 4кНм (значение на правой границе участка);

M (1м) = 2,67кН ·1м– 4кНм = – 1,33кНм (значение на левой границе участка).

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru N(x3) = RA Rq2 = 2кН– 8кН= – 6кН.

Продольная сила является постоянной, графиком такой функции служит прямая линия, параллельная оси участка.

Проводим сечение на IV участке. Будем рассматривать правую от сечения часть рамы (рис.16).

IV участок Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (начало отсчета на правой границе участка).

 
  Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Q(x4) = – RA + q2 x4= – 2кН + 4кН/м·x4;

Q(0) = – 2кН + 4кН/м·0= – 2кН;

Q(2м) = – 2кН + 4кН/м·2м = 6кН.

Поскольку поперечная сила меняет знак в пределах участка, определяем координату, при которой она обращается в нуль:

Q(x0) = – 2кН + 4кН/м ·x0=0; x0= Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru 0,5м.

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru
Рис.17

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru Изгибающий момент на этом участке

M(x4) = RAx4Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru = 2кН·x4 – 4 Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru · Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru = 2кН ·x4– 2кН/м· Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru ;

Справа от сечения моменты всех сил берем относительно центра тяжести поперечного сечения (рис.16).

Изгибающий момент (M) является квадратичной функцией координаты x4.

Для построения его графика определяем значение изгибающего моментана границах участка и в найденной выше точке.

M (0) = 2кН ·0– 2кН/м·0=0 (значение на правой границе участка);

M (0,5м) = 2кН·0,5м– 2кН/м·(0,5м )2=0,5кНм;

M (2м) = 2кН·2м– 2кН/м·(2м )2 = –4кНм(значение на левой границе участка).

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru N(x4) = HA = – 7,67кН.

Эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и продольных сил показаны на рис.17.

Проверка равновесия узлов

Построенные эпюры поперечных сил и изгибающих моментов проверяются по правилам контроля и построения эпюр для прямолинейных балок. Кроме этого необходимо проверить равновесие узлов. Узлом в раме называется точка соединения вертикальных и горизонтальных участков. В нашем примере это узел D и узел K (рис. 16).

Положительные направления внутренних силовых факторов для узла в виде креста показаны на рис.18.

 
  Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Рис. 18

Вырежем узел D и проверим его равновесие. В узле D сходятся IIIиIVучастки, приложена горизонтальная сила F2 = 5 кН (рис.19).

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Рис.19

Используя рис.17, приведем фрагменты эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов в окрестности узла D(рис. 20).

 
  Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Рис.20

В узле D внутренние силовые факторы принимают следующие значения:

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (при подходе к узлу справа);

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (при подходе к узлу снизу);

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (при подходе к узлу справа);

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (при подходе к узлу снизу);

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (при подходе к узлу справа);

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (при подходе к узлу снизу).

С учетом правила знаков (рис.18), показываем истинные направления внутренних усилий приложенных в окрестности узла D (рис.21).

 
  Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Рис.21

Составляем три уравнения статики:

S Fx =0: Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru 2, 67 кН –7,67кН +5 кН = 7, 67кН –7, 67кН=0;

S Fz=0: Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru 6 кН –6кН =0;

S MD =0: Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru 4 кНм –4кНм =0.

УзелD находится в равновесии.

Вырежем узел K и проверим его равновесие. В узле K сходятся I,IIи IIIучастки, приложен сосредоточенный момент m = 8 кНм (рис.22).

 
  Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Рис.22

Используя рис.17, приведем фрагменты эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов в окрестности узла K (рис. 23).

 
  Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Рис. 23

В узле K внутренние силовые факторы принимают следующие значения:

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (при подходе к узлу снизу);

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (при подходе к узлу слева);

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (при подходе к узлу сверху);

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (при подходе к узлу снизу);

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (при подходе к узлу слева);

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (при подходе к узлу сверху);

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (при подходе к узлу снизу);

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (при подходе к узлу слева);

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru (при подходе к узлу сверху).

С учетом правила знаков (рис.18), показываем истинные направления внутренних усилий приложенных в окрестности узла K (рис.24).

Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru

Рис.24

Составляем три уравнения статики:

S Fx =0: Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru 2, 67 кН – 0 – 2, 67кН=0;

S Fz=0: Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru 0+ 6 кН –6кН =0;

S MK=0: Построение эпюр поперечных, продольных сил и изгибающих моментов - student2.ru –0.67кНм –6кНм –1.33кНм +8кНм =

= –8кНм +8кНм =0.

УзелK находится в равновесии.

Эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов построены правильно.

Наши рекомендации