Краткие указания к выполнению задания. 2.2.1. Проработать раздел “Динамика материальной точки”, пользуясь конспектом лекций и рекомендуемыми учебниками [1-4].

2.2.1. Проработать раздел “Динамика материальной точки”, пользуясь конспектом лекций и рекомендуемыми учебниками
[1-4].

2.2.2. По условию задачи вычертить изогнутую трубу ABC. Изобразить груз D на каждом из участков AB и BC в произвольные моменты времени и приложить активные силы в соответствии с условием задачи.

2.2.3. Освободиться от действия связей (мысленно отбросить плоскость на которую опирается груз), изобразив нормальную реакцию на каждом из участков AB и BC.

2.2.4. Выбрать неподвижную систему координат на каждом из участков AB и BC, направив одну из осей вдоль соответствующего участка в сторону движения груза D, а другую – по нормали к этому участку. Начало системы координат выбрать в начале данного участка.

2.2.5. Составить дифференциальные движения груза на каждом из участков AB и BC, считая груз D материальной точкой.

2.2.6. Преобразовать дифференциальное уравнение движения груза на участке AB, понизив порядок производной (вместо второй производной координаты груза по времени записать производную проекцию скорости груза по времени)

.

2.2.7. Затем, если задана длина участка AB, то следует перейти от производной скорости груза по времени к производной скорости груза по координате, выполнив преобразование:

.

2.2.8. Разделить переменные в полученном дифференциальном уравнении.

2.2.9. Определить его решение с учетом начальных условий движения груза на участке АВ и определить скорость груза в конце этого участка. Начальную скорость груза на участке BC принять равной скорости его в конце участка АВ.

2.2.10. Преобразовать дифференциальное уравнение движения груза на участке BС, понизив порядок производной, так же как в п.п. 2.2.6, разделить переменные в полученном дифференциальном уравнении и определить его решение с учетом начальных условий движения на участке BС.

Таблица 2.1

Варианты числовых значений параметров задания №1

№ Вар.	№ Подвар.	m, кг	V0, м/c	m, Нс/м	n	F, H	a, град	t, сек	l, м
1.				0,1		3sin(pt)			-
		1,5	0,05		0,5cos(2t)			-
		5,5	0,15		0,5t2+1			-
		7,5	0,2		2t+sin(pt)			-
		2,4	0,1		5t2+2			-
		3,0	0,3		2sin(pt/2)		2,5	-
2.			3,5	0,1		3sin(pt)		-
		1,5	0,05		0,5cos(2t)		-
		3,5	0,15		0,5t2+1		-
		4,5	0,2		2t+3t2		-
		5,4	0,1		5t2+2		-
		1,0	0,3		2sin(pt/2)		-
3.			5,5	0,1		3sin2(pt)			-
		4,5	0,05		t+5cos(2t)			-
		2,3	0,15		5t2+t3			-
		5,2	0,2		2t+0,5t2			-
		2,4	0,1		5t2+2t3			-
		3,0	0,3		sin(t)cos(t)			-
4.				0,1		0,5cos2(pt)		-
		1,5	0,05		t2+5cos(2t)		-
			0,15		sin(t)cos(t)		-
			0,2		2sin(pt/2)		-
			0,1		5sin2(t)+2t		-
			0,3		2t+0,3t3		-
Продолжение табл. 2.1
№ Вар.	№ Подвар.	m, кг	V0, м/c	m, Нс/м	n	F, H	a, град	t, сек	l, м
5.				0,1		3sin(pt)			-
		2,5	0,05		0,5cos(2t)			-
			0,15		0,5t2+1			-
			0,2		2t+0,25t2			-
		2,4	0,1		5t2+2			-
		1,5	0,3		2sin(pt/2)			-
6.				0,1		3sin(pt)		-
		3,5	0,05		0,5cos(2t)		-
			0,15		0,5t2+1		-
			0,2		2t+sin(pt)		-
			0,1		5t2+2		-
			0,3		2sin(pt/2)		-
7.				0,1		3sin(pt)			-
			0,05		0,5cos(2t)		0.5	-
			0,15		0,5t2+1		1,5	-
			0,2		2t+cos(pt)			-
			0,1		5t2+2		1,2	-
			0,3		2sin(pt/2)		0,8	-
8.				0,1		3sin(pt)		-
			0,05		0,5cos(2t)		-
			0,15		0,5t2+1		-
			0,2		3t-sin(pt)		-
			0,1		5t2+2		-
			0,3		2sin(pt/2)		-
Продолжение табл. 2.1
№ Вар.	№ Подвар.	m, кг	V0, м/c	m, Нс/м	n	F, H	a, град	t, сек	l, м
9.			0,2	0,1		3sin(pt)			-
		0,5	0,05		0,5cos(2t)			-
		0,3	0,15		0,5t2+1			-
		0,2	0,2		2t-cos(pt)			-
		0,4	0,1		5t2+2			-
		1,0	0,3		2sin(pt/2)			-
10.			0,2	0,1		3sin(pt)		-
		0,5	0,05		0,5cos(2t)		-
		0,3	0,15		0,5t2+1		-
		0,2	0,2		2t+sin2(pt)		-
		0,4	0,1		5t2+2		-
		1,0	0,3		2sin(pt/2)		-
11.			0,2	0,1		3sin(pt)			-
		0,5	0,05		0,5cos(2t)			-
		0,3	0,15		0,5t2+1			-
		0,2	0,2		t+2cos(pt)			-
		0,4	0,1		5t2+2			-
		1,0	0,3		2sin(pt/2)			-
12.			0,2	0,1		3sin(pt)		-
		0,5	0,05		0,5cos(2t)		-
		0,3	0,15		0,5t2+1		-
		0,2	0,2		t-2sin(pt)		-
		0,4	0,1		5t2+2		-
		1,0	0,3		2sin(pt/2)		-
Продолжение табл. 2.1
№ Вар.	№ Подвар.	m, кг	V0, м/c	m, Нс/м	n	F, H	a, град	t, сек	l, м
13.				0,1		3sin(pt)		1,3	-
			0,05		0,5cos(2t)			-
			0,15		0,5t2+1		0,5	-
			0,2		2t+1/t		0,8	-
			0,1		5t2+2			-
			0,3		2sin(pt/2)			-
14.				0,1		3sin(pt)		-
			0,05		0,5cos(2t)		-
			0,15		0,5t2+1		-
			0,2		t+sin(pt/3)		-	1,5
		9,5	0,1		5t2+2		-
			0,3		2sin(pt/2)		-
15.				0,1		3sin(pt)		0,3	-
			0,05		0,5cos(2t)		0,6	-
			0,15		0,5t2+1		0,5	-
			0,2		2t+t2			-
			0,1		5t2+2			-
			0,3		2sin(pt/2)		0,5	-
16.				0,1		3sin(pt)		-	2,5
			0,05		0,5cos(2t)		-	3,5
			0,15		0,5t2+1		-
			0,2		2t+5/t		-
			0,1		5t2+2		-
			0,3		2sin(pt/2)		-
Продолжение табл. 2.1
№ Вар.	№ Подвар.	m, кг	V0, м/c	m, Нс/м	n	F, H	a, град	t, сек	l, м
17.			0,2	0,1		3sin(pt)			-
		0,5	0,05		0,5cos(2t)			-
		0,3	0,15		0,5t2+1			-
		0,2	0,2		t-sin(pt/2)			-
		0,4	0,1		5t2+2			-
		1,0	0,3		2sin(pt/2)			-
18.			0,2	0,1		3sin(pt)		-
		0,5	0,05		0,5cos(2t)		-
		0,3	0,15		0,5t2+1		-
		0,2	0,2		2t+sin2(pt)		-
		0,4	0,1		5t2+2		-
		1,0	0,3		2sin(pt/2)		-
19.				0,1		3sin(pt)		1,3	-
			0,05		0,5cos(2t)			-
			0,15		0,5t2+1		0,5	-
			0,2		t-cos(pt/2)		1,6	-
			0,1		5t2+2			-
			0,3		2sin(pt/2)		0,5	-
20.				0,1		3sin(pt)		-
			0,05		0,5cos(2t)		-
			0,15		0,5t2+1		-
			0,2		2t-0,1t3		-
			0,1		5t2+2		-
			0,3		2sin(pt/2)		-
Продолжение табл. 2.1
№ Вар.	№ Подвар.	m, кг	V0, м/c	m, Нс/м	n	F, H	a, град	t, сек	l, м
21.			1,2	0,1		3t+sin(pt)			-
		1,5	0,05		5cos2(t/2)			-
			0,15		0,5t2+3t3			-
			0,2		2t+sin2(pt)		2,5	-
		1,4	0,1		sin(t)cos(t)			-
			0,3		2+sin(pt/2)		1,5	-
22.			1,2	0,1		3sin(pt)		-
		1,5	0,05		0,5cos(2t)		-
		1,0	0,15		sin(t)cos(t)		-
			0,2		0,2t3-sin(t)		-
			0,1		t2+2sin2(t)		-
		1,0	0,3		2t+sin(pt/2)		-
23.			0,2	0,1		3sin(pt)			-
		0,5	0,05		0,5cos(2t)			-
		0,3	0,15		0,5t2+1			-
		0,2	0,2		3t+sin(pt)			-
		0,4	0,1		5t2+2			-
		1,0	0,3		2sin(pt/2)			-
24.			0,2	0,1		3sin(pt)		-
		0,5	0,05		0,5cos2(2t)		-
		0,3	0,15		0,5t2+1		-
		0,2	0,2		t+sin(pt/2)		-
		0,4	0,1		5t2+2		-
		1,0	0,3		2sin(pt/2)		-
Продолжение табл. 2.1
№ Вар.	№ Подвар.	m, кг	V0, м/c	m, Нс/м	n	F, H	a, град	t, сек	l, м
25.			1,2	0,1		3+sin(pt)			-
		1,5	0,05		0,5cos(2t)			-
			0,15		0,5t2+1			-
			0,2		t-5sin(pt)		1,5	-
			0,1		5t2+2			-
			0,3		2sin(pt/2)			-
26.				0,1		3sin(pt)		-
			0,05		0,5cos(2t)		-
			0,15		0,5t2+1		-
			0,2		t-cos(pt/6)		-
			0,1		5t2+2		-
			0,3		2sin(pt/2)		-
27.				0,1		3sin(pt)			-
		3,5	0,05		0,5cos(2t)			-
			0,15		0,5t2+1			-
			0,2		t+cos(pt/6)			-
			0,1		5t2+2			-
		1,0	0,3		2sin(pt/2)		2,5	-
28.				0,1		3sin(pt)		-
			0,05		0,5cos(2t)		-
		9,5	0,15		0,5t2+1		-
		4,5	0,2		t+sin(3pt)		-
			0,1		5t2+2		-
			0,3		2sin(pt/2)		-
Окончание табл. 2.1
№ Вар.	№ Подвар.	m, кг	V0, м/c	m, Нс/м	n	F, H	a, град	t, сек	l, м
29.				0,1		3sin(pt)+2			-
		2,5	0,05		0,5cos(2t)			-
			0,15		0,5t2+1			-
			0,2		2t+5t-2		2,5	-
		1,4	0,1		5t2+2			-
			0,3		2sin(pt/2)		3,5	-
30.			0,2	0,1		3sin(pt)		-
		0,5	0,05		0,5cos(2t)		-
		0,3	0,15		0,5t2+1		-
		0,2	0,2		2t-6t-2		-
		0,4	0,1		5t2+2		-
		1,0	0,3		2sin(pt/2)		-
31.			2,2	0,1		3sin(pt)			-
		2,5	0,05		0,5cos(2t)			-
		3,5	0,15		0,5t2+1			-
		4,5	0,2		2t+sin(pt)		1,5	-
			0,1		5t2+2			-
		1,5	0,3		2sin(pt/2)			-
32.				0,1		3+sin(pt)		-
		3,5	0,05		5cos(2t)		-
			0,15		sin(t)cos(t)		-
		2,2	0,2		2t2-3t		-
			0,1		5t3+2		-
			0,3		2-sin(pt/2)		-

Рис. 2.1

Продолжение рис. 2.1

Продолжение рис. 2.1

Продолжение рис. 2.1

Окончание рис. 2.1

Пример выполнения задания

2.3.1. Условие примера

На участке трубы AB на груз D действует постоянная сила , направление которой показано на рис. 2.2, и сила сопротивления . Длина участка AB=l. На участке BC на груз действует сила трения F_TP (коэффициент трения f=0,1) и переменная сила , где F измеряется в ньютонах, а t - в секундах.

Определить уравнение движения груза D на участке BC при следующих значениях параметров: m=4кг, Q=10H, m=0,8Hc²/м², n=2, V₀=12м/c, l=2,5м, g=9,9м/c².

2.3.2. Решение примера

Дифференциальное уравнение движения груза D на участке АВ
( рис.2.3) запишется

Начальные условия ( ): м/с.

При прямолинейном движении скорость точки , а ускорение .

Тогда дифференциальное уравнение движения груза D примет вид:

.

Отсюда получаем:

Производную представим в виде:

.

Тогда получим следующее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

.

Разделив переменные, имеем

.

Интегрирование этого дифференциального уравнения дает:

.

После подстановки пределов интегрирования, получаем:

.

Потенцируя обе части последнего равенства, находим скорость груза D в конце участка AB:

м/с.

Запишем дифференциальное уравнение движения груза D на участке BС (рис.2.3):

,

где .

;

.

Начальные условия:

, м/с.

При прямолинейном движении и , поэтому имеем:

.

Разделяем переменные

.

После интегрирования, получим:

.

Из второго начального условия:

;

м/с.

Следовательно,

.

Но , поэтому .

Отсюда, после разделения переменных, имеем:

.

И, после интегрирования, получим:

.

Из первого начального условия:

м.

Окончательно имеем:

(м).

Задание №2. Колебания материальной точки

Содержание задания

Груз А прикрепленный к горизонтальной пружине совершает горизонтальные колебания под действием возмущающей силы , как показано на рис. 3.1.

Масса груза m, амплитуда возмущающей силы и ее круговая частота , а также начальные условия задачи даны в табл. 3.1.

Номер строки таблицы соответствует варианту задачи.

Определить коэффициент с упругости пружины для заданного в табл. 3.1 значения коэффициента динамичности при ,
где - круговая частота свободных колебаний без учета сил сопротивления.

Найти уравнение движения груза при заданных в таблице начальных условиях и найденном значении коэффициента упругости пружины. Начало отсчета на оси взять на конце недеформированной пружины.

Построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.

При решении задачи считать, что сила упругости пружины прямо пропорциональна ее деформации, а силами сопротивления движению пренебречь.

Определить зависимость амплитуды вынужденных колебаний от сопротивления движению, считая силу сопротивления пропорциональной величине скорости груза. При заданном в
табл. 3.1 значении коэффициента затухания, построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.