Свойства функции распределения

1. Значения функции распределения лежат между нулем и единицей, т.е.

.

Это свойство непосредственно следует из формулы (5.2) и свойства вероятности случайного события.

2. Функция F(x) является неубывающей функцией, т.е. для любых х₁< х₂ выполнено неравенство F(x₁)≤ F(x₂).

Доказательство. Найдем F(x₂):

,

т.к. второе слагаемое, как вероятность - неотрицательно, то F(x₂)≥ F(x₁).

Свойство доказано.

3. Вероятность попадания случайной величины Х в полуинтервал [а, b) равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах рассматриваемого полуинтервала, т.е.

(5.3)

Доказательство следует из доказательства свойства 2. В нем была получена формула

.

Положив х₁=а и х₂=b, получим . Перенеся значение F(a) в другую часть равенства, получим формулу (5.3).

Свойство доказано.

4. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то выполнены соотношения: F(x)=0 при х≤а и F(x)=1 при х≥b.

Доказательство. Пусть х₁≤а. Тогда событие Х<x₁ невозможно, так как по условию нет значений случайной величины, меньших х₁. Следовательно, вероятность этого события равна нулю.

Пусть теперь х₂≥b. Тогда событие Х<x₂ достоверно, так как по условию все значения случайной величины меньше х₂. Следовательно, вероятность этого события равна 1.

Свойство доказано.

Из последнего свойства вытекает утверждение.

Утверждение. Для функции распределения непрерывной случайной величины справедливы следующие предельные соотношения:

.

5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-нибудь одно конкретное значение, равна нулю, т.е. для непрерывной случайной величины Х выполнено Р(Х=а)=0.

Доказательство. Положим в формуле (5.3): b = а + h. Тогда

.

Перейдя в последнем равенстве к пределу при h→0, получим

.

Свойство доказано.

Итак, для непрерывной случайной величины не имеет смысла говорить о вероятности ее отдельного значения (она все равно равна нулю), а имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее значений в некий интервал. Этот факт полностью согласуется с решением практических задач. Например, при изготовлении детали рабочий не стремится к тому, чтобы определенный размер был абсолютно точен (практически это невозможно), но он следит за тем, чтобы размер не вышел за пределы допуска.

Используя свойство 5 для непрерывной случайной величины, можно доказать справедливость следующих формул:

.

Докажем, например, первую. Для этого применим теорему сложения вероятностей, получим

.

Таким образом, формула (5.3) для непрерывной случайной величины может быть записана в следующем виде

(5.4)

Рассмотрим более конкретно построение функции распределения для дискретной случайной величины.