Задача для самостоятельного решения

Задача № 1. Определить уравнения движения и траекторию центра масс плоского механизма (и построить траекторию), изображенного на рис. 1.2. Исходные данные ко всем вариантам задачи приведены в табл. 1.1.

а б в

г д е

ж з

Рис. 1.2.

Таблица 1.1

Исходные данные к вариантам задачи № 1

Номер варианта	Номер рисунка	Масса тела, кг	Геометрический размер тела, м	Угловая скорость, с-1
	1.2, а				0,8	–	0,2	–	2,0	–
	1.2, б				1,0	–	0,3	–	1,5	–
	1.2, в				0,9	–	0,3	–	1,2	2,0
	1.2, г				0,4	–	–	1,4	1,0	1,5
	1.2, д				0,5	–	–	–	1,8	–
	1.2, е				0,7	0,7	–	–	0,7	–
	1.2, ж				1,2	–	–	–	0,5	–
	1.2, з				0,8	0,8	–	0,4	0,8	–
	1.2, а				1,0	–	0,4	–	2,2	–
	1.2, б				1,2	–	0,5	–	1,7	–
	1.2, в				1,1	–	0,5	–	1,3	1,8
	1.2, г				0,6	–	–	1,6	1,2	1,5
	1.2, д				0,7	–	–	–	2,0	–
	1.2, е				0,9	0,9	–	–	0,9	–
	1.2, ж				1,4	–	–	–	0,7	–
	1.2, з				1,0	1,0	–	0,5	1,0	–
	1.2, а				0,6	–	0,2	–	1,8	–
	1.2, б				0,8	–	0,2	–	1,3	–
	1.2, в				0,7	–	0,3	–	1,0	1,8
	1.2, г				0,3	–	–	1,0	0,8	1,2
	1.2, д				0,4	–	–	–	1,4	–
	1.2, е				0,6	0,6	–	–	0,6	–
	1.2, ж				1,0	–	–	–	0,4	–
	1.2, з				0,4	0,4	–	0,2	0,6	–
	1.2, а				0,7	–	0,3	–	1,5	–
	1.2, б				0,8	–	0,2	–	1,2	–
	1.2, в				0,8	–	0,3	–	1,0	1,5
	1.2, г				0,5	–	–	1,2	1,0	1,5
	1.2, д				0,6	–	–	–	1,6	–
	1.2, е				0,8	0,8	–	–	0,8	–

Руководство к решению задачи

1. Распознать плоский механизм, т. е. выделить общее количество тел, из которых он состоит; определить вид движения каждого из них. ­­­

2. Рассмотреть механизм в положении, соответствующем произвольному (текущему) моменту времени и построить неподвижную декартову систему координат , взяв начало в неподвижном шарнире.

3. Отметить центры масс каждого из звеньев механизма и выразить их координаты через угол поворота ведущего звена (кривошипа ).

4. Записать формулы для определения координат центра масс механической системы и получить требуемые уравнения движения центра масс всего механизма в виде функций от времени.

5. Определить уравнение траектории центра масс механизма, исключив из уравнений движения время .

6. Построить в примерном масштабе полученную траекторию движения центра масс данного механизма.

2. КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Краткие сведения из теории

Количеством движения механической системы называется вектор равный произведению массы всей системы на вектор скорости ее центра масс т. е.

(2.1)

Теорему об изменении количества движения механической системы можно выразить в векторной форме:

(2.2)

и в координатной:

(2.3)

Пример решения задачи

Пример задачи № 2. Для кривошипно-ползунного механизма, изображенного на рис. 2.1, определить: 1) количество движения механизма; 2) суммарную горизонтальную и суммарную вертикальную реакции внешних связей. Все вычисления выполнить для угла поворота кривошипа равного = = 45º. Исходные данные взяты из примера задачи № 1.

Решение.

1. Определим уравнения движения центра масс кривошипно-ползунного механизма и найдем уравнение траектории его центра масс так, как это было сделано в п. 1 – 5 примера задачи № 1.

2. Построим в примерном масштабе на рис. 2.1 траекторию (эллипс) и положение центра масс механизма на ней для заданного угла поворота кривошипа = = 45º.

3. Воспользуемся формулами для расчета модуля и проекций количества движения на координатные оси:

(2.4)

(2.5)

(2.6)

где – масса всего механизма;

– проекции скорости центра масс механизма.

В результате подстановки в уравнения (2.4 – 2.6) массы всего механизма и первых производных по времени от уравнений движения его центра масс получим следующие функциональные зависимости от времени :

(2.7)

(2.8)

(2.9)

Для вычисления проекций и модуля количества движения механизма примем конкретное значение угла поворота кривошипа = = 45º:

кг∙м/с; кг∙м/с; кг∙м/с.

4. Построим на рис. 2.1 в примерном масштабе вектор количества движения по его составляющим и

Рис. 2.1.

5. Переходя к вычислению суммарных реакций, укажем на рис. 2.2 все внешние активные силы, а также реакции внешних связей, действующие на кривошипно-ползунный механизм. К активным силам относятся силы тяжести звеньев – , к реакциям связей – .

6. Запишем дифференциальную форму теоремы об изменении количества движения механической системы в проекциях на координатные оси:

(2.10)

(2.11)

где , – проекции главного вектора внешних сил на координатные оси и соответственно.

Рис. 2.2.

Распишем обе части дифференциальных уравнений (2.10), (2.11):

(2.12)

. (2.13)

Суммы реакций в квадратных скобках представляют собой суммарные горизонтальные и суммарные вертикальные реакции внешних связей кривошипно-ползунного механизма.

7. Вычислим суммарные горизонтальные и суммарные вертикальные реакции для заданного угла кривошипа = = 45º:

(2.14)
(2.15)