Главные оси инерции и главные моменты инерции
В предыдущем параграфе было показано, что величины моментов инерции меняются при повороте осей. Можно найти такое значение угла , при котором момент инерции достигает экстремального значения. Для определения экстремума приравняем нулю первую производную от (2.11) и положим :
или
,
откуда
. (2.13)
Полученная формула дает для угла два значения, отличающиеся на 90°. Следовательно, существует две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых моменты инерции имеют экстремальные значения. Такие оси называют главными осями инерции, их будем обозначать и , а моменты относительно этих осей – главные моменты инерции.
При положительном значении угла a0, для определения по нему положения одной из главных осей инерции, ось х следует повернуть на угол
против вращения часовой стрелки.
Рис. 2.7
Одна из главных осей инерции является осью максимум (относительно нее осевой момент инерции сечения максимален), а другая – осью минимум.
Ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (х или у), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение (рис. 2.7).
Для отыскания главных моментов инерции есть два способа.
I способ: По формулам из тригонометрии, используя выражения (2.11) и (2.13), после некоторых преобразований найдем
. (2.14)
II способ: Вычислим по (2.13) угол и с учетом его знака проводим главные оси ОХ0 и ОY0. В формулы (2.11) и (2.11а) подставляем и вычисляем и . По числовым значениям и сразу видно, какая ось максимум, а какая - минимум. Полученные так и численно равны и , определяемым по формуле (2.14).
Интересно отметить, что центробежный момент инерции относительно главных осей инерции равен нулю. Для этого в формулу (2.12) вместо подставим значение , определяемого из формулы (2.13), и т.к. ;
Условие равенства нулю центробежного момента инерции часто используют для определения положения главных осей инерции – если одна из осей фигуры совпадает с осью симметрии этой фигуры, то эти оси будут главные, т.к. центробежный момент относительно таких осей равен нулю. Таким образом, для симметричных фигур главные оси устанавливаются без вычислений.
Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.
Эллипс инерции
Введем новую геометрическую характеристику, которую назовем радиусом инерции.
. (2.15)
Предположим, что для какой-либо фигуры оси и являются главными центральными осями. Запишем выражение момента инерции относительно оси , наклонной к оси на угол . На основании (2.11) получим
, т.к. .
Разделив все на А, получим
. (2.16)
| Рис. 2.8 | Построим в осях эллипс, взяв за полуоси радиусы инерции фигуры (рис. 2.8). При этом вдоль оси отложим радиус , а на оси - радиус . Данный эллипс называ-ется эллипсом инерции. Проведем касательную к эллипсу, параллельную оси . Можно показать, что расстояние между касатель-ной и осью , обозначенное |
на рис. 2.8 величиной h, равно:
. (2.17)
Сравнивая полученную зависимость с выражением (2.16), видим, что величина численно равна радиусу инерции относительно наклонной оси . Установленное свойство эллипса инерции позволяет графически определить момент инерции относительно любой оси, проходящей через начало координат. Для этого достаточно провести касательную к эллипсу параллельно этой оси и замерить кратчайшее расстояние между касательной и осью. Это расстояние будет равно радиусу инерции для рассматриваемой оси. Момент инерции определяется так:
.