Ускорение буксира при свободном движении 2 страница

Кривая Ф(t) начинается из точки (0, Ф_r). Отложим отрезок длиной i_в∞ от начала координат вверх и полученную точку b соединим с левой точкой a отрезка h. Затем через начало координат проведем отрезок, параллельный отрезку ab, до перпендикуляра, восстановленного из точки Δt. Получим значение Ф(Δt). Отложим это значение на левом графике и найдем значение тока возбуждения i_в(Δt). Далее отложим отрезок длиной i_в∞ – i_в(Δt) от начала координат вверх и полученную точку с соединим с левой точкой a отрезка h. Затем через точку Δt, Ф(Δt) проведем отрезок, параллельный отрезку aс, до перпендикуляра, восстановленного из точки 2Δt. Получим значение Ф(2Δt), и т.д.

Видно, что значение магнитного потока Ф стремится к установившемуся значению Ф_∞, а значение тока – к установившемуся значению i_в∞. Далее, полученные кривые существенно отличаются от экспонент. Особенно это касается кривой тока, которая имеет S-образную форму. Для сравнения штриховой линией проведена экспонента, стремящаяся к тому же значению i_в∞. Можно сделать общий вывод, что с увеличением тока возбуждения и магнитного потока электромагнитная постоянная времени уменьшается.

Пуск двигателя постоянного тока последовательного возбуждения

Уравнение механики для двигателя постоянного тока последовательного возбуждения имеет вид

Согласно методу Эйлера запишем выражение для приращения скорости вращения:

Видно, что это приращение пропорционально разности между электромагнитным моментом и статическим моментом нагрузки.

Геометрическая интерпретация метода дается на рис. 19.2. Слева расположена механическая характеристика двигателя постоянного тока последовательного возбуждения ω = f(M) и механическая характеристика исполнительного механизма ω = f(M_с). Точка их пересечения дает значение установившейся

Рис. 19.2. Построение переходного процесса при пуске двигателя

постоянного тока последовательного возбуждения

скорости вращения ω_∞.Справа построены оси координат t и ω. На оси времени t отложено несколько одинаковых отрезков длиной Δt. Влево от оси t отложен отрезок длиной h.

Начальное значение скорости вращения ω равно нулю. Измеряем расстояние между точками M_c и M на оси M, т.е. при ω = 0, и откладываем этот отрезок на оси ω на правой части рис. 19.2. Затем проводим отрезок, соединяющий верхнюю точку b отложенного отрезка с левой точкой a отрезка h. Теперь проводим через начало координат отрезок, параллельный отрезку ab, до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки Δt.

Получим значение ω(Δt). Отложим это значение на левом графике и найдем соответствующие значения моментов M и M_c. Далее отложим отрезок длиной M – M_c от начала правой системы координат вверх и полученную точку c соединим с левой точкой a отрезка h. Затем через точку Δt, ω(Δt) проведем отрезок, параллельный отрезку aс, до перпендикуляра, восстановленного из точки 2Δt. Получим значение ω(2Δt), и т.д.

Видно, что значение скорости вращения ω стремится к установившемуся значению ω_∞. Далее, полученная кривая существенно отличается от экспоненты. Для сравнения штриховой линией проведена экспонента, стремящаяся к тому же значению ω_∞. Можно сделать общий вывод, что с увеличением скорости вращения электромеханическая постоянная времени растет.

Отметим, что электромагнитные процессы в двигателе здесь не учитываются, т.е. полагается, что момент инерции исполнительного механизма велик, и электромеханическая постоянная времени значительно больше электромагнитной постоянной времени.

Пуск трехфазного асинхронного двигателя

Уравнение механики для трехфазного асинхронного двигателя имеет тот же вид, что и для двигателя постоянного тока последовательного возбуждения:

Отличие заключается в форме механической характеристики. Согласно методу Эйлера запишем выражение для приращения скорости вращения:

Видно, что это приращение пропорционально разности между электромагнитным моментом и статическим моментом нагрузки.

Геометрическая интерпретация метода дается на рис. 19.3. Слева расположена механическая характеристика трехфазного асинхронного двигателя ω = f(M) и механическая характеристика исполнительного механизма ω = f(M_с). Точка их пересечения дает значение установившейся скорости вращения ω_∞. Справа построены оси координат t и ω. На оси времени t отложено несколько одинаковых отрезков длиной Δt. Влево от оси t отложен отрезок длиной h.

Начальное значение скорости вращения ω равно нулю. Измеряем расстояние между точками M_c и M на оси M, т.е. при ω = 0, и откладываем этот отрезок на оси ω на правой части рис. 19.3. Затем проводим отрезок, соединяющий верхнюю точку b отложенного отрезка с левой точкой a отрезка h. Теперь проводим через начало координат отрезок, параллельный отрезку ab, до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки Δt.

Получим значение ω(Δt). Отложим это значение на левом графике и найдем соответствующие значения моментов M и M_c. Далее отложим отрезок длиной M – M_c от начала правой системы координат вверх и полученную точку c соединим с левой точкой a отрезка h. Затем через точку Δt, ω(Δt) проведем отрезок, параллельный отрезку aс, до перпендикуляра, восстановленного из точки 2Δt. Получим значение ω(2Δt), и т.д.

Рис. 19.3. Построение переходного процесса

при пуске трехфазного асинхронного двигателя

Видно, что значение скорости вращения ω стремится к установившемуся значению ω_∞. Далее, полученная кривая существенно отличается от экспоненты и имеет характерную S-образную форму. Это связано с тем, что при пуске электромагнитный момент сравнительно мал, а при критической скорости достигает максимального значения, после чего опять уменьшается. Для сравнения штриховой линией проведена экспонента, стремящаяся к тому же значению ω_∞. Можно сделать общий вывод, что с увеличением скорости вращения электромеханическая постоянная времени уменьшается.

Отметим, что электромагнитные процессы в двигателе здесь не учитываются, т.е. полагается, что момент инерции исполнительного механизма велик, и электромеханическая постоянная времени значительно больше электромагнит-

ной постоянной времени.

ЛЕКЦИЯ 20

Качания ротора синхронного двигателя.

Уравнения электромагнита постоянного тока.

Качания ротора синхронного двигателя.

При работе синхронной электрической машины, подключенной к сети бесконечной мощности, возможны качания ротора. В сети действует симметричная трехфазная система напряжений:

Видно, что вектор системы напряжений статора вращается с постоянной угловой скоростью ω₁. Вектор МДС статора вращается с той же скоростью. При отклонении продольной оси ротора-индуктора от оси МДС возникает момент, который стремится вернуть ротор в нейтральное положение. Это подобно действию пружины, которая тянет ротор за магнитным полем статора. В результате ротор совершает колебательные движения относительно поля статора.

Для получения уравнений движения ротора запишем уравнения обобщенной электрической машины, соответствующей синхронной машине с одной парой неявно выраженных полюсов и с возбуждением от постоянных магнитов:

Здесь u_d, i_d – напряжение и ток продольной фазы обобщенной машины; u_q, i_q – напряжение и ток поперечной фазы; r, L – активное сопротивление и индуктивность фазы; Ψ – потокосцепление продольной фазы с магнитным потоком рото-

ра-индуктора; ω – частота вращения ротора; α – угол поворота ротора; J – момент инерции ротора.

Статический момент отсутствует. Компоненты вектора напряжений статора в установившемся режиме определяются выражениями

(20.1)

(20.2)

При возникновении колебаний вектор напряжений статора на плоскости d, q отстает на угол относительно его положения в установившемся режиме. Тогда вектор напряжений на плоскости d, q получает приращение , компоненты которого в проекциях на оси d, q определяются выражениями

(20.3)

(20.4)

Рис. 20.1. Пространственная векторная диаграмма синхронной машины

Без учета электромагнитных переходных процессов уравнения синхронной машины в отклонениях от установившегося движения примут вид:

(20.5)

(20.6)

(20.7)

(20.8)

Выразим из уравнения (20.5) ток и полученное выражение подставим в уравнение (20.6):

(20.9)

(20.10)

Здесь обозначено x = ω₁L.

Выразим из уравнения (20.10) ток и подставим полученное выражение в уравнение (20.7):

(20.11)

В краткой форме получаем систему дифференциальных уравнений

(20.12)

(20.13)

Здесь постоянные коэффициенты c₁, c₂ определяются выражениями:

Система дифференциальных уравнений (20.12), (20.13) имеет характеристическое уравнение

= 0

или

p² + c₂p + c₁ = 0.

Его корни имеют вид

При отрицательном значении подкоренного выражения получаются комплексные корни

которым соответствует решение

График такого процесса приведен на рис. 20.2.

Рис. 20.2. График угла отклонения оси ротора

от установившегося вращения

Затухание колебаний связано с коэффициентом с₂, обусловленным скоростной демпфирующей компонентой электромагнитного момента.

Уравнения электромагнита постоянного тока.

Рассмотрим электромагнит поступательного движения, показанный на рис. 20.3. Электромагнит имеет сердечник, якорь, обмотку управления, возвратную пружину и опоры для якоря. Направляющие поступательного движения и объект управления не показаны.

Рис. 20.3. Электромагнит поступательного движения

Электромагнит имеет следующие параметры: r – активное сопротивление обмотки управления; w – число витков обмотки; l_c – длина средней силовой линии по сердечнику и по якорю (показана штриховой линией); m – масса подвижных частей электромагнита; S – площадь поперечного сечения сердечника и якоря; c – коэффициент жесткости пружины;δ₀ – длина воздушного зазора при расслабленной пружине.

Независимая переменная – напряжение питания u;зависимые переменные: i – ток обмотки управления; Ф – магнитный поток; B – магнитная индукция в сердечнике и в зазоре, H_c – напряженность магнитного поля в сердечнике и в якоре; H_δ – напряженность магнитного поля в рабочем воздушном зазоре; x – перемещение якоря, отсчитываемое от положения расслабленной пружины; v – скорость движения якоря;δ – длина зазора между сердечником и якорем; F_э – сила притяжения электромагнита; F_п – сила противодействующей пружины.

Всего имеется десять зависимых переменных.

Электромагнит описывается следующими уравнениями. Уравнение баланса напряжений

(20.14)

уравнение кинематики

(20.15)

уравнение динамики

(20.16)

формула электромагнитной силы

(20.17)

формула силы упругости пружины

(20.18)

уравнение связи между перемещением якоря и длиной зазора

(20.19)

уравнение по закону полного тока

(20.20)

уравнение связи между магнитным потоком и магнитной индукцией

(20.21)

уравнение кривой намагничивания для стали сердечника и якоря

(20.22)

уравнение связи между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля в зазоре

(20.23)

Видно, что количество уравнений – 10 равно числу зависимых переменных. Значит, система уравнений (20.14) – (20.23) является замкнутой. Для ее решения нужно задать начальные условия для переменных Ф, x, v, а также

закон изменения напряжения u.

		t

Рис. 20.4. Переходные процессы при включении

электромагнита постоянного тока

На рис. 20.4 представлены графики тока i, магнитного потока Ф, скорости движения v и перемещения якоря x при включении электромагнита на постоянное напряжение. Все время переходного процесса можно разделить на четыре периода. На первом этапе якорь неподвижен, а ток и магнитный поток возрастают по экспоненциальному закону до значений, при которых электромагнитное усилие равно усилию предварительно растянутой пружины.

На втором этапе ток обмотки нарастает почти до установившегося значения, якорь почти остается на месте и приобретает небольшую скорость. На третьем этапе происходит разгон якоря до большой скорости и его перемещение до соприкосновения с сердечником электромагнита. В это время происходит значительное увеличение магнитного потока Ф и уменьшение тока i. Это объясняется резким уменьшением суммарного магнитного сопротивления и наведенной потоком Ф ЭДС, направленной против тока согласно равенству

На четвертом этапе якорь неподвижен, а ток и магнитный поток растут до установившихся значений как в катушке с сердечником.

ГЛАВА V

ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРОПРИВОДАХ

ЛЕКЦИЯ 21

Виды теплопередачи.Электрические схемы замещения.

Нагревание одного и двух тел.

Одним из важных вопросов для электропривода является его температурный режим по трем основным причинам.

При изменении температуры изменяются параметры электропривода. Сопротивление обмотки двигателя растет с увеличением температуры по линейному закону. Температура смазки влияет на момент сопротивления в подшипниках и в редукторе. От температуры зависят характеристики полупроводниковых приборов, входящих в информационную и силовую электронику.

Вторым фактором является старение, то есть изменение свойств элементов электропривода. Обмоточный провод электрических машин имеет изоляцию, срок службы которой уменьшается в два раза при увеличении температуры на 8 – 10 градусов. Постоянные магниты постепенно теряют свои свойства создавать магнитный поток, и скорость этого процесса зависит от температуры.

Наконец, любой полупроводниковый прибор имеет предельную температуру, выше которой он выходит из строя. Это же касается и изоляции обмоточных проводов.

Виды теплопередачи

Различают три основных вида теплопередачи: теплопроводностью, конвекцией и лучеиспусканием. Начнем с теплопроводности.

Рассмотрим стенку, имеющую толщину δ и площадь S. Пусть температура с одной стороны стенки равна θ₁, а с другой – θ₂, причем θ₁ > θ₂. Тогда мощность, передаваемая от более нагретой стороны стенки к менее нагретой, определяется равенством

где λ – коэффициент теплопроводности, Вт/м·ºС.

Рис. 21.1. Теплопроводность через стенку

Эту формулу можно записать в виде

Здесь тепловое сопротивление R_θ и тепловая проводимость G_θ определяются формулами

В электрических цепях закон Ома имеет аналогичный вид:

где активная проводимость G и активное сопротивление R определяются формулами

Здесь γ – удельная проводимость; ρ – удельное сопротивление; l – длина проводника; S – площадь его поперечного сечения.

Видна аналогия между тепловыми и электрическими величинами, которую можно представить следующими соотношениями.

Тепловые Электрические

величины величины

R_θ R

G_θ G

λ γ = 1/ρ

P I

θ φ

θ₁ – θ₂ U₁₂

Отметим, что теплопередача теплопроводностью наблюдается не только через твердые тела, но и через жидкости и газы, если они неподвижны. Например, мех или поролон уменьшают теплопередачу благодаря неподвижности воздуха в их среде.

Рассмотрим теплопередачу конвекцией. Пусть имеется стенка с площадью S и с температурой поверхности θ₁, а температура воздуха на некотором расстоянии от нее θ₀. Тогда мощность тепла, передаваемого от стенки в окружающую среду, определяется выражением

где α – коэффициент теплоотдачи с единицей измерения 1 Вт/ºС·м². Здесь также можно ввести тепловую проводимость и тепловое сопротивление:

Рис. 21.2. Теплопередача конвекцией

Тогда закон Ома для теплового сопротивления имеет тот же вид:

Отметим, что в отличие от коэффициента теплопроводности λ, имеющего достаточно стабильное значение для определенного материала, коэффициент теплоотдачи α зависит от многих факторов: от формы тела, от расположения его в пространстве, от шероховатости поверхности, от размеров тела. Это связано с тем, что конвекция определяется движением газа или жидкости, которые нагреваются около горячего тела и изменяют свою плотность. Это движение подчиняется законам газодинамики или гидродинамики.

Различают свободную и принудительную конвекцию. Во втором случае используются вентиляторы или насосы для принудительного движения газа или жидкости. Имеется эмпирическая формула:

α = α₀(1 + kv),

где α₀ – коэффициент свободной теплоотдачи; k – постоянный коэффициент; v – скорость движения воздуха.

Третий вид теплопередачи – излучением наблюдается между двумя телами, разделенными прозрачной средой – твердой, жидкой или газообразной. Рассмотрим две стенки с одинаковой площадью S и с абсолютными температурами Т₁ и Т₂. Мощность, передаваемая от одной стенки к другой, определяется формулой

­

где k_ч – безразмерный коэффициент черноты поверхности, 0 < k_ч < 1; B – постоянная Больцмана. Постоянная Больцмана имеет единицу измерения Вт/ºК⁴м². Температура Т измеряется в градусах Кельвина и связана с температурой по Цельсию формулой:

Т = ­θ + 273.

Для тела невыпуклой формы берут площадь ее выпуклой оболочки.

Рис. 21.3. Теплопередача излучением между двумя стенками

При изменении температуры тела следует учитывать его теплоемкость С. Это тепловая энергия, которую надо сообщить телу, чтобы его температура увеличилась на один градус. Единица измерения теплоемкости 1 Дж/ºC. Удельной теплоемкостью с называется теплоемкость одного килограмма вещества. Она измеряется в 1 Дж/кгºC.

Рассмотрим процесс нагревания однородного тела, имеющего одинаковую удельную теплоемкость по всему объему и бесконечно большой коэффициент теплопроводности, так что все его точки имеют одинаковую температуру (см. рис. 21.4). Тело имеет теплоемкость С, температуру θ и мощность тепловыделения Р. Окружающая среда имеет температуру θ₀, а тепловое сопротивление между ней и телом равно R_θ.

Рис. 21.4. Нагревание однородного тела

За время от момента времени t до момента t + Δt в теле выделится энергия

Часть ее СΔθ пойдет на нагревание тела, а вторая часть (θ – θ₀)Δt/R_θ уйдет в окружающую среду. Запишем уравнение баланса энергии:

Отсюда получаем дифференциальное уравнение

Обозначив

получаем дифференциальное уравнение

(21.1)

Его решение имеет вид:

При начальном условии

получаем

График температуры показан на рис. 21.5.

Рис. 21.5. Процесс нагревания однородного тела

На рис. 21.6 показана электрическая схема замещения, соответствующая процессу нагревания однородного тела. Источнику тепла соответствует источ-

Рис. 21.6. Электрическая схема замещения теплового процесса

ник тока P. Температуре окружающей среды соответствует источник ЭДС θ₀. Теплоемкости С соответствует конденсатор с емкостью С, а тепловому сопротивлению – резистор с сопротивлением R_θ.