Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение).

Если траектория движения материальной точки представляет собой кривую линию, то такое движение мы будем называть криволинейным.

При таком движении Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru изменяется как по величине, так и по направлению. Следовательно, при криволинейном движении Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru .

Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной траектории (рис. 2.11). Вектор скорости движения в любой точке траектории направлен по касательной к ней. Пусть в точке M0 скорость Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru , а в точке М – Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru . При этом считаем, что промежуток времени Dt при переходе из точки М0 в точку М настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь.

Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru Вектор изменения скорости Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru . (В данном случае разность 2х векторов Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru и Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru будет равна Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru ). Разложим вектор Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru , который характеризует изменение скорости как по величине, так и по направлению на две составляющие Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru и Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru . Составляющая Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru , которая является касательной к траектории в точке М0,характеризует изменение скорости по величине за время Dt, в течение которого была пройдена дуга М0М и называется тангенциальной составляющей вектора изменения скорости ( Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru ). Вектор Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru , направленный в пределе, когда Dt ® 0, по радиусу к центру, характеризует изменение скорости по направлению и называется нормальной составляющей вектора изменения скорости ( Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru ).

Таким образом, вектор изменения скорости Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru равен сумме двух векторов Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru .

Тогда можно записать, что

Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru .

При бесконечном уменьшении Dt®0 угол Da при вершине DM0АС будет стремиться к нулю. Тогда вектором Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru можно пренебречь по сравнению с вектором Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru , а вектор

Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru

будет выражать тангенциальное ускорение и характеризовать быстроту изменения скорости движения по величине. Следовательно, тангенциальное ускорение численно равно производной от модуля скорости по времени Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru и направлено по касательной к траектории.

Вычислим теперь вектор Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru , называемый нормальным ускорением. При достаточно малом Dt участок криволинейной траектории можно считать частью окружности. В этом случае радиусы кривизны M0O и MO будут равны между собой и равны радиусу окружности R.

Повторим рисунок. ÐМ0ОМ = ÐМСD, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами (рис. 2. 12). При малом Dt можно считать |v0|=|v|, поэтому DМ0ОМ = DМDC подобны как равнобедренные треугольники с одинаковыми углами при вершине.

Поэтому из рис. 2.11 следует

Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru Þ Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru ,

но DS = vср.×Dt, тогда Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru .

Переходя к пределу при Dt ® 0 и учитывая, что при этом vср. = v находим

Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru , т.е. Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru (2.5)

Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru Т.к. при Dt ® 0 угол Da ® 0, то направление этого ускорения совпадает с направлением радиуса R кривизны или с направлением нормали к скорости Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru , т.е. вектор Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru . Поэтому это ускорение часто называют центростремительным. Оно характеризует быстроту изменения скорости движения по направлению.

Полное ускорение определяется векторной суммой тангенциального и нормального ускорений Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru (рис. 2.13). Т.к. вектора этих ускорений взаимно перпендикулярны Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru , то модуль полного ускорения равен Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru ; Направление полного ускорения определяется углом j между векторами Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru и Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru : Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение). - student2.ru

Наши рекомендации