Ускорение буксира при свободном движении 1 страница

;

Ускорение танкера при свободном движении

Если , то это совместное движение. Если же то буксир отстанет от танкера. Следовательно, условие потери контакта имеет вид:

Условие потери правого контакта при вращательном движении ротора

двигателя и объекта имеет вид:

.

Условие потери левого контакта:

.

При расчете переходных процессов в электроприводе с люфтом нужно при наличии контакта проверять на каждом шаге условие потери контакта. При отсутствии контакта надо проверять, не произошел ли контакт и какие скорости вращения будут после удара.

ЛЕКЦИЯ 16

Установившиеся и переходные процессы в электроприводах. Система уравнений динамики двигателя постоянного тока независимого возбуждения

Переходные процессы в электрических приводах.

Установившимся называется процесс, протекающий долго, не меняя своего характера. Переходным называется процесс между двумя установившимися режимами.

Рис. 16.1. Примеры установившихся процессов для тока

На рис. 16.1 приведены примеры установившихся процессов для электрического тока – постоянный ток, переменный (синусоидальный) ток и несинусоидальный периодический ток. Для электропривода под установившимся обычно понимается процесс вращения с постоянной скоростью либо периодические угловые колебания исполнительного механизма..

Переходные процессы связаны с механической, магнитной, электрической и тепловой инерцией. Кинетическая энергия движущегося линейно тела с массой m определяется выражением

При ограниченной мощности источника силы энергия является непрерывной функцией времени, откуда следует непрерывность скорости движения v.

Кинетическая энергия вращающегося в подшипниках тела с осевым моментом инерции J определяется выражением

При ограниченной мощности источника момента энергия является непрерывной функцией времени, откуда следует непрерывность угловой скорости ω. Это были случаи механической инерционности.

Энергия магнитного поля в катушке с индуктивностью L определяется выражением

При ограниченной мощности источника напряжения энергия является непрерывной функцией времени, откуда следует непрерывность тока катушки i_L. Это магнитная инерционность. Первый закон коммутации в электрических цепях гласит: в момент коммутации ток катушки не изменяется скачком или предел тока слева равен пределу справа по времени.

Энергия электрического поля в конденсаторе с емкостью С определяется выражением

При ограниченной мощности источника тока энергия является непрерывной функцией времени, откуда следует непрерывность напряжения конденсатора u_C. Это электрическая инерционность. Второй закон коммутации в электрических цепях гласит: в момент коммутации напряжение конденсатора не изменяется скачком, или предел напряжения слева равен пределу справа по времени.

Тепловая энергия в теле с теплоемкостью С определяется выражением

Q = Cθ.

При ограниченной мощности источника тепла тепловая энергия тела является непрерывной функцией времени, откуда следует непрерывность температуры тела θ. Это тепловая инерционность.

Если учитывается только магнитная инерционность, то переходный процесс называется электромагнитным. Если учитывается только механическая инерционность и влияние ЭДС вращения, то переходный процесс называется электромеханическим.

Уравнения динамики электропривода постоянного тока.

Рис. 16.2. Электропривод с двигателем постоянного

тока независимого возбуждения

Рассмотрим электропривод с двигателем постоянного тока независимого возбуждения (см. рис. 16.2). Якорь имеет активное сопротивление r_я, индуктивность L_я, ток i_я и напряжение u_я. Обмотка возбуждения имеет активное сопротивление r_в , число витков w_в , основной магнитный поток Ф, коэффициент рассеяния k_σ > 1, ток i_в и напряжение u_в . Исполнительный механизм имеет осевой момент инерции J, статический момент M_с и угловую скорость (частоту вращения) ω.

Уравнение баланса напряжений цепи якоря:

.

Уравнение баланса напряжений цепи возбуждения:

.

Уравнение механики:

.

Кривая намагничивания представляет собой зависимость основного магнитного потока от тока возбуждения (см. рис. 16.3):

.

Здесь видны три явления: насыщение, гистерезис и остаточный магнитный поток. При малом токе возбуждения кривая идет круто, а при большом токе – полого. При увеличении тока возбуждения точка на графике скользит по нижней ветви, а при уменьшении – по верхней. После выключения напряжения питания

Рис. 16.3. Кривая намагничивания двигателя постоянного тока

в магнитной системе двигателя наблюдается остаточный магнитный поток Ф_r .

В уравнении баланса напряжений цепи возбуждения записана производная от магнитного потока, поскольку он связан с током возбуждения нелинейной зависимостью (кривой намагничивания), и индуктивность как коэффициент пропорциональности между потокосцеплением и током обмотки возбуждения была бы переменной величиной.

Запишем уравнения в нормальной форме:

;

;

;

.

В процессе интегрирования системы уравнений магнитный поток Ф получает определенные значения, поэтому целесообразно обратить последнее уравнение. Уравнения в таком виде удобны для решения численным методом на компьютере.

Для получения единственного решения должны быть заданы начальные условия:

i_я(0) = i_я0;Ф(0) = Ф₀; ω(0) = ω₀.

Далее, следует задать интервал времени [0, t_f], на котором отыскивается решение системы уравнений. Наконец, должны быть заданы законы изменения напряжений u_я(t) u_в(t)на указанном интервале времени.

ЛЕКЦИЯ 17

Электромеханический и электромагнитный переходные процессы

в двигателе постоянного тока независимого возбуждения

Электромеханический переходной процесс.

Допустим, что напряжение возбуждения двигателя постоянного тока и магнитный поток постоянны, а индуктивность обмотки якоря мала:

u_в = const; Ф = const; L_я = 0.

Тогда мы получим уравнения:

, (17.1)

. (17.2)

Электромеханический переходный процесс наблюдается, когда индуктивность якоря L_я = 0 и магнитный поток считается постоянным. Выразим из уравнения (17.2) ток i_я:

.

Подставим полученное выражение для тока i_я в уравнение (17.1):

;

;

Предположим, что u_я = U₀ = const. Разделим левую и правую части на сФ:

.

Обозначим

= Т_эм; (Т_эм – электромеханическая постоянная времени);

; (ω₀ – скорость холостого хода);

Уравнение примет вид

, (17.3)

где .

Решение уравнения будем искать в виде суммы

.

Принужденная составляющая ω_п является решением того же уравнения в установившемся режиме. Его ищем по виду правой части. Если ω_п = const, то

.

Возьмем .

Свободная составляющая ω_с является решением однородного уравнения:

. (17.4)

Напишем характеристическое уравнение:

,

решением которого является

.

Если , то .

Рис. 17.1. Семейство решений дифференциального уравнения (17.3)

Общее решение уравнения (17.3) будет иметь вид:

Предположим, что , тогда

, откуда ,

.

На рис. 17.1 показано семейство решений дифференциального уравнения (17.3) тонкими линиями. Решение при нулевом начальном условии показано жирной линией.

Рис. 17.2. Свойства экспоненты

На рис. 17.2 показана экспонента. Через время Т_эм экспонента уменьшается в е = 2,71828 раз. За время 2Т_эм она уменьшится в е² раз. Через время 3Т_эм экспонента уменьшается приближенно в 20 раз, тогда считают, что переходной процесс заканчивается (остается 5 % от первоначального значения экспоненты).

Если в начале координат провести касательную к экспоненте, то она пересечет предельное значение ω_∞ в момент времени Т_эм. Если провести касательную к экспоненте в момент Т_эм, то она пересечет предельное значение ω_∞ в момент времени 2Т_эм, и т.д.

Электромагнитный переходной процесс.

Электромагнитный переходной процесс наблюдается, когда скорость вращения якоря постоянна или равна нулю, а индуктивность якоря L_я при этом

учитывается. Переходный процесс связан с магнитной инерционностью.

Предположим, что ω = 0, тогда справедливо уравнение

. (17.5)

Левую и правую части уравнения (17.5) поменяем местами и разделим на r_я . Тогда получим:

. (17.6)

Обозначим

( Т_э – электромагнитная постоянная времени);

Уравнение (17.6) принимает вид

. (17.7)

Будем искать решение уравнения (17.7) в виде

,

где принужденная составляющая i_п является решением того же уравнения в установившемся режиме. Если i_п = const, то . Возьмем i_п = i_∞.

Свободная составляющая i_с является решением однородного уравнения

. (17.8)

Напишем характеристическое уравнение

,

решение которого имеет вид

.

Тогда

, .

Возьмем i_я (0) = 0 , тогда

i_∞ + A = 0,

откуда следует

A = –i_∞;

График тока якоря приведен на рис. 17.3.

Рис. 17.3. Зависимость тока якоря от времени

при электромагнитном переходном процессе

За время переходного процесса можно принять величину 3 Т_э

ЛЕКЦИЯ 18

Совместное протекание электромагнитного и электромеханического

переходных процессов в двигателе постоянного тока независимого

возбуждения. Апериодический и колебательный процессы

Совместное протекание электромагнитного и электромеханического

переходных процессов в двигателе постоянного тока

независимого возбуждения.

Допустим, что в двигателе постоянного тока независимого возбуждения u_в = const; Ф = const, но индуктивность якоря учитывается.

Тогда мы получим систему уравнений:

; (18.1)

. (18.2)

Выразим из уравнения (18.2) ток i_я:

. (18.3)

Подставим полученное выражение (18.3) в уравнение (18.1):

;

.

Предположим, что u_я = U₀ = const. Разделим левую и правую части на сФ:

.

Обозначим

= Т_эм ( Т_эм – электромеханическая постоянная времени );

(T_э – электромагнитная постоянная времени);

; .

Уравнение примет вид

(18.4)

где .

Решение уравнения будем искать в виде суммы

,

Аналогично ток якоря определяется выражением

i_я = i_яп + i_яс.

Принужденная составляющая ω_п является решением того же уравнения в установившемся режиме. Ищем ω_п по виду правой части, которая здесь постоянна. Если ω_п = const, то .

Возьмем .

Согласно выражению (18.3) принужденная составляющая тока определяется равенством

Свободная составляющая ω_с является решением однородного уравнения:

. (18.5)

Напишем характеристическое уравнение:

решения которого имеют вид

Здесь возможны три случая. Если корни вещественные и различные или кратные, то переходный процесс будет апериодическим, т.е. без колебаний. Если же корни комплексно-сопряженные, то переходный процесс имеет колебательный характер и в зависимости от декремента колебаний имеет ту или иную скорость затухания колебаний.

Апериодический переходный процесс

I. Предположим, что T_эм > 4T_э. Тогда имеем два различных вещественных отрицательных корня:

p₂ < p₁ < 0.

Свободные составляющие частоты вращения и тока якоря имеют вид:

Получаем формулы для частоты вращения и тока якоря:

Постоянные величины A₁, A₂, B₁, B₂ можно найти по начальным условиям для частоты вращения ω(0) и для тока i_я(0) с учетом уравнения механики

.

Графики частоты вращения и тока якоря для случая нулевых начальных условий и отсутствия статического момента приведены на рис. 18.1.

Рис. 18.1. Графики частоты вращения и тока якоря при вещественных корнях

Видно, что ток увеличивается от нуля до максимального значения и затем плавно уменьшается до нуля. Скорость вращения возрастает от нуля до скорости холостого хода. В момент времени, когда ток максимален, ускорение и крутизна кривой скорости тоже максимальны. В начальный момент угловое ускорение равно нулю, касательная к кривой скорости проходит горизонтально.

На рис. 18.2 показаны графики тока якоря и скорости вращения при наличии статического момента. Видно, что ток увеличивается от нуля до максимального значения и затем плавно уменьшается до установившегося значения. Скорость вращения возрастает от нуля до установившейся скорости. В момент времени, когда ток максимален, ускорение и крутизна кривой скорости тоже максимальны. В начальный момент угловое ускорение отрицательное, касательная к кривой скорости имеет отрицательный наклон.

Рис. 18.2. Графики частоты вращения и тока якоря

при вещественных корнях и наличии статического момента

II. Предположим, что T_эм=4T_э. Тогда имеем два одинаковых вещественных отрицательных корня:

p₁= p₂ < 0.

Свободные составляющие частоты вращения и тока якоря имеют вид:

Получаем формулы для частоты вращения и тока якоря:

Постоянные величины A₁, A₂, B₁, B₂ можно найти по начальным условиям с учетом уравнения механики.

Графики частоты вращения и тока якоря похожи на первый случай.

Колебательный переходный процесс

III. Предположим, что T_эм < 4T_э. Тогда имеем два комплексно сопряженных корня:

Свободные составляющие частоты вращения и тока якоря имеют вид:

Получаем формулы для частоты вращения и тока якоря:

Постоянные величины A, α, B, β можно найти по начальным условиям:

ω(0) = ω₀; i_я(0) = i_я0.

с учетом уравнения механики

.

Графики частоты вращения и тока якоря при комплексных корнях характеристического уравнения, при нулевых начальных условиях и отсутствии статического момента приведены на рис. 18.3.

В зависимости от соотношения между вещественной и мнимой частями корней характеристического уравнения график свободной составляющей может иметь разную форму. Декрементом колебаний Δ называется отношение двух последующих амплитуд одного знака, а логарифмическим декрементом колебаний – натуральный логарифм от декремента:

Рис. 18.2. Графики частоты вращения и тока якоря при комплексных корнях

Период синусоиды sin Ωt

Т = 2π/Ω,

а декремент и логарифмический декремент имеют значения

Например, если Ω = 2πσ, то последующая положительная амплитуда меньше предыдущей в е = 2,71828 раз.

Отметим, что динамический выброс при единичном входном воздействии определяется равенством

Эта формула объясняется тем, что отношение двух соседних амплитуд разных знаков равно корню квадратному из декремента колебаний

ЛЕКЦИЯ 19

Метод последовательных интервалов. Включение обмотки возбуждения.

Пуск двигателя постоянного тока последовательного возбуждения

и трехфазного асинхронного двигателя

Метод последовательных интервалов

Для решения нелинейных дифференциальных уравнений на ЭВМ в настоящее время применяются эффективные численные методы. Для понимания сущности численного метода часто приводят его геометрическую интерпретацию, дающую наглядное представление о методе..

Одним из простейших является метод Эйлера, или метод последовательных интервалов. Его сущность заключается в том, что при выполнении шага по времени приращение функции заменяется ее дифференциалом, или главной линейной частью приращения. Если функция непрерывно дифференцируема несколько раз, то справедливо равенство

В методе Эйлера полагается

Пусть решается дифференциальное уравнение

с начальным условием

x(0) = x₀.

Значение функции в момент времени Δt найдем по формуле

Значение функции в момент времени 2Δt найдем по формуле

и т.д. В результате график процесса представляет ломаную линию, походящую через найденные точки.

Включение обмотки возбуждения

Рассмотрим переходный процесс при включения обмотки возбуждения двигателя постоянного тока на постоянное напряжение. Уравнение баланса напряжений имеет вид:

или

Тогда при переходе от времени t ко времени t + Δt согласно методу Эйлера магнитный поток получит приращение

Видно, что это приращение пропорционально разности между установившимся и текущим значениями тока возбуждения.

Сущность метода поясняет рис. 19.1.

Рис. 19.1. Построение переходного процесса при включении обмотки возбуждения

Слева расположена кривая намагничивания Ф = f(i_в). При нулевом токе возбуждения имеется остаточный поток Ф_r. Вертикальная штриховая линия проведена на уровне установившегося тока возбуждения i_в∞. Справа расположена система координат (t, Ф). На оси времени t отложены отрезки Δt, 2Δt, 3Δt,

… . Влево от начала координат отложен отрезок длиной h.