Рівняння з відокремлюваними змінними

Означення. Диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними називається рівняння вигляду

(4.1)

Порівняно із загальним виглядом рівняння першого порядку маємо

. Далі маємо , або

(4.2)

Якщо вважати функцією від , то маємо рівняння двох диференціалів, тому їх первісні відрізняються на довільну сталу. Інтегруючи рівність (4.2), одержимо загальний інтеграл диференціального рівняння

(4.3)

Зауваження. Диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними можна подати у вигляді

, де . Тепер маємо .Це рівняння з відокремленими змінними. Інтегруючи, знайдемо загальний інтеграл диференціального рівняння.

Приклад. Знайти частинний розв`язок рівняння

Зробимо перетворення

і відокремимо змінні (поділивши обидві частини рівняння на ):

зінтегрувавши рівняння, одержимо

,

або

Визначимо з початкових умов довільну сталу:

а потім, підставивши знайдене значення довільної сталої у загальний інтеграл, знайдемо шуканий частинний інтеграл

або

Однорідні рівняння першого порядку.

Означення 1. Функція називається однорідною функцією -го виміру, якщо для будь-якого має місце тотожність

Приклади. Функція - однорідна функція виміру , тому що

Функція - однорідна функція нульового виміру, тому що

Означення 2. Диференціальне рівняння першого порядку

(5.1)

називається однорідним, якщо функція є однорідною функцією нульового виміру.

Розв`язання однорідного рівняння. Однорідна функція нульового виміру залежить лише від відношення змінних, бо і якщо покласти , то . Позначимо . Тоді рівняння (5.1) набуває вигляду

(5.2)

Зробимо підстановку або . Тоді маємо . Підставимо значення похідної в (5.2) і одержимо або .

Ми одержали рівняння з відокремлюваними змінними. Вважаємо, що , і відокремлюємо змінні звідки . Підставимо після інтегрування замість і знайдемо загальний інтеграл диференціального рівняння.

Зауваження. Рівняння є однорідним, якщо функції і є однорідними функціями одного виміру.

Приклад. Розв`язати рівняння ,

Це рівняння є однорідним тому, що - однорідна функція нульового виміру: - однорідна функція нульового виміру:

. Покладемо . Тоді після підстановки у рівняння, одержимо рівняння з відокремлюваними змінними:

або .

Відокремлюючи змінні, знаходимо

або .

Зінтегрувавши, одержимо

або .

Підставивши , отримаємо

, або , або .

Знаходимо шуканий частинний розв`язок з початкових умов

, звідки або . Підставимо у загальний розв`язок і добудемо шуканий частинний розв`язок, який задовольняє початковим умовам: