Механічні коливання і хвилі. Елементи акустики

Гармонічне коливання описується законом: або , де – значення величини, що здійснює коливання, у даний момент часу , – амплітуда коливань, – фаза коливань, – циклічна частота ( , – період), – початкова фаза коливань.

У подальших формулах використовується закон косинуса.

Швидкість коливального руху:

.

Прискорення коливального руху:

.

Кінетична енергія коливальної системи:

.

Потенціальна енергія коливальної системи:

.

Повна енергія коливальної системи:

.

Додавання двох гармонічних коливань однакового напрямку з однаковими частотами:

а) амплітуда результуючого коливання: ;

б) початкова фаза результуючого коливання: ;

Рівняння траєкторії точки, що одночасно бере участь у двох коливаннях однакової частоти, напрями яких є взаємно перпендикулярними:

.

Вільні коливання простих коливальних систем описуються диференціальним рівнянням: .

Періоди гармонічних коливань простих коливальних систем:

а) пружинний маятник з коефіцієнтом жорсткості і масою : ;

б) математичний маятник завдовжки : ;

в) фізичний маятник з моментом інерції відносно вісі коливань і відстанню від центра мас тіла до точки підвісу: ;

г) крутильний маятник з моментом інерції відносно вісі коливань і модулем кручення : .

Диференціальне рівняння згасаючих коливань: , його розв’язок (для ) , де – коефіцієнт згасання, – циклічна частота згасаючих коливань ( ).

Коефіцієнт згасання: , де r – коефіцієнт опору.

Логарифмічний декремент згасання: .

Добротність коливальної системи: .

Диференціальне рівняння вимушених коливань: , де – амплітуда зовнішньої сили. Рівняння руху: , де – зсув фаз між силою і зміщенням.

Амплітуда вимушених коливань: .

Резонансна частота: .

Резонансна амплітуда: .

Рівняння плоскої стаціонарної хвилі: , де – хвильове число, ; тут – довжина хвилі, – фазова швидкість поширення хвилі, .

Фазова швидкість поздовжніх пружних хвиль у твердих тілах:

,

де – модуль Юнга, – густина середовища.

Фазова швидкість поширених хвиль у твердих тілах:

,

де – модуль зсуву.

Швидкість зсуву в ідеальних газах (формула Лапласа):

,

де – показник адіабати ( ); – універсальна газова стала, –температура, – молярна маса газу, і – тиск і густина газу.

Швидкість поперечних хвиль у струмі:

,

де – сила натягу струни; – густина матеріалу струни, – площа її поперечного перерізу.

Рівень гучності у децибелах (дБ):

,

де – інтенсивність звуку; – поріг гучності ( ).

Згасання хвилі у децибелах

.

Акустичний ефект Доплера

,

де – частота, що реєструє приймач, – частота, що випромінює джерело, – швидкість звуку, і – відповідно швидкості приймача і джерела звуку відносно середовища, в якому поширюються звукові хвилі. Верхні знаки беруть у разі зближення джерела приймача, нижні – віддалення.