Нормальное и тангенциальное ускорения при криволи-нейном движении
В общем случае при движении тела его скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Для характеристики быстроты
| изменения скорости | движения | вводится | υτ | D B | r | ||||||
| понятие ускорения. | |||||||||||
| υC | υt | ||||||||||
| Рассмотрим плоское движение, т. е. | S | ||||||||||
| такое, при котором все участки траектории A | |||||||||||
| r | |||||||||||
| точкиr | лежат в одной плоскости. Пусть век- | υ | Δυ | ||||||||
| тор υ | задает скорость точки А в момент | n | E | ||||||||
| времени t. За время | t движущаяся точка | ||||||||||
| перешла в положение В и приобрела ско- | |||||||||||
| рость, отличную от υ как по модулю, так и | O | ||||||||||
| r | r r | ||||||||||
| направлению и равную υ1 | = υ+ Δυ . Перене- | Рис. 1.4.1 | |||||||||
| r | υ (рис.). | ||||||||||
| сем вектор υ1 в точку А и найдем | |||||||||||
| Средним ускорением аrср | неравномерного движения в интервале вре- | ||||||||||
 мени от t до t+ t называется векторная величина, равная отношению | |||||||||||
| r | t: | ||||||||||
| изменения скорости Δυ к интервалу времени | |||||||||||
| аrср= | υ . | (1.4.1) | |||||||||
| t | |||||||||||
Ускорение в данный момент времени (мгновенное ускорение) представляет собой предел, к которому стремится выражение (1.4.1) при t → 0 , т. е.
| r | r | Δυ | r | r | ||||||
| = lim | = | d υ | = | d 2r | . | |||||
| a | = lim a | dt | dt | dt2 | ||||||
| t →0 | ср | t →0 |
Таким образом, ускорение есть векторная величина, производной скорости по времени.
(1.4.2)
равная первой
Разложим вектор Δυr на две составляющие. Для этого из точки А uuur
| (рис. 1.4.1) по направлению скорости υ отложим вектор | AD ,по мо- | |||
| r | uur | r | ||
| дулю равный υ1 . Очевидно, что вектор | CD | , равный Δυτ , определяет | ||
| изменение скорости по модулю за время | t:Δυτ= υ1− υ.Вторая же со- | |||
| ставляющая Δυn вектора υ характеризует изменение | скорости за | |||
| время t no направлению. | ||||
| Тангенциальная составляющая ускорения | ||||
| aτ=lim | υτ = dυτ | , | (1.4.3) | |
| t →0 | t | dt |
т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, опре-деляя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.
Определим вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В близка к точке А, поэтому s можно считать дугой окружно-сти некоторого радиуса r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из
| подобия треугольников АОВ и ЕАD следует Δυn/АВ=υ1/r, но так как | |||||
| АВ=υΔt,тоΔυn/ | t=υυ1/r.В пределе при t→0,получим | r | r | ||
| υ1 | →υ. | ||||
| Поскольку | r | r | а так как тре- | ||
| υ1 | →υ, угол ЕАD стремится к нулю, | ||||
| угольник ЕАD равнобедренный, то угол АDE между υ и | r | ||||
| Δυn стремит- | |||||
| r | оказываются | ||||
| ся к прямому. Следовательно, при t→0 векторы υ и Δυn |
взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор Δυrn , перпендикулярный вектору
скорости , направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ус-корения, равная
| a | = lim | Δυ | n = | υ2 | . | (1.4.4) | ||
| n | ||||||||
| t →0 | t | r | ||||||
называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны. Поэтому эту составляю-
щую ускорения называют также центростремительным ускорением.
Таким образом, полное ускорение тела a есть геометрическая сумма тангенциальной arτ и нормальной an составляющих
| a = arτ+ arn , | (1.4.5) |
Тангенциальное ускорение равно первой производной по време-ни от модуля скорости и определяет быстроту изменения скорости по модулю, и направлено по касательной к траектории.
Нормальное ускорение определяет быстроту изменения скоро-сти по направлению и rнаправлено к центру кривизны траектории.
Векторы aτ и an взаимно перпендикулярны поэтому модуль полного ускорения равен
| a = | a | = | = | d υ2 | υ 2 | 2 | (1.4.6) | |||||||
| a τ | + an | + | . | |||||||||||
| dt | R |
