Ускорение как 2-ая производная по времени радиуса-вектора и углового перемещения. Нормальное и касательное (тангенциальное) ускорения. Связь линейных и угловых характеристик

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

а) Поступательное движение.

Рассмотрим плоское движение,т.е. такое, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор задает скорость точки А в момент времени t. За время движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от как по модулю, так и направлению и равную . Перенесем вектор в точку А и найдем (рис.1.6).

Средним ускорениемнеравномерного движения в интервале от t до называется векторная величина, равная отношению изменения скорости к интервалу времени :

(1.4.1).

Мгновенным ускорением (ускорением) материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

. (1.4.2)

Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

В системе СИ ускорение измеряется в м/с².

Разложим вектор на две составляющие. Для этого из точки А (рис.1.6) по направлению скорости отложим вектор AD, по модулю равный . Очевидно, что вектор CD, равный , определяет изменение скорости по модулюза время . Вторая же составляющая вектора характеризует изменение скорости за время по направлению.

Тангенциальная составляющая ускорения (тангенциальное или касательное ускорение) равная первой производной по времени от модуля скорости, определяет быстроту изменения скорости по модулю.

. (1.4.3)

Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому можно считать дугой окружности некоторого радиуса R, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует , но так как , то

.

В пределе при получим .

Поскольку , угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобедренный, то угол ADE между стремится к прямому. Следовательно, при векторы и оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор , перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны.

Вторая составляющая ускорения, равная

, (1.4.4)

называется нормальной составляющей ускорения (нормальным ускорением)и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис.1.7):

. (1.4.5)

Или в скалярном виде: . (1.4.6)

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения - быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

б) Вращательное движение.

Угловым ускорениемназывается векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

.

Единицы измерения углового ускорения – рад/с².

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис.1.8), при замедленном – направлен противоположно ему (рис.1.9).

Тангенциальная составляющая ускорения , и, следовательно, . (1.4.7)

Нормальная составляющая ускорения

. (1.4.8)

Таким образом, связь между линейными (длина пути S, линейная скорость v, тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота , угловая скорость , угловое ускорение ) выражается следующими формулами:

, , , .