Причини появи похибок обчислень та їх класифікація

Аналіз похибок у числовому результаті має бути неодмінною складовою частиною будь-якого серйозного обчислення, незалежно від того, виконується це обчислення вручну чи за допомогою ЕОМ. Вихідна інформація дуже рідко є точною, оскільки часто вихідні величини є експериментальними даними або основані на наближених оцінках. Крім того самі процеси обчислень можуть вносити в остаточний результат різного роду похибки.

В умовах використання ЕОМ числові методи виступають як потужний математичний засіб вирішення практичних задач. При цьому важливо мати на увазі, що фактор використання ЕОМ не спрощує, а в деякому сенсі навіть ускладнює вирішення питань оцінки точності одержуваних результатів (з причини різкого зростання кількості виконуваних операцій). Суть виникаючих тут проблем помічена у відомому принципі Пітера "ЕОМ багаторазово збільшує некомпетентність обчислювача". З цього дотепного зауваження випливає, що, використовуючи для вирішення задачі ЕОМ, обчислювач не так повинен покладатися на могутність обчислювальної техніки, скільки пам'ятати про необхідність розуміння того, що в кінцевому підсумку він отримає на виході.

На загальну похибку рішення задачі, як це вже зазначалося, впливає цілий ряд факторів. Відзначимо основні з них, користуючись розглядом загального ходу рішення задачі – від побудови математичної моделі до виконання.

Розглянемо джерела та класифікація похибок:

1. Похибка, пов’язана з самою постановкою задачі (похибка постановки задачі).

2. Похибка методу.

3. Похибка, пов’язана з обриванням нескінченних процесів (наприклад, ряду). Називається залишковою похибкою.

4. Похибка даних, які можуть бути визначені лише наближено. Називається початковою похибкою.

5. Похибка округлення.

6. Похибка дій над наближеними числами.

Отже, на загальну похибку рішення задачі впливає цілий ряд факторів. Відзначимо основні з них, користуючись розглядом загального ходу рішення задачі – від побудови математичної моделі до виконання.

Нехай R – точне значення результату деякої задачі. Через невідповідність побудованої математичної моделі реальній ситуації, а також з причини неточності початкових даних замість R буде отриманий результат, який позначимо R₁. Новоутворена таким чином похибка вже не буде усунена в ході подальших обчислень (так звана неусувна похибка).

Приступивши до розв’язання задачі в рамках математичної моделі, обирають наближений (наприклад, числовий) метод і, ще не приступаючи до обчислень, допускають нову похибку, що приводить до отримання результату R₂ (замість R₁). Похибку називають похибкою методу.

І, нарешті, неминучість округлення призводить до результату R₃, що відрізняється від R₂ на величину обчислювальної похибки .

Повна похибка e, очевидно, виходить як сума всіх похибок:

Якщо замість похибок e₁, e₂ і e₃ вдається отримати лише їх абсолютні верхні оцінки Δ₁, Δ₂, Δ₃, то доводиться задовольнятися оціночним поданням загальної похибки:

При вирішенні конкретних задач ті чи інші види похибок можуть або бути відсутніми зовсім, або впливати на остаточний результат незначно. Проте для вичерпного уявлення про точність остаточного результату в кожному випадку необхідний повний аналіз похибок усіх видів. Це повною мірою відноситься і до неусувної похибки – похибки математичної моделі. Маючи недосконалу математичну модель, обчислювач все-таки повинен будь-яким способом скласти уявлення про величину неусувної похибки. Зрозуміло, що в умовах занадто грубої моделі не мало б сенсу наводити уточнений аналіз обчислювальних помилок. Звідси випливає, що оцінка величини неусувної похибки може послужити зручним приводом для пониження вимог до точності наступних обчислень.

Таким чином, аналіз похибок в числовому результаті повинен бути неодмінною складовою частиною будь-якого серйозного обчислення, незалежно від того, проводиться це обчислення вручну або за допомогою ЕОМ. Вихідна інформація дуже рідко є точною, оскільки часто вихідні величини є експериментальними даними або засновані на наближених оцінках. Крім того, самі процеси обчислень можуть вносити в результат різного роду похибки. Тому, перш ніж почати систематичне вивчення похибок, переконаємося на кількох прикладах у важливості такого систематичного вивчення.

Знайдемо один з коренів рівняння , використовуючи обчислення з точністю до 4-ї значущої цифри. Застосуємо відому формулу

отримаємо відповідь –0,00015. Однак обмеження точності обчислень чотирма значущими цифрами призводить до того, що результат має похибку 25%. Правильний корінь, знайдений при обчисленнях з вісьмома значущими цифрами, дорівнює –0,0002.