Краткие теоретические сведения. 1) Расчет момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления

1) Расчет момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления.

Для расчета движения механической системы маятник-груз применим уравнение динамики поступательного движения для груза, закрепленного на нити, и уравнение динамики вращательного движения для маятника.

Груз массой движется с ускорением под действием результирующей сил тяжести и силы натяжения нити (рис. 2). Запишем для груза второй закон Ньютона в проекции на направление движения:

. (1)

Рис. 2

Сила натяжения передается нитью от груза к шкиву вращающегося маятника. Если предположить, что нить невесомая, то на шкив маятника действует сила , равная по величине и противоположная ей по направлению (следствие третьего закона Ньютона: ). Сила натяжения создает вращательный момент относительно горизонтальной оси , направленной вдоль этой оси «от нас» и приводящей в движение маятник Обербека. Величина этого момента равна . Здесь - радиус шкива, на который намотана нить, , где - диаметр шкива. Момент силы сопротивления относительно вращения направлен в противоположную сторону («к нам»).

Запишем для основной закон динамики вращательного движения:

,

где - результирующий момент сил, - момент инерции маятника, - угловое ускорение. В скалярной форме это уравнение имеет вид (записаны проекции векторов моментов сил и углового ускорения на ось вращения , направление которой выбрано «от нас»)

. (2)

Используя кинематическую связь линейного и углового ускорения , а также уравнение движения груза при нулевой начальной скорости , выразим через измеряемые величины и :

. (3)

Решим систему уравнений (1) и (2), для чего умножим (1) на и сложим с (2):

.

Выражаем момент инерции маятника Обербека:

. (4)

Все величины, кроме , входящие в это уравнение, известны. Поставим задачу экспериментального определения .

Пусть - момент инерции маятника Обербека без грузов. Из (4) следует, что

.

В условиях эксперимента , что позволяет считать зависимость линейной. Эту зависимость можно использовать для экспериментальной оценки величины . Действительно, если полученную экспериментально зависимость экстраполировать до пересечения с осью абсцисс, т.е. до точки на этой оси, для которой выполняется равенство , то это позволяет определить как

. (6)

Для определения момента инерции маятника воспользуемся (4), где величина предварительно определена из измерений и формулы (6). Подставив выражение из (3) и из (6) в (4), получим рабочую формулу для определения момента инерции маятника

.

Для используемого в работе маятника Обербека справедливо неравенство . Учитывая это, получаем:

.

Для расчетов удобно представить момент инерции в виде:

, (7)

где .

2) Зависимость момента инерции маятника от расстояния грузов до оси вращения

Момент инерции маятника Обербека может быть представлен как сумма моментов инерции барабана со стержнями ( ) и моментов инерции четырех грузов массой , закрепленных на расстояниях от оси вращения ( ). Если размеры этих грузиков малы по сравнению с , то их можно считать материальными точками. Для материальной точки момент инерции равен . Тогда момент инерции маятника

. (8)

Эту зависимость момента инерции от расстояния грузов до оси вращения предполагается проверить, используя результаты, полученные по формуле (7). Значение можно взять из данных эксперимента для определения момента инерции маятника Обербека без грузов, считая, что момент сил сопротивления остается постоянным.

Задание к работе

1. Получите допуск к выполнению лабораторной работы у преподавателя.

2. Приступив к работе, снимите грузы со стержней, если они там находятся.

3. Заранее выберите отметку (например, 50 см), от которой начнется движение груза .

4. Вращая маятник рукой, намотайте нить на шкив большего диаметра, следя, чтобы груз достиг выбранного положения.

5. Включите электронный секундомер.

6. Проведите первый опыт, используя в качестве груза, тянущего нить, только одну подставку массой без подгрузков. Предварительно нажатием кнопки «Режим» установите режим № 1 (светится индикатор «Реж. 1»). Затем нажмите кнопку «Пуск». При этом отключится тормозное устройство, удерживающее маятник, и одновременно включится секундомер. При включенном режиме № 1 секундомер в момент прохождения грузом нижней точки автоматически остановиться, причем одновременно сработает тормозное устройство. Внесите результаты первого опыта в таблицу измерений.

7. Проведите по одному опыту, поместив на подставку сначала один, а затем сразу два подгрузка. Результаты внесите в таблицу измерений. По формуле (3) рассчитайте величину углового ускорения для соответствующих значений .

8. Постройте зависимость по методу наименьших квадратов. Определите из графика по точке его пересечения с осью абсцисс значение , при котором . Рассчитайте по формуле (6) величину момента сил сопротивления .

9. Проведите прямые пятикратные измерения времени опускания груза для заданного расстояния .

10. Рассчитайте среднее время и определите абсолютную погрешность измерения при доверительной вероятности .

11. Вычислите по формуле (7) среднее значение момента инерции барабана со стержнями .

12. Определите абсолютную погрешность косвенных измерений этого момента инерции и запишите результаты в виде .

13. Закрепив грузы на стержнях маятника на равном расстоянии от оси вращения, определите это расстояние, используя деления, нанесенные на стержни.

14. Проведите однократные измерения времени опускания груза массы (выберите одно значение) для одной высоты падения при трех различных расстояниях от оси вращения.

15. Вычислите моменты инерции маятника с грузами на стержнях по формуле (7) при различных расстояниях . При этом, как показали предварительные опыты, можно с допустимой точностью использовать в качестве величины ее значение, найденное раннее для крестовины без грузов на спицах. Сравните полученные данные со значениями момента инерции, вычисленными по формуле (8) для соответствующих значений . Результаты вычислений занесите в таблицу измерений.

Примечание

· Масса каждого груза, закрепляемого на спице г;

· Масса груза подставки г;

· Масса каждого подгрузка г;

· Диаметр большого шкива мм;

· Диаметр малого шкива мм;

· Диаметр цилиндра, в который ввинчиваются спицы мм;

· Расстояние между рисками на спицах мм;

· Диаметр груза на спицах мм;

· Масса спицы г;

· Масса барабана без спиц г;

· Ускорение свободного падения м/с²;

Контрольные вопросы

1. Какова цель данной работы?

2. Раскройте понятие «момент инерции». В чем его физический смысл?

3. Как можно изменить момент инерции маятника Обербека?

4. Исходя из уравнений динамики поступательного и вращательного движений, выведите рабочую формулу (7).

5. В каком случае движение маятника является равноускоренным?

6. Как измерить расстояние от оси вращения до центров грузов, закрепленных на стержнях?

7. Каким образом в данной работе подтверждается линейная зависимость

момента инерции от квадрата расстояния тел до оси вращения?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Трофимова, Т.И. Курс физики: учебное пособие для вузов [Текст] / Т.И. Трофимова. - М.: Академия, 2007. – 560 с.

2. Детлаф, Д.А. Курс физики [Текст] / Д.А. Детлаф. - М.: Высшая школа, 1989. - 432 с.

3. Савельев, И.В. Курс общей физики: В 3-х т. Том I. Механика, колебания и волны, молекулярная физика [Текст] / И.В. Савельев. - М.: Наука, 1977. – 511 с.

4. Кассандрова, О.Н. Обработка результатов измерений [Текст] / О.Н. Кассандрова, В.В. Лебедев. – М.: Наука, 1970. – 140 с.

Учебное издание

Магазев Алексей Анатольевич

Михеев Виталий Викторович

МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Часть 1

Ответственный за выпуск: И.А. Кибанова

Ответственный редактор: В.А. Филатова

Подписано в печать _________

Формат 60х80/16. Бумага ксероксная

Гарнитура Times New Roman

Оперативный способ печати

Усл.п.л. 1, уч.-изд.л. 1

Тираж ___ экз. Заказ № ___

Цена договорная

ОИВТ (филиал) ФГОУ ВПО «НГАВТ»

644099, г. Омск, ул. И.Алексеева, 4

Отпечатано в ООО «ТЕХНОТРАНС»

644012, г. Омск, ул. 9 Дунайская, 20