Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Методы определения везкости

1) Метод Стоксаоснован на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы.

2) Метод Пуазейляоснован на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре.

16) Потенциальное поле сил. Поле сил тяготения. Космические скорости

Если взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей , характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, — консервативными.

Гравитационное поле порождается телами и является формой существования материи. Основное свойство поля тяготения заключается в том, что на всякое тело массой т, внесенное в это поле, действует сила тяготения

Первой космической (иликруговой) скоростью v₁ называют такую минимальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, т. е. превратиться в искусственный спутник Земли.

Второй космической (или параболической) скоростью v₂ называют ту наименьшую скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и превратиться в спутник Солнца

Третьей космической скоростью v₃ называют скорость, которую необходимо сооб­щить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца. Третья космическая скорость v₃=16,7 км/с.

17) Преобразования Галлилея

Уравнение можно записать в проекциях на оси координат:

В частном случае, когда система К' движется со скоростью т вдоль положительного направления оси х системы К (в начальный момент времени оси координат совпадают), преобразования координат Галилея имеют вид

18) Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца.

I. Принцип относительности: никакие опыты (механические, электрические, оптичес­кие), проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной систе­мы отсчета к другой.

П. Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Преобразования Лоренца

19) Основное соотношение релятивистской динамики

Масса движущихся релятивистских частиц зависит от их скорости:

(39.1)

где m₀ — масса покоя частицы, т. е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой частица находится в покое; с — скорость света в ваку­уме; т — масса частицы в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v. Следовательно, масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчета.

Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид

где

— релятивистский импульс материальной точки.

20) Колебания. Гармонические колебания.

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются опреде­ленной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электро­магнитные и др.

Колебания называютсясвободными (илисобственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воз­действий на колебательную систему (систему, совершающую колебания).

Гармонические колебания — колебания, при которых колеб­лющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса).

дифференциальное уравнение гармонических колебаний

21) Метод векторных диаграмм.

из произвольной точ­ки О, выбранной на оси х, под углом j, равным начальной фазе колебания, откладыва­ется вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью w₀, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от –А до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s=A cos (w₀t+j). Таким образом, гармоническое колебание мож­но представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амп­литуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом j, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью w₀ вокруг этой точки.

22) Энергия материальной точки. Маятники.

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармони­ческие колебания, равна

Потенциальная энергияматериальной точки, совершающей гармонические колеба­ния под действием упругой силы F, равна

получим формулу дляполной энергии:

Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справе­длив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описыва­емые уравнением вида

1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы . -потенциальная энергия

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеб­лющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

23) Разложения Фурье. Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты Линейно, циркулярно поляризованные колебания. Фигуры Лиссажу.

Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

Линейно-поляризованные колебания

Циркулярно-поляризованные - по кругу. Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания прочерчиваемая точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу

Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний.

24) Затухающие колебания

Затухающие колебания – колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебанийлинейной системы задается в виде

где s – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, d=const — коэффициент затухания, w₀ — циклическая частота свободных незатуха­ющих колебаний той же колебательной системы, т. е. при d=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.

Декремент затухания

25) Добротность колебательной системы. Примеры свободных затухающих колебаний.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятиемдобротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

Применимы для колебаний механических (в качестве примера рассмотрим пружинный маятник) Q= /r. и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический колебательный контур).

26) Вынужденные колебания. Резонанс.

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическимии вынужденными электромагнитными колебаниями.