Обработка результатов наблюдений

Погрешность измерения - это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величина. Если X- истинное значение измеряемой величины, а Хn- результат измерения, то разность DX=Xn-X называется абсолютной, а отношение d=D Х/Х- относительной погрешностью измерения.

Приведенная погрешность g=D /ХN ,где ХN нормирующее значение равное конечному значению диапазона измерений если нулевая отметка находится на краю или вне шкалы.

По характеру проявления погрешности делятся на четыре группы: систематические, случайные, промахи и грубые погрешности.

Систематическая погрешность измерения - это погрешность, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические погрешности могут быть исключены введением поправок, изучением условий опыта и измерительной аппаратуры, применением соответствующих приемов.

Случайная погрешность измерения - это погрешность, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Случайная погрешность вызывается большим количеством причин, характер и степень влияния которых на измеряемую величину нельзя определить. Присутствие этих погрешностей обнаруживается в том, что при повторении измерений одной и той же величины в одинаковых условиях с одинаковой тщательностью получают результаты, несколько отличающиеся по значению. Величина этих погрешностей по природе их возникновения при единичном измерении не может быть определена. Однако путем выполнения многократных наблюдений и обработки их результатов методами статистики можно оценить эти погрешности.

Промахи являются следствием неправильных действий экспериментатора или внезапного отказа приборов. Наблюдения, содержащие промахи, должны быть отброшены.

Грубой погрешностью называется погрешность, существенно превышающая погрешность, оправданную условиями измерения, свойствами применяемых средств измерений, методом измерений, квалификацией экспериментатора. Грубые погрешности при статистических измерениях обнаруживаются статистическими методами и обычно исключаются из рассмотрения.

Таким образом, в общем случае погрешность измерения может быть представлена в следующем виде: D=D_c+Dсл, где D_c- систематическая погрешность, Dсл случайная погрешность измерения.

Характеристикой случайных погрешностей является закон распределения их вероятностей. Чаще других встречается нормальный закон распределения погрешностей. Основной параметр распределения случайных погрешностей - среднее квадратичеокое отклонение /СКО/ результата измерений s.

Случайную погрешность исключить нельзя, так как неизвестно, какое конкретное значение она приняла при данном измерении. Для оценки влияния случайной погрешности на результат измерения задаются погрешностями D1 и D2 и находят вероятность того, что измеряемая величина Х заключена между (Х-D₁) и (Х+D₂). Интервал /Х-D₁; Х+D₂/ называется доверительным, а вероятность того, что X находится внутри этого интервала - доверительной вероятностью Р.

Вследствие наличия в отдельных наблюдениях случайных погрешностей невозможно определить истинное значение измеряемой величины даже при наличии нескольких наблюдений, поэтому принимают вместо него некоторое значение, максимально приближающееся к истинному значению.

Наиболее достоверным значением измеряемой величины на основании большого ряда заслуживающих одинакового доверия наблюдений является арифметическое среднее из полученных результатов наблюдений / математическое ожидание случайной величины /:

.

СКО арифметического среднего определяется по формуле:

где: Х_i - результат i-го измерения; n- количество измерений.

При нормальном законе распределения погрешностей границы доверительного интервала определяются функцией Лапласа:

где Ф(z)- нормированная функция Лапласа:

Значения Ф(z)- взяты из таблицы 2.

Таблица 2

Z	Ф(z)	Z	Ф(z)
0,0	0,00000	2,1	0,48214
0,1	0,03983	2,2	0,48610
0,2	0,77926	2,3	0,48928
0,3	0,11791	2,4	0,49180
0,4	0,15542	2,5	0,49379
0,5	0,19146	2,6	0,49534
0,6	0,22575	2,7	0,49653
0,7	0,25804	2,8	0,49744
0,8	0,28814	2,9	0,49813
0,9	0.31594	3,0	0,49865
1,0	0,34131	3,1	0,49903
1,1	0,36433	3,2	0,49931
1,2	0,38493	3,3	0,49952
1,3	0,40320	3,4	0,49966
1,4	0,41924	3.5	0,49977
1,5	0,43319	3,6	0,49984
1,6	0,44520	3,7	0,49989
1,7	0,45543	3,8	0,49993
1,8	0,46407	3,9	0,49995
1,9	0,47128	4,0	0,499968
2,0	0,47725	4,5	0,499999

Значения аргумента Z функции , где Ф(z) определяются соотношением Z=D/s_x. Для симметричного интервала (D₁=D=D₂)

При наличии систематической погрешности последнее выражение примет вид:

При малом числе наблюдений (n<20) доверительный интервал определяют с помощью коэффициента Стьюдента: t=±D/s.

Коэффициент t можно определить из таблицы 3 по заданному числу наблюдений n и заданной /выбранной/ доверительной вероятности P.

Таблица 3

n	P
	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,99
	1,00	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7	63,7
	0,82	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	9,9
	0,77	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	5,8
	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	4,6
	0,73	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6	4,0
	0,72	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,7
	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,5
	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,3	3,4
	0,70	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	3,3
	0,70	0,87	1,1	1,4	1,8	2,2	3,1
	0,69	0,87	1,1	1,4	1,8	2,2	3,0
	0,69	0,87	1,1	1,3	1,8	2,1	2,9
	0,69	0,86	1,1	1,3	1,7	2,1	2,9
	0,69	0,86	1,1	1,3	1,7	2,1	2,9

Результат измерения записывают в соответствии с ГОСТ 8.011-72. В стандарте приведены четыре формы представления результатов измерений. Рассмотрим только первую форму, которая используется как окончательная.

Показателем точности в этой форме является интервал, в котором с установленной вероятностью P находят суммарную погрешность измерения: Х; D D(x) от D_н(х) до D_в(х); P,где: D(x), D_н(х), D_в(х)- погрешность измерения соответственно с нижней и верхней границей, в тех же единицах; P-установленная вероятность, с которой погрешность измерения находится в этих границах. Например: 121 м/с;D от -1 до 2 м/с; Р = 0,99.

При симметричном доверительном интервале допускается записывать результат в виде (Х± D); Р. Например: (100±1) В; Р=0,95,

Пря записи результата необходимо соблюдать следующие правила:

число значащих цифр в показателе точности должно быть не больше двух; последний разряд среднего определяется последним разрядом погрешности.

Вычисление показателей точности выполняют в таком порядке:

1/ вычисляют среднее арифметическое серии измерений X ;

2/ находят оценку СКО результата s_x,

3/ задавшись вероятностью P по табл.3, находят t из графы, соответствующей данному P и числу наблюдений n;

4/ найденный доверительный интервал представляют в виде ± ts_x