II. Методические указания и решения задач

Задача 1. Дано: N₁ = 500 кН, N₂ = 700 кН, N₃ = 1200 кН; r₁ = 4 м, r₂ = 2 м, z = 4 м. Построить эпюры напряжений по сечениям I-I и II-II.

Начертим схему приложения нагрузок (рис. 1).

Рис. 1. Схема действия нагрузок и эпюры напряжений

Решение. При приложении к горизонтальной поверхности массива грунта нескольких сосредоточенных сил N₁, N₂ и N₃ значения вертикальных составляющих напряжений s_z,i в любой точке массива определяются суммированием напряжений от действия каждой силы в отдельности по формуле

, (1)

где k_i – коэффициент, являющийся функцией отношения и принимаемый по прил. 1; r_i - расстояние по горизонтальной оси от рассматриваемой точки до вертикальной линии, проходящей по действию приложенных сил N₁, N₂ и N₃; z_i – глубина рассматриваемой точки от горизонтальной плоскости приложения сосредоточенной силы N_i.

Вычислим величины напряжений s_z по сечению I-I. Для этого сечения значения z_i постоянные, т.е. r₁ = 4 м, r₂ = 0 м, r₃ = 2 м, изменяются только значения z_i для каждой точки. Обозначим эти точки: 1, 2, 3 и 4. Определим значение напряжения для первой точки. Выражение(1) запишется следующим образом:

.

z₁ = 1 м. Вычислим значения коэффициентов k₁, k₂, k₃. Из прил. 1 при k₁ = 0,004. Точно также вычислим значения остальных коэффициентов: при k₁ = 0,4775; при k₁ = 0,0085.

Точно также вычислим s_z для остальных точек по сечению I-I.

где k₁ = 0,0085 при k₂ = 0,4775 при k₃ = 0,0844 при

где k₁ = 0,0844 при k₂ = 0,4775 при k₃ = 0,2733 при

где k₁ = 0,0251 при k₂ = 0,4775 при k₃ = 0,3670 (при интерполяции) при

По этим данным строим эпюру напряжений в сечение I-I в масштабе: в 1 см 100 кПа.

Вычислим величины напряжений s_z по линии II-II по точкам 5, 6, 7, 8 и 9. Для этого сечения z = 3 м, а изменяются значения r₁, r₂ и r₃.

где k₁ = 0,3670 при k₂ = 0,0844 при k₃ = 0,0085 при

где k₁ = 0,0844 при k₂ = 0,3670 при k₃ = 0,0844 при

где k₁ = 0,0374 при k₂ = 0,4775 при k₃ = 1889 при

где k₁ = 0,0171 при k₂ = 0,3687 при k₃ = 0,0844 при

где k₁ = 0,4775 при k₂=0,0844 при k₃ = 0085 при

Строим эпюру напряжений по линии II-II в масштабе: в 1 см 50 кПа.

Задача 2. Определить и построить эпюры вертикальных напряжений s_z от совместного действия внешних нагрузок, приложенных к двум фундаментам. Сечения, по которым строят эпюры напряжений, проходят через точки М₁, М₂ и М₃, которые расположены на фундаменте Ф1. расстояние между осями площади подошвы фундаментов равно 3 м. Точки по вертикали от поверхности на расстоянии 1, 2, 4 и 6 м. Схема нагрузок и геометрические размеры подошвы фундаментов представлены на рис. 2.

Рис. 2. Схема нагрузок и геометрические размеры подошвы фундаментов Ф1 и Ф2

Решение. Распределение по глубине вертикальных напряжений s_zс от действия равномерно распределенной нагрузки в пределах или за пределами площади подошвы фундаментов в любой точке массива можно определить по методу угловых точек по формуле

, (2)

где - коэффициент, определяемый в зависимости от отношения сторон площади подошвы фундамента ( и - соответственно ширина и длина подошвы фундамента) и отношения ( - глубина, на которой определяется s_zс); - интенсивность равномерно распределенной нагрузки.

Значения приведены в табл. 2.

Если рассматриваемая вертикаль проходит через центр тяжести прямоугольника, то вертикальные напряжения определяются по формуле

,

где - коэффициент, определяемый из табл. 2, но в зависимости от отношений и .

Рассмотрим случай, когда вертикальная плоскость проходит через точку М₁ . Определяется вертикальное напряжение сначала для фундамента Ф1 в точке М₁ , а затем в этой же точке для влияющего фундамента Ф2. Ф1 разбиваем на два прямоугольника М₁ABC и M₁CM₃D . Все геометрические размеры определены из схемы и графиков.

Если точка М₁ расположена на контуре прямоугольника, то вертикальное напряжение определяется по формуле

,

где , - коэффициенты, принимаемые соответственно для прямоугольников М₁ABC и M₁CM₃D по табл. 2. Размеры этих прямоугольников с глубиной не изменяются. Изменяется только значение .

Так как прямоугольники равные, то и = .

На вертикали, проходящей через М₁, расположены точки на глубинах 1, 2, 4 и 6 м. Для этих точек вычислим значения напряжений s_zс и обозначим эти точки также 1, 2, 4 и 6.

Точка 1: ,

где = 400 кПа.

Значение принимаем по табл. 2, где - наименьшая сторона прямоугольника.

z = 1 м, b = 3 м, l = 4 м;

Значение принимается по столбцу Так как ни одно значение приведенных соотношений не совпадает с табличным, то приходится интерполировать. Для точки 1: = 0,980, кПа.

Точка 2: определяется так же как и .

.

z = 2 м, b = 3 м, l = 4 м.

(0,67; 1,33) = 0,870.

кПа.

Как видно, при определении изменяется только отношение .

Точка 4: вычисления аналогичные.

(1,33; 1,33) = 0,619.

кПа.

Точка 6: вычисления аналогичные.

(2; 1,33) = 0,4.

кПа.

Точка М₁: вычисления аналогичные.

(0; 1,33) = 1.

кПа.

Вычислим дополнительные напряжения в этих же точках от влияния фундамента Ф2. Для этого построим дополнительные прямоугольники М₁А¢FK и M₁KLD¢, так чтобы точка М₁ была для этих прямоугольников угловой(b = 1,8 м, l = 7,2 м). Эти прямоугольники равные. Нагрузим их . Нагрузка действует только в пределах Ф2, поэтому вычтем влияние прямоугольников M₁A¢OC¢ и M₁D¢NC¢ (b = 1,8 м, l = 14,8 м). Эти прямоугольники так же равны.

Величина вертикального напряжения от влияния фундамента Ф2 определяется по формуле

,

где и - коэффициенты, определяемые для прямоугольников М₁А¢FK и M₁KLD¢ по табл. 2; и - коэффициенты, определяемые для прямоугольников M₁A¢OC¢ и M₁D¢NC¢; - равномерно распределенная нагрузка по подошве фундамента Ф2, равная 300 кПа.

Коэффициенты определяются так же, как и в вышеприведенном случае.

Точка М₁ : z = 0.

= = 1; = = 1.

Точка 1: z = 1 м.

= = (0,55; 4) = 0,941.

= = (0,55; 2,67) = 0,938.

кПа.

Точка 2: z = 2 м.

= (1,11; 4) = 0,782.

= (1,11; 2,67) = 0,778.

кПа.

Точка 4: z = 4 м.

= (2,22; 4) = 0,485.

= (2,22; 2,67) = 0,458.

кПа.

Точка 6: z = 6 м.

= (3,33; 4) = 0,311.

= (3,33; 2,67) = 0,28.

кПа.

Строим эпюру напряжений в вертикальном сечении, проведенном через точку М₁, по следующим данным (рис. 3):

Точка 0: s_zс = 200 + 0 = 200 кПа.

Точка 1: s_zс = 196 + 0,45 = 196,45 кПа.

Точка 2: s_zс = 175 + 0,6 = 174,6 кПа.

Точка 4: s_zс = 123,8 + 4,05 = 127,85 кПа.

Точка 6: s_zс = 80 + 4,65 = 84,65 кПа.

Построим эпюру напряжений s_z по сечению, проведенному через точку М₂.

Сначала построим эпюру напряжений s_z , возникающих под фундаментов Ф1. В этом случае вертикальные напряжения вычисляются по формуле

,

где - коэффициент, зависящий от соотношений и (b – наименьший размер подошвы фундамента, l - наибольший размер подошвы фундамента) и принимаемый по табл. 2.

Точка М₂: z = 0.

(0; 1,5), k = 1.

кПа.

Точка 1: z = 1 м.

(0; 1,5).

По табл. 2 при k = 1.

кПа.

Точка 2: z = 2 м.

(1; 1,5).

По табл. 2 при k = 0,765.

кПа.

Точка 4: z = 4 м.

(2; 1,5).

k = 0,414.

кПа.

Точка 6: z = 6 м.

(3; 1,5).

k = 0,235.

кПа.

Вычислим вертикальные напряжения в этих же точках от влияния фундамента Ф2. Для этого строим дополнительные прямоугольники так, чтобы в каждый прямоугольник входила точка М₂: М₂А¢¢FK и M₂KLD¢¢ (b = 1,8 м, l = 5,2 м). Эти прямоугольники загрузим нагрузкой . Вычислим для этих площадей загрузки коэффициенты и Из суммы этих коэффициентов вычтем коэффициенты и , определенных по прямоугольникам М₂А¢¢ОС и M₂CND¢¢ (b = 1,8 м, l = 2,8 м), как прямоугольников, незагруженных нагрузкой .

Общая формула для определения напряжений

,

где и - коэффициенты, определяемые для прямоугольников М₂А¢¢FK и M₂КLD¢ и равные между собой; и - коэффициенты, определяемые для прямоугольников M₂A¢¢OC¢ и M₂C¢ND¢¢ и равные между собой.

Точка М₂: z = 0.

Точка 1: z = 1 м.

= = (0,55; 2,89).

= = 0,978 по

= = (0,55; 1,56).

= = 0,926 по

кПа.

Точка 2: z = 2 м.

= = (1,11; 2,89).

= = 0,778 по

= = (1,11; 1,56).

= = 0,719 по

кПа.

Точка 4: z = 4 м.

= = (2,22; 2,89).

= = 0,485 по

= = (2,22; 1,56).

= = 0,356 по

кПа.

Точка 6: z = 6 м.

= = (3,33; 2,89).

= = 0,315 по

= = (3,33; 1,56).

= = 0,198 по

кПа.

Таким образом, суммарные вертикальные напряжения, вычисленные по сечению, проведенному через точку М₂, равны

Точка 0: s_zс = s_z,0+ s_zс,0= 400 + 0 = 400 кПа.

Точка 1: s_zс = s_z,1+ s_zс,1= 376,5 + 7,8 = 384,2 кПа.

Точка 2: s_zс = s_z,2+ s_zс,2= 306 + 8,85 = 314,85 кПа.

Точка 4: s_zс = s_z,4+ s_zс,4= 165,6 + 18 = 183,6 кПа.

Точка 6: s_zс = s_z,6+ s_zс,6= 94 + 17,55 = 111,55 кПа.

Построим эпюру напряжений s_z по сечению, проведенному через точку М₃.

Порядок построения и расчета.

Сначала вычислим вертикальные сжимающие напряжения по вертикали, проведенной через точку М₃ для фундамента Ф1.

Величины напряжений определяются по формуле (2)

,

где - интенсивность давления на фундамент Ф1.

Длина подошвы фундамента l = 6 м, ширина - b = 4 м.

Точка М₃: z = 0.

(0; 1,5), k_с,0 = 1.

кПа.

Точка 1: z = 1 м.

(0,25; 1,5), k_с,1 = 0,982 по = 1,4 .

кПа.

Точка 2: z = 2 м.

(0,25; 1,5), k_с,2 = 0,941 по = 1,4 .

кПа.

Точка 4: z = 4 м.

(1; 1,5), k_с,4 = 0,765 по = 1,4 .

кПа.

Точка 6: z = 6 м.

(1,5; 1,5), k_с,6 = 0,569 по = 1,4 .

кПа.

По этим же точкам вычислим вертикальные напряжения s_z от действия фундамента Ф2. Для этого построим прямоугольники, включающие точку М₃: М₃А¢¢¢FP - загрузим давлением , M₃A¢¢¢P¢ - этот прямоугольник фактически не загружен, поэтому мы его вычитаем из прямоугольника М₃А¢¢¢FP; М₃D¢¢¢LP - тоже не загружен; М₃D¢¢¢NP¢ - не загружен, но дважды учтен, поэтому он загружен.

Общая формула для определения напряжений имеет вид

,

где - коэффициент, принимаемый по табл. 2 в зависимости от отношений (b - наименьший размер прямоугольника М₃А¢¢¢FP, равный 3,2 м) и (l - наибольший размер прямоугольника М₃А¢¢¢FP , равный 4,8 м); , и - коэффициенты соответственно для прямоугольников М₃А¢¢¢ОP (b = 0,8 м; l = 4,8 м), М₃D¢¢¢LP (b = 1,2 м; l = 3,2 м), М₃D¢¢¢NP¢ (b = 0,8 м; l = 1,2 м) и принимаемые по табл. 2.

Точка М₃: z = 0.

(0; 1,5), = 1.

(0; 6), = 1.

(0; 2,67), = 1.

(0; 1,5), = 1.

кПа.

Точка 1: z = 1 м.

(0,31; 1,5), = 0,916 при = 1,4.

(1,25; 6), = 0,740 при = 5.

(0,83; 2,67), = 0,729 при = 2,4.

(1,25; 1,5), = 0,663 при = 1,4.

кПа.

Точка 2: z = 2 м.

(0,625; 1,5), = 0,902 при = 1,4.

(2,5; 6), = 0,455 при = 5.

(1,67; 2,67), = 0,729 при = 2,4.

(2,5; 1,5), = 0,309 при = 1,4.

кПа.

Точка 4: z = 4 м.

(1,25; 1,5), = 0,663 при = 1,4.

(5; 6), = 0,219 при = 5.

(3,33; 2,67), = 0,280 при = 2,4.

(5; 1,5), = 0,096 при = 1,4.

кПа.

Точка 6: z = 6 м.

(1,87; 1,5), = 0,452 при = 1,4.

(7,5; 6), = 0,116 при = 5.

(5; 2,67), = 0,151 при = 2,4.

(7,5; 1,5), = 0,045 при = 1,4.

кПа.

Вычислим суммарные напряжения по сечению, проведенному через М₃.

Точка 0: s_z,0=s_zс,0 + s¢_zс,0= 100 + 0 = 100 кПа.

Точка 1: s_z,1=s_zс,1 + s¢_zс,1= 98,2 + 12 = 110,2 кПа.

Точка 2: s_z,2=s_zс,2 + s¢_zс,2= 94,1 + 48,90 = 143 кПа.

Точка 4: s_z,4=s_zс,4 + s¢_zс,4= 76,5 +18,9 = 95,4 кПа.

Точка 6: s_z,6=s_zс,6 + s¢_zс,6= 56,9 +10,5 = 67,4 кПа.

Строим эпюры напряжений по сечениям, проведенным через точки М₁, М₂ и М₃ (рис. 3).

а б в

Рис. 3. Эпюры напряжений по сечениям, проведенным через точку: а - М₁; б - М₂ ; в - М_3.

Как видно из приведенных эпюр вертикальных напряжений, наибольшие значения возникают в сечениях, проведенных через центральные точки площади подошвы фундаментов. Поэтому в механике грунтов принято определять осадки фундаментов по этим величинам.

Задача 3. Рассчитать осадку ленточного фундамента методом послойного суммирования по данным, приведенным в табл. 4.

Таблица 4

b, м	d, м	p, МПа	h1, м	g1, кН/м3	gs1, кН/м3	w1, %	Eo1, МПа	h2, м	g2, кН/м3	Eo2, МПа	dw, м
2,4	1,8	0,40	4,0	18,0	27,2				19,8		1,6

Расчетная схема приведена на рис. 4.

Рис. 4. Геометрические размеры фундамента и

физические свойства грунтов

Осадка фундамента методом послойного суммирования определяется по формуле

где 0,8 - постоянный коэффициент; s_{zp i} – среднее значение дополнительного вертикального нормального напряжения в i-м слое грунта, равное полусумме указанных напряжений на верхней z_i-1 и нижней z_i границах слоя по вертикали, проходящей через центр подошвы фундамента; h_i и E_i – соответственно толщина и модуль деформации i-го слоя.

Дополнительное напряжение σ_zp определяется по формуле

σ_zp = a×p_o,

где a - коэффициент, принимаемый по прил. 2, в зависимости от формы подошвы фундамента ( ) и относительной глубины расположения точки ( ); р_о- дополнительное вертикальное давление, равное

р_о = р - σ_zq.o ,

где р – среднее давление по подошве фундамента; σ_zq.o– вертикальное напряжение по подошве фундамента от действия собственного веса грунта, равное

σ_zq.o = g_II× d,

где g_II – удельный вес грунта выше подошвы фундамента, определяемый с учетом взвешивающего действия воды при расположении уровня грунтовых вод выше подошвы фундамента; d – глубина заложения фундаментов.

Построим эпюру напряжений σ_zp по формуле . Для этого вычислим дополнительное давление р_о. Так как уровень грунтовых вод выше подошвы фундамента, то определение напряжения σ_zq.o производим с учетом взвешивающего действия воды.

Учет взвешивающего действия воды на величину g₁ производится по формуле

где заданный удельный вес твердых частиц 1-го слоя; удельный вес воды, равный 10 кн/м³; коэффициент пористости грунта 1-го слоя, равный

,

где - удельный вес сухого грунта 1-го слоя, определяемый по формуле

,

где - удельный вес грунта 1-го слоя; - заданная влажность грунтов 1-го слоя.

кН/м³;

.

Взвешивающее действие воды учитывается только ниже уровня грунтовых вод

кПа.

= 400 – 30,83 = 369,17 кПа, где 400 кПа = 0,4 МПа.

При определении напряжений по прил. 2 приходится много интерполировать значения коэффициентов . Для того, чтобы попасть в табличное значение x необходимо элементарные слои разделить на толщину, равную

,

где b – ширина подошвы фундамента.

В нашем случае толщина элементарного слоя равна

м.

При ленточных фундаментах значение , поэтому значение коэффициента a принимаем по последнему столбцу прил. 2.

Фундамент расположен на глубине 1,8 м первого слоя. Напряжения распределяются на толще слоя, равной 4 - 1,8 = 2,2 м. Полных элементарных слоев толщиной 0,48 м - четыре, остаток - 0,28 м (0,48×4 + 0,28 = 2,2 м).

Значение a в первом слое изменяется как

		м
пески	0,4 0,8 1,2 1,6 1,83	0,48 0,96 1,44 1,92 2,2	1,0 0,977 0,881 0,755 0,642 0,589
	2,00	2,40	0,550

Для глубины z = 2,2 м необходимо вычислять значение .

;

Далее, чтобы попасть в табличное значение принимаем равным 2,0. Это уже второй слой толщиной 2,40 м. Значение a = 0,550 м. Во втором слое далее толщина слоя 0,48 м.

Вычисления произведем в табличной форме (табл. 3.1).

Вычисляем напряжения s_zq:

а) по подошве фундамента - s_zq,0 = 30,83 кПа;

б) по кровле второго слоя s_zq = 30,83+ 2,2×10,10 = 53,18 кПа;

в) по водоупору - второй слоя является водоупором. Дальше грунт не взвешивается.

Поэтому к значению 53,18 кПа прибавляется вес столба воды, равный кПа.

Тогда на водоупоре s_zq = 53,18+24 = 77, 18 кПа.

В формуле (3.1) количество слоев должно быть равным, где выполняется условие

.

Значение 0,2 принимается в том случае, когда модуль деформации грунта в точке пересечения более 5 МПа. У наc E₂ = 12 МПа.

Осадка фундамента равна

Таким образом, осадка фундамента – 8,7 см.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Отно- шение r/z	Коэф- фици-энт K	Отно- шение r/z	Коэф- фици- ент K	Отно- шение r/z	Коэф-фици- ент K	Отно- шение r/z	Коэф- фици- ент K
	0,4775	0,18	0,4409	0,36	0,3521	0,54	0,2518
0,01	0,4773	0,19	0,4370	0,37	0,3465	0,55	0,2466
0,02	0,4770	0,2	0,4329	0,38	0,3408	0,56	0,2414
0,03	0,4764	0,21	0,4286	0,39	0,3351	0,57	0,2363
0,04	0,4756	0,22	0,4242	0,4	0,3294	0,58	0,2313
0,05	0,4745	0,23	0,4197	0,41	0,3238	0,59	0,2263
0,06	0,4732	0,24	0,4151	0,42	0,3181	0,6	0,2214
0,07	0,4717	0,25	0,4103	0,43	0,3124	0,61	0,2165
0,08	0,4699	0,26	0,4054	0,44	0,3068	0,62	0,2117
0,09	0,4679	0,27	0,4004	0,45	0,3011	0,63	0,2070
0,1	0,4657	0,28	0,3954	0,46	0,2955	0,64	0,2024
0,11	0,4633	0.29	0,3902	0,47	0,2899	0,65	0,1978
0,12	0,4607	0,3	0,3849	0,48	0,2843	0,66	0,1934
0,13	0,4579	0,31	0,3796	0,49	0,2788	0,67	0,1889
0,14	0,4548	0,32	0,3742	0,5	0,2733	0,68	0,1846
0,15	0,4516	0,33	0,3687	0,51	0,2679	0,69	0,1804
0,16	0,4482	0,34	0,3632	0,52	0,2625	0,7	0,1762
0,17	0,4446	0,35	0,3577	0,53	0,2571	0,71	0,1721
0,72	0,1681	1,04	0,0764	1,36	0,0348	1,68	0,0167
0,73	0,1641	1,05	0,0744	1,37	0,0340	1,69	0,0163
0,74	0,1603	1,06	0,0727	1,38	0,0332	1,7	0,0160
0,75	0,1565	1,07	0,0709	1,39	0,0324	1,72	0,0153
0,76	0,1527	1,08	0,0691	1,4	0,0317	1,74	0,0147
0,77	0,1491	1,09	0,0674	1,41	0,0309	1,76	0,0141
0,78	0,1455	1,1	0,0658	1,42	0,0302	1,78	0,0135
0,79	0,1420	1,11	0,0641	1,43	0,0295	1,8	0,0129
0,8	0,1386	1,12	0,0626	1,44	0,0283	1,82	0,0124
0,81	0,1353	1,13	0,0610	1,45	0,0282	1,84	0,0119
0,82	0,1320	1,14	0,0595	1,46	0,0275	1,86	0,0114
0,83	0,1288	1,15	0,0581	1,47	0,0269	1,88	0,0109
0,84	0,1257	1,16	0,0567	1,48	0,0263	1,9	0,0105
0,85	0,1226	1,17	0,0553	1,49	0,0257	1,92	0,0101
0,86	0,1196	1,18	0,0539	1,5	0,0251	1,94	0,0097
0,87	0,1166	1,19	0,0526	1,51	0,0245	1,96	0,0093
0,88	0,1138	1,2	0,0513	1,52	0,0240	1,98	0,0089
0,89	0,1110	1,21	0,0501	1,53	0,0234		0,0085
0,9	0,1083	1,22	0,0489	1,54	0,0229	2,1	0,0070
0,91	0,1057	1,23	0,0477	1,55	0,0224	2,2	0,0058
0,92	0,1031	1,24	0,0466	1,56	0,0219	2,3	0,0048
0,93	0,1005	1,25	0,0454	1,57	0,0214	2,4	0,0040
0,94	0,0981	1,26	0,0443	1,58	0,0209	2,5	0,0034
0,95	0,0956	1,27	0,0433	1,59	0,0204	2,6	0,0029
0,96	0,0933	1,28	0,0422	1,6	0,0200	2,7	0.0024
0,97	0,0910	1,29	0,0412	1,61	0,0195	2,8	0,0021
0,98	0,0887	1,3	0,0402	1,62	0,0191	2,9	0,0017
0,99	0,0865	1,31	0,0393	1,63	0,0187		0,0015
	0,0844	1,32	0,0384	1,64	0,0183	3,5	0,0007
1,01	0,0823	1,33	0,0374	1,65	0,0179		0,0004
1,02	0,0803	1,34	0,0365	1,66	0,0175	4,5	0,0002
1,03	0,0783	1,35	0,0357	1,67	0,0171		0,0001

Примечание. Значения коэффициента для вертикальной оси, проходящей через середину подошвы приложения нагрузки, приведены в таблице 1 прил.2 (СНиП 2-02-01-83). Коэффициент зависит от двух параметров: x и h, которые определяются следующим образом

h = L /b , x =Z× 2/b

Приложение 2

Коэффициент a