Определение момента инерции тела

Цель работы

Оценить момент тормозящей силы, действующий на тело в процессе вращения. Определить момент инерции тела с учетом момента тормозящей силы. Произвести расчет моментов, пользуясь энергетическими соотношениями.

Описание установки

Установка представляет собой тело со шкивом, которое вращается в шарикоподшипниках. На шкив намотана нить, один конец которой прикреплен к шкиву, а другой – к грузу массы m. Груз под действием силы тяжести может опускаться, приводя во вращение тело. После того, как груз от отметки h₀ опустится на полную длину нити до отметки h₁ (см. рис. 1), тело, вращаясь по инерции, поднимет груз снова на некоторую высоту до отметки h₂.

В процессе движения часть механической энергии системы тело-груз расходуется на работу против тормозящей силы и, следовательно, превращается во внутреннюю энергию системы и окружающего воздуха, которые нагреваются. Из этого следует, что тело поднимет груз на высоту меньшую начальной, то есть отметка h₂ всегда будет расположена ниже отметки h₀. Тормозящая сила складывается из силы трения в подшипниках и из силы трения о воздух при движении тела и груза.

В установке предусмотрена возможность изменения массы груза.

Рис. 1

Вывод рабочих формул

1. Вывод формулы для косвенных измерений момента тормозящей силы.

Для оценки момента тормозящей силы воспользуемся энергетическими соотношениями. Поскольку силы трения являются диссипативными, то работа тормозящей силы А_Т при переходе системы тело-груз из начального состояния в конечное равна

, (1)

где - механическая энергия системы тело-груз в начальном состоянии;

- механическая энергия системы тело-груз в конечном состоянии.

Механическая энергия системы складывается из кинетической и потенциальной энергий. В те моменты времени, когда система покоится, кинетическая энергия равна нулю и, следовательно, механическая энергия становится равной только потенциальной энергии системы. Такие состояния системы возникают в начальный момент времени, когда груз находится на отметке h₀, и в тот момент, когда, спустившись вниз, груз за счет вращения тела поднимается до отметки h₂ (рис. 1). Если принять, что на высоте h₁ потенциальная энергия груза равна нулю, то приращение механической энергии для выбранных начального и конечного состояний системы равно

, (2)

где - расстояние между отметками h₀ и h₁;

- расстояние между отметками h₂ и h₁.

Будем считать, что момент тормозящей силы в основном связан с вращательным движением тела, т. е. тормозящей силой, действующей на груз, пренебрежем. Тогда элементарная работа момента тормозящей силы равна скалярному произведению

,

где - вектор момента тормозящей силы;

- вектор бесконечно малого углового перемещения тела.

Оба вектора и направлены вдоль оси вращения, но в противоположные стороны. Следовательно,

.

Полная работа момента тормозящей силы, если предположить, что он постоянен, тогда равна

, (3)

где - угол поворота тела вокруг оси при переходе системы из начального состояния в конечное (груз перемещается от отметки h₀ до отметки h₂).

При движении груза вниз от отметки h₀ до отметки h₁ со шкива сматывается нить длиной . Учитывая, что длина окружности шкива равна и каждый оборот шкива соответствует углу радиан, найдем угол поворота шкива при движении груза вниз:

радиан. (4)

Очевидно, что при дальнейшем вращении тела до момента, когда груз остановится на отметке h₂, оно повернется на угол

радиан.

Тогда общий угол поворота тела, соответствующий переходу груза от отметки h₀ до отметки h₂, равен

радиан. (5)

Подставляя (2) и (3) в (1) найдем

.

Отсюда, используя (5), получаем формулу для оценки модуля вектора момента тормозящей силы

. (6)

2. Вывод формулы для косвенных измерений момента инерции тела с учетом момента тормозящей силы.

Рассмотрим систему тело-груз в начальный момент времени, когда груз находится на отметке , а в качестве конечного выберем тот момент времени, когда груз опустился до нижней отметки , соответствующей полной длине нити. Опять будем исходить из энергетического соотношения (1).

Для выбранных начального и конечного состояний получим

, (7)

где - момент тормозящей силы (6);

- угол поворота тела, соответствующий перемещению груза от отметки до (4).

Начальная механическая энергия системы тело-груз равна

. (8)

Конечная механическая энергия системы складывается из кинетической энергии вращательного движения тела и кинетической энергии поступательного движения груза в момент прохождения им отметки :

,

где - момент инерции тела;

- угловая скорость вращения тела в конечный момент;

- скорость поступательного движения груза в конечный момент.

Строго говоря, в процессе движения груз за счет упругого растяжения нити опускается чуть ниже отметки , тормозится нитью, а затем за счет упругого сжатия нити возвращается на эту отметку.

Предполагая, что движение системы является равноускоренным, для скорости груза на отметке получаем

, (10)

где - время, за которое груз опустится от отметки до .

Угловая скорость вращения тела в тот же момент времени равна

, (11)

где - радиус шкива, на который намотана нить.

Подставляя (7), (8), (9) в (1), получим

.

Из этой формулы, учитывая (4), (10) и (11), выражаем момент инерции :

, (12)

где - момент тормозящей силы, который вычисляется по формуле (6).

3. Получение формул для определения погрешностей косвенных измерений момента тормозящей силы и момента инерции тела.

Методика получения оценок истинных значений величин и погрешностей при прямых и косвенных измерениях описана в [1]. При выполнении данной лабораторной работы прямыми будут являться измерения длины и времени . Остальные величины, входящие в рабочие формулы (6) и (12), измеряются заранее и их истинные значения с указанием погрешностей приведены в таблице исходных данных, помещенной около экспериментальной установки.

Выполнив многократные прямые измерения величин и (см. задание к работе) и проведя их статистическую обработку по методике, описанной в [1], найдите и для выбранного значения доверительной вероятности. Эти величины будут в дальнейшем использованы для оценки истинного значения и погрешности при косвенных измерениях.

Подставляя в рабочую формулу (6) истинные значения всех аргументов, получим оценку истинного значения момента тормозящей силы:

, (13)

где черта над величиной означает «оценка истинного значения».

Абсолютная погрешность косвенных измерений величины определяется формулой [1]

С помощью этой формулы, взяв частные производные по всем аргументам, получаем

В формулу (14) входят пять квадратичных членов, вклад каждого из них в погрешность величины не одинаков. Поэтому, чтобы упростить вычисления, прежде чем применять эту формулу, необходимо оценить вклад каждого квадратичного слагаемого и оставить в формуле только наибольшие. Эта оценка, кроме того, позволит выявить те величины, точность измерения которых определяет точность получаемого результата.

Оценку истинного значения величины момента инерции тела, определяемого в опытах с помощью формулы (12), получим, подставив в нее истинные значения входящих аргументов:

. (15)

Абсолютная погрешность косвенных измерений величины определяется формулой [1].

.

С помощью этой формулы, взяв частные производные по всем аргументам, получаем

В формулу (16) входит шесть квадратичных членов. Один из них (пятый) связан с погрешностью величины , которая определяется формулой (14). Как было сказано выше, прежде чем применять формулу (16) необходимо оценить вклад каждого квадратичного слагаемого, сохранив наибольшие.

Задание к работе

1. Заготовьте таблицу для пятикратных прямых измерений длины и времени с последующей статистической обработкой полученных результатов.

2. Заранее выберите отметку , от которой начнется движение груза .

3. Вращая тело рукой, размотайте нить на полную длину и заранее определите численное значение отметки . Внесите длину в таблицу. Оцените погрешность измерения этой длины как систематическую погрешность измерительной линейки.

4. Приготовьте секундомер для измерения времени .

5. Вращая тело рукой, намотайте нить на шкив так, чтобы груз занял положение соответствующее начальной отметке .

6. Проведите первый опыт для одной массы груза. Для этого отпустите тело, одновременно включив секундомер. Остановите секундомер в момент прохождения грузом отметки , не останавливая систему (в новых вариантах установок это делается автоматически). Дождитесь момента, когда груз поднимется до отметки , и зафиксируйте ее численное значение. Внесите результаты первого опыта в таблицу измерений (ими будут и ).

7. Пятикратно повторите этот опыт, не меняя массу груза, что необходимо для определения случайной погрешности прямых измерений.

8. Проведите по одному опыту с другими массами груза. Результаты внесите в таблицу измерений.

9. Проведите статистическую обработку пятикратно проведенных прямых измерений величин и (п. 6,7), пользуясь методикой, изложенной в пособии [1]. Получите оценку истинных значений и доверительных погрешностей для этих величин. Результаты вычислений внесите в таблицу.

10. Проведите оценку истинного значения момента тормозящей силы , пользуясь формулой (13).

11. Проведите численную оценку квадратичных членов формулы (14) и, отбросив малые, оцените погрешность косвенных измерений момента тормозящей силы .

12. Проведите оценку истинного значения момента инерции тела , пользуясь формулой (15).

13. Проведите численную оценку квадратичных членов формулы (16) и, отбросив малые, оцените погрешность косвенных измерений момента инерции тела .

14. С помощью формулы (6) или (13) проведите расчет моментов тормозящей силы для однократных опытов с другими грузами (см. п.8). Погрешности измерений для этих опытов вычислять не надо. Обратите внимание на закономерное изменение момента тормозящей силы с ростом массы груза.

15. С помощью формулы (12) или (15) проведите расчет момента инерции тела для однократных опытов с другими грузами (см. п.8). Погрешности измерений для этих опытов вычислять не надо. Наблюдается ли закономерное изменение момента инерции с ростом массы груза?

Контрольные вопросы

1. Какая часть системы совершает в процессе опыта поступательное, а какая - вращательное движение?

2. Почему для описания вращательного движения удобней пользоваться угловыми кинематическими характеристиками, а для поступательного – линейными?

3. Что такое момент силы? Какие силы и моменты сил действуют на тело во время его движения?

4. Какие силы создают момент тормозящей силы? Можно ли указать точку приложения этих сил?

5. Как определить работу момента силы?

6. Сохраняется ли механическая энергия системы тело-груз в процессе опыта?

7. Как можно оценить момент тормозящей силы, пользуясь энергетическими соотношениями? Какие упрощающие предположения при этом делаются?

8. Изменяется ли момент тормозящей силы при увеличении массы груза, как и почему?

9. Что такое момент инерции тела, какое свойство тела он характеризует?

10. Как найти кинетическую энергию при поступательном и при вращательном движении?

11. Как можно определить момент инерции тела, пользуясь энергетическими соотношениями.

12. Зависит ли момент инерции тела от массы груза, закрепленного на конце нити?

13. Выведите формулу кинетической энергии тела, совершающего вращательное движение вокруг неподвижной оси.

14. Выведите рабочую формулу для оценки момента тормозящей силы.

15. Выведите рабочую формулу для момента инерции тела с учетом и без учета момента тормозящей силы. Примените эти формулы, чтобы ответить на вопрос, имеет ли смысл учет момента тормозящей силы в проделанных опытах.

Литература

1. Введение (эти методические указания).

2. Савельев И.В. Курс общей физики. - М, Наука, 1982 г. Т.1. и последующие издания.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5

Определение момента инерции тела методом колебаний

Цель работы

Определить момент инерции маятника, применяя уравнение колебаний, и исследовать зависимость момента инерции от расстояния до условно выбранной точки А.

Описание установки

Установка представляет собой физический маятник, т.е. твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс.

Физический маятник в данной работе состоит из барабана массой m₁ с осью вращения О, стержня массой m₂ и двух грузов с одинаковыми массами m₃, которые можно закрепить в нужном положении на стержне (см. рис.).