Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

=	A (t )	= eβT	(5.7.1)
A ( t +T )

и называется декрементом затухания.

Для характеристики колебательной системы обычно использу-

ется логарифмический декремент затухания, т. е. логарифм декре-

мента затухания

δ = ln = ln	A(t )	=βT .	(5.7.2)
A( t +T )

Скорость затухания колебаний определяется величиной называ-

ем коэффициентом затухания β = ₂^μ_m .

Найдем время, называемое временем релаксации τ, за которое амплитуда уменьшается в e раз

	A ( t )	= e ⇒	A0 e−β t		= e βτ = e1	⇒ βτ = 1 ⇒ τ =	1	.(5.7.3)
	A ( t + τ)	A0 e−β( t +τ)	β
Следовательно,
				β=	1	,			(5.7.4)
						τ

т. е . коэффициент затухания обратен по величине промежутку време-ни, за который амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

За время релаксации τ система успевает совершить N_e = _T^τ ко-

лебаний

	Ne =	τ	=	τβ	=	1 .	(5.7.5)
	T	δ
					δ
Следовательно, δ =		логарифмический декремент затухания
	Ne

обратно пропорционален по величине числу колебаний, за которые амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Для характеристики колебательной системы используется ве-личина

Q =	π	= πNe ,	(5.7.6)
	δ

которая называется добротностью колебательной системы.

Величина Q, пропорциональная числу колебаний, совершаемых системой за время, в течение которого амплитуда колебаний умень-шается в е раз.

Вынужденные колебания

До сих пор мы рассматривали свободные колебания, когда вы-веденная из положения равновесия система совершает колебания бу-дучи предоставленной самой себе. Рассмотрим колебательную систе-

му, которая подвергается действию внешней силы, изменяющейся по гармоническому закону F = F₀ cos ωt . Колебания, возникающие под

действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными колебаниями.В этом случае уравнение второго законаНьютона имеет вид

ma = − kx − μυ+ F0cosωt .

(5.8.1)

Учитывая, что a =

d 2 x

, а υ=

dx

и разделив на массу m, получим

dt

dt

d 2 x

μ dx

k

x

F

cos ωt .

dt2

+

+

=

(5.8.2)

m dt

m

m

Применив обозначения

k

= ω2 ,

μ

= 2β и

F0

= f

получим

m

m

m

d 2 x

+ 2β

dx

= f

cos ωt

−

(5.8.3)

+ω x

dt2

dt

дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Будем искать решение уравнения (5.8.3) в виде

x = Acos(ω t +ϕ)

(5.8.4)

предполагая, что результирующее колебание будет совершаться с час-тотой внешней вынуждающей силы.

dx	d 2 x		+ϕ).
dt = − Aω sin ( ωt +ϕ ) ;	dt2	= − Aω cos(ωt	(5.8.5)
Подставим (5.8.4) и (5.8.5) в уравнение (5.8.3)
− Aω2 cos(ωt +ϕ ) − 2β Aω sin(ωt +ϕ ) +ω2 A cos(ωt +ϕ ) = f	cosωt . (5.8.6)
(Aω02 − Aω2 ) cos(ωt +ϕ ) − 2β Aω sin (ω t +ϕ ) = f 0 cos ωt .	(5.8.7)

cos (ωt +ϕ ) = cos ω t cos ϕ − sin ω t sin ϕ; sin ( ωt +ϕ ) = cos ω t sin ϕ+ sin ω t cos ϕ ^.

(Aω₀² − Aω² ) (cos ωt cos ϕ − sin ω t sin ϕ ) − −2β Aω ( cos ω t sin ϕ+ sin ω t cos ϕ ) = f ₀ cos ωt

(5.8.8)

(5.8.9)

Чтобы уравнение (69) обратилось в тождество необходимо, что-бы коэффициенты при cos ωt и sin ωt были равны нулю.

(Aω02 − Aω2 ) cos ϕ − 2β Aω sin ϕ= f0

и

(5.8.10)

− ( Aω02 − Aω2 ) sin ϕ − 2β Aω cos ϕ= 0

Из выражения (71) получаем

tgϕ= −

2βω

.

(5.8.11)

ω − ω

Возведем в квадрат уравнения (70) и сложим

( Aω02 − Aω2 ) 2 + ( 2β Aω ) 2 = f02 .

(5.8.12)

)

A

(

ω0

− ω

+

4β

ω

= f0

⇒

⇒

A

=

f02

⇒

( ω02 − ω2 ) 2 + 4β 2 ω2

⇒ A =

f0

.

(5.8.13)

ω

ω − ω

+ 4β

Подставив полученные выражения (71) и (73) в выражение (64)

получим уравнение вынужденных колебаний

x =

f0

ω t − arctg

2βω

. (5.8.14)

cos

ω2

− ω2

ω

ω0

− ω

+ 4β

5.9. Резонанс

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой частоте ам-плитуда колебаний достигает максимального значения.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных коле-баний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы называется резонансом, а соответствующая частота − резонансной частотой.

Найдем резонансную частоту. Амплитуда вынужденных коле-баний будет max, когда выражение (ω₀² − ω² ) ² + 4β ² ω² в уравнении

A =

f0

(5.8.13) будет минимальным.

( ω02 − ω2 )2 + 4β 2 ω2

Продифференцируем это выражение по ω и приравняем к нулю

d

2 2

( ω0

− ω )

+ 4β ω

= 0 ⇒ −2 ( ω0

− ω ) 2ω+ 8β

ω= 0

⇒

dω

. (5.9.1)

⇒ ω −ω₀² +ω² + 2β ² = 0

Полученное уравнение имеет три решения: ω= 0 и ω= ± ω₀² − 2β² . Первое решение соответствует максимуму знамена-

теля. Из остальных двух решений отрицательное не имеет физическо-го смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, ре-зонансная циклическая частота

ω	= ω2	− 2β2 .	(5.9.2)
рез

Подставив это значение в выражение для амплитуды (5.8.13), получим выражение для амплитуды при резонансе

Aрез =	f0		.	(5.9.3)
2β ω2	−β2

Из последнего уравнения (5.9.3) следует , что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бес-конечность, а резонансная частота, согласно (5.9.2), при тех же усло-виях (при β = 0), совпадала бы с собственной частотой колебаний сис-темы ω₀.

ωрез =ω0 .

(5.9.4)

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы показана графически на рис. 5.9.1. В соответст-вии с (5.9.2) и (5.9.3), чем меньше параметр β, тем выше и правее ле-жит максимум данной кривой. Изображенная на рис. 5.9.1 совокуп-ность графиков функций (5.8.13), соответствующих различным значе-ниям параметра β, называется резонансными кривыми.

При	стремлении	А
ω к нулю все кривые			β1 < β2 < β3
приходят	к одному и
тому же, отличному от
нуля, предельному зна-			β1
чению, равному f		ω2 .
					β2
Это значение представ-
ляет собой смещение из			β3
положения	равновесия,
которое получает	сис-	f0
тема под действием по-
стоянной силы величи-	ω02		ω0	ω
ны F0 .	стремлении			Рис. 5.9.1
При

ω к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направ-ление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

Наконец, отметим, что чем меньше β, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» получается

максимум. При малом затухании (т. е. β<< ω₀ ) амплитуда при резо-нансе приближенно равна A_рез ≈ f₀ 2βω₀ . Разделим это выражение на смещение х₀ из положения равновесия под действием постоянной

силы F0

, равное x

= f

ω2

. В результате получим

Aрез

f

ω2

ω

2π

π

= Q ,

=

=

=

=

(5.9.5)

x

2βω

f

2β T

δ

2β

где δ = β Т – логарифмический декремент затухания (5.7.2); Q – доб-ротность колебательной системы (5.7.6).

Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз ам-плитуда в момент резонанса превышает смещение системы из поло-жения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы. Следует отметить, что это спра-ведливо лишь при небольшом затухании.