Визначення швидкості польоту кулі

За допомогою крутильного балістичного маятника

Мета роботи: визначення швидкості кулі за допомогою крутильного балістичного маятника.

Прилади: крутильний балістичний маятник, куля.

Теоретичні відомості.

Після влучення кулі маятник починає коливатися навколо своєї вертикальної осі. Якщо зневажити при його русі моментом сил тертя, то можна скористатися двома законами збереження.

На підставі закону збереження моментів кількості руху, вважаючи удар цілком непружним, можна записати (до удару і після)

, (1)

де m – маса кулі; v – її швидкість; l – відстань від осі обертання маятника до точки удару кулі; ω – кутова швидкість маятника; I₁ – момент інерції маятника.

Закон збереження механічної енергії

, (2)

де φ – кут (найбільший) повороту маятника; D – постійна моменту пружних сил.

Із формули (1) визначимо кутову швидкість маятника

, (3)

підставимо (3) у (2) і одержимо

. (4)

Розв’язавши рівняння (4) відносно v² , знаходимо:

. (5)

Тому що момент інерції кулі ml² у багато разів менше I₁ , то рівняння (5) може бути написане у вигляді

. (6)

Будемо вважати: 1) τ << T, тобто час впливу кулі на маятник у багато разів менше періоду коливань маятника (балістичний маятник); 2). маятник робить гармонічні коливання.

Рівняння руху балістичного маятника при цих умовах може бути написане у вигляді

,

де - кутове прискорення.

Рішення цього рівняння призводить до виразу для періоду коливань Т_1:

(7)

Визначимо величину D у такий спосіб. Змінимо момент інерції маятника, змінивши відстань між вантажами. Тоді:

,

, (8)

I₁ – I₂ = ∆I, (9)

де Т₂ - період коливань при новому значенні моменту інерції; ∆I – різниця моментів інерції.

Із рівнянь (8) маємо

. (10)

Із рівнянь (9) і (10) маємо

. (11)

Із рівнянь (6), (7) і (11)

. (12)

Величину ∆I можна визначити за теоремою Штейнера.

I₁ = I₀ +2MR₁²; (13)

I₂ = I₀ + 2MR₂²I, (14)

де I₀ – момент інерції маятника, коли центри ваги вантажів збігаються з віссю обертання маятника; I₁ – момент інерції, коли обидва вантажі знаходяться на відстані R₁ від осі обертання; I₂ – момент інерції, коли обидва вантажі знаходяться на відстані R₂ ; М – маса одного вантажу.

Нехай R₁. > R ₂, тоді з рівнянь (13) і (14) отримаємо

I₁ – I₂ = ∆I = 2M(R₁² – R₂²). (15)

Рівняння (12) і (15) остаточно дають

. (16)

Опис установки

Схема установки представлена на рис.1.

Установка складається з крутильного балістичного маятника (1), пристрою що стріляє (2), прозорої кутової шкали (3), мілісекундоміра (4), фотоелектричного датчика (5).

Крутильний балістичний маятник (1) складається з двох мішеней, наповнених пластиліном (6), двох переміщуваних вантажів (7), закріплених на двох стрижнях, та перемикача фотодатчика (8).

Стріляючий пристрій (2) являє собою стрижень з навитою на нього пружиною (9) і затвор.

На лицьовій панелі мілісекундоміра розміщені елементи:

МЕРЕЖА – вимикач мережі;

СКИДАННЯ – клавіша пуску датчика часу і скидання вимірника;

СТОП – закінчення виміру часу повного коливання.

Щоб зробити «постріл», необхідно затвором стиснути до упору пружину, надягти на стрижень кулю і поворотом затвора по годинній стрілці звільнити пружину. При цьому куля попадає в мішень із пластиліном.

Порядок виконання роботи

Експериментальна частина роботи зводиться до визначення φ, t. Маса кулі m = 1,9 г. Маси вантажів відомі.

1. Розгорнути обидва вантажі на R₁ від осі обертання. Вимірити t₁.

2. Установити маятник в таке положення, щоб риска на лівій мішені показувала кут a = 0 (регулювання робити поворотом втулки кріплення дроту у верхньому кронштейні).

3. Включити шнур вимірника в мережу постачання.

4. Натиснути перемикач «МЕРЕЖА», перевіряючи, чи всі індикатори вимірника показують цифру нуль, а також чи світиться лампочка фотоелектричного датчика.

5. Включити лічильники часу і періодів натисканням клавіші «СКИДАННЯ» і провести «постріл», надягши кулю на стрижень стріляючого пристрою.

6. Відрахувати максимальний кут φ повороту маятника по прозорій шкалі. Одночасно на лівому табло відбувається відлік кількості періодів, а на правому – часу коливань.

7. Після закінчення часу дев'яти періодів (на лівому табло висвічується цифра «9») натиснути клавішу «СТОП». Зняти показання лічильника часу для десяти повних коливань і обчислити Т₁.

8. Вимірити l – відстань між віссю маятника і точкою влучення кулі.

9. Дослід повторити три рази.

10. Відключити «МЕРЕЖУ» і максимально наблизити вантажі один до одного (l = хв).

11. Повторити пп. 4-9 для визначення Т₂ . Дані занести в таблицю. За формулою (16) визначити швидкість кулі.

Таблиця

№

m

lср

М

φ1

φ2

R1

t1

T1

R2

t2

T2

V

Vcp

∆Vi

(∆Vi)2

S(V)

Ev

σ %

V+ Ev

2 l1

2 l2

∆ φ = φ2 - φ1

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 6

Визначення швидкості тіла за допомогою фізичного маятника

Прилади: фізичний маятник, тіло, масштабна лінійка, пружинний пістолет.

Теоретичні відомості

Фізичний маятник являє собою масивне тіло зі значним моментом інерції I, підвішене на осі ОС, розташованій вище центра ваги С (див. рис.1). Якщо тіло маси m, що летить зі швидкістю v , попадає в маятник на відстані а від осі обертання ОС, то маятник, одержавши початкову кутову швидкість ω₀, починає робити поворот навколо осі. Розглядаючи ізольовану систему «маятник – тіло», можна записати закон збереження моменту кількості руху:

mva = I ω_0. (1)

Ліва частина рівняння виражає момент кількості руху тіла безпосередньо перед ударом. Тому що маятник у цей момент ще нерухомий, то mva буде повним моментом кількості руху системи щодо осі обертання маятника.

Після удару момент кількості руху маятника I∙ω₀, де I – момент інерції маятника щодо осі обертання О.

Маятник, одержавши запас кінетичної енергії, повертається навколо осі ОС на кут φ_max.

Кінетична енергія маятника поступово переходить у потенційну енергію:

; ; . (2)

де m₁ – маса маятника; g – прискорення вільного падіння; h – висота, на яку підіймається центр ваги маятника при відхиленні його на кут φ_max від положення рівноваги:

Формулу (2) можна записати так:

,

звідси

Підставивши в рівняння (1) ω_0, визначимо швидкість тіла v:

. (3)

Рис.1

У роботі фізичний маятник виконаний у вигляді масивного тіла з мішенню і стрілкою (див. рис.1). Маятник насаджений на вісь О до настінного кронштейна. Кут відхилення маятника при влученні тіла у мішень відраховується по шкалі (у градусах).

Порядок виконання роботи

1. Зробити постріл і відрахувати φ_max по шкалі.

2. Вимірити відстань а від осі обертання маятника до точки удару тіла у мішень.

3. Визначити за формулою (3) швидкість тіла і перевірити розмірність результату.

4. Дослід повторити три рази. Дані вимірів занести в таблицю.

Таблиця

№

, кг

, кг

А, м

ОС, м

g, м/с2

I, Кг м2

φ0max

sin

V, м/с

∆Vi, м/с

(∆Vi)2 м/с2

Sv, м/с

Еv, м/с

V, м/с

σ, %

V±Ev

6. Визначити середнє значення .

7. Визначити середню квадратичну помилку за формулою

, .

8. Визначити довірчий інтервал , р = 0,95.

9. Остаточний результат записати у вигляді м/с і при р = 0,95, .

Контрольні запитання

1. Що таке фізичний маятник?

2. Чому дорівнює період коливань фізичного маятника?

3. Що таке приведена довжина фізичного маятника?

4. Сформулюйте теорему Штейнера.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 7

Визначення декременту загасання пружних коливань

Теоретичні відомості

Найпростішим видом коливальних рухів є гармонійне чи синусоїдальне коливання. Воно виникає в тому випадку, якщо на тіло, виведене з положення рівноваги, діє сила F, спрямована завжди до положення рівноваги – пропорційно зсуву тіла х, тобто F=- kx. За другим законом Ньютона

, (1)

де m – маса тіла; - його прискорення; k – деякий постійний коефіцієнт.

Якщо коливання відбуваються при наявності сил опору, то енергія системи частково витрачається на їхнє подолання. Унаслідок цього амплітуда коливань поступово зменшується, тобто виникають затухаючі коливання. Таким чином, коливання, що затухають, відбуваються при визначеній дії двох сил: сили, пропорційної зсуву тіла, що коливається, і сили опору. Останню силу вважають пропорційною швидкості руху тіла, тобто . Рівняння затухаючих коливань можна записати у такому вигляді:

, (2)

де η – другий коефіцієнт.

Або

. (2а)

Рішення рівняння має вигляд:

, (3)

де А – амплітуда коливань; ω – їхня циклічна частота (2πυ_i); Т – період коливань; φ₀ – початкова фаза і σ – коефіцієнт загасання.

Частота коливань зв'язана з коефіцієнтом рівняння (2а) співвідношенням

.

Якщо припустити, що початкова фаза коливань φ₀ = 0 , то одержимо більш просте рішення рівняння (2а):

. (3а)

Застосуємо рівняння (3а) до моментів часу:

; ; і т.ін.

Обчислимо для цих моментів ряд відповідних амплітуд А₁, А₂, А₃ ... . Якщо візьмемо відношення двох послідовних амплітуд одного знаку, тобто спрямованих в одному напрямку, які відрізняються одне від одного за часом на один період (рис. 1). Одержимо ряд рівностей:

; ; ; ...

Звідси виникає, що відношення двох послідовних амплітуд одного знака виявляється постійним і зветься декрементом загасання Д:

. (4)

Як бачимо, чим більше декремент загасання, тим швидше убувають амплітуди коливань. Дуже часто коливання характеризують логарифмічним декрементом загасання

. (5)

Для незагасаючих коливань декремент загасання дорівнює одиниці, а логарифмічний декремент – нулю. Для визначення декременту загасання треба вимірити амплітуди ряду послідовних коливань; відношення двох послідовних амплітуд одного знаку визначає декремент загасання коливань, а натуральний логарифм цього відношення – їхній логарифмічний декремент.

Рис. 1

Опис методу і приладу

Прилад для спостереження пружних коливань складається з металевого дроту (рис. 2), верхній кінець якого закріплений. На його нижньому кінці підвішені на штанзі вантажі Р, на осі їхнього обертання прикріплене дзеркальце С. Для того, щоб вантажі робили коливальні рухи навколо осі LM, потрібно повернути ручку В, до якої прикріплений верхній кінець L дроту, на невеликий кут. Гвинт С, що фіксує ручку В, під час роботи повинен бути розкручений. Повертаючи точку В на невеликий кут, закручують дріт, у ньому з'являються пружні сили.

Унаслідок цього система, надана сама собі, починає робити пружні (крутильні) коливання біля вертикальної осі LM, поступово загасаючі. Спостереження коливань і вимір їхніх амплітуд проводиться методом дзеркала і шкали Ш.

Рис.2

Порядок виконання роботи

1. Міліметрову шкалу закріпити горизонтально на штативі і, помістивши її на відстані півметра, освітити дзеркальце освітлювачем (шкалу установити так, щоб зайчик знаходився посередині шкали, тобто на нулі).

2. Надати вантажам коливання і обчислити величину послідовних одинадцяти амплітуд по один бік від нульової точки.

3. Одночасно визначити період коливань системи, вимірюючи секундоміром тривалість десяти коливань.

4. Обчислити за формулами (4) і (5) декремент загасання Д, логарифмічний декремент загасання λ і коефіцієнт загасання .

5. Дані обчислень занести в таблицю.

Таблиця

№	А, см	Т, с	Д	λ	σi, c-1	∆σ, c-1	(∆σi)2, (c-1)2	S(σ) c-1	Eσ, c-1

6. Шуканий коефіцієнт загасання .

7. Довірчий інтервал ,

де S( ) – середня квадратична помилка коефіцієнта загасання, t_p.n. – коефіцієнт Стьюдента при заданому коефіцієнті надійності Р = 0,95 для n вимірів (див. додаток 1).

Контрольні запитання

1. Що таке власне коливання?

2. Що таке змушене коливання?

3. Що таке логарифмічний декремент загасання?

Лабораторна робота № 8