Распределение молекул идеального газа во внешнем си-ловом поле

Учитывая, что p = nkT, а следовательно p0 = n0 kT, от формулы

(10.2.7) придем к формуле для концентраций частиц  
n = n exp   m0 gh . (10.3.1)
       
      kT  

Так как молекулы воздуха находятся в поле тяготения Земли, то на разной высоте молекулы обладают различным запасом потенциальной энергии П = m0 gh. Следовательно, распределение молекул по высоте яв-ляется и распределением молекул по значениям потенциальной энергии

    П      
n = n0exp     , (10.3.2)  
   
    kT      

где n0 − концентрация молекул в том месте, где потенциальная энер-гия молекул равна нулю.

Больцман доказал, что распределение (10.3.2) справедливо не толь-ко в случае поля тяготения Земли, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения. В соответствии с этим выражение

(10.3.2) получило название распределение Больцмана.

Например, для частиц находящихся в поле центробежных сил

П = − m0ω2r2 Распределение молекул идеального газа во внешнем си-ловом поле - student2.ru 2 (где r − расстояние от оси вращения до частицы). То-гда выражение (10.3.2) примет вид

m ω2 r2   (10.3.3)  
n = n0exp 0   .  
  2kT      
           

Для частиц, взвешенных в жидкости (частицы суспензии или эмульсии), в выражении для потенциальной энергии необходимо учи-тывать действие силы Архимеда. Поэтому потенциальная энергия та-



ких частиц будет иметь вид:

в поле силы тяжести                    
П = ( m0 − mж )gh = (ρ 0 −ρж)Vgh ,   (10.3.4)  
в поле центробежных сил                
П = − ( m − m ) ω2 r 2 = − (ρ −ρ ж )V ω2 r2 , (10.3.5)  
ж          
                 

где mж − масса жидкости, вытесненной частицей массой m0 ; ρ0 − плотность вещества частиц; ρж − плотность жидкости; V − объем час-тицы.

Распределение Больцмана для частиц суспензии или эмульсии будет иметь вид:

поле силы тяжести

n = n exp   ( m0 mж )gh = n exp   (ρ0 −ρж )Vgh . (10.3.6)  
      kT         kT      
                       

в поле центробежных сил

  ( m m2 r 2     −ρ ж )V ω2 r2   . (10.3.7)  
n = n0exp ж   = n0 exp          
    2kT         2kT      

Для идеального газа в любом внешнем потенциальном поле рас-пределение молекул будет подчиняться распределению Больцманом. В общем случае функция распределения Больцмана будет иметь вид

f (x , y , z )= Aexp П(x, y , z)   , (10.3.8)
    kT      

где П(х, у , z ) − потенциальная энергия молекулы в точке с координа-тами х, у, z; A − нормировочная постоянная.

Общее распределение молекул идеального газа во внешнем поле по их значениям проекций скоростей и координат х, у, z имеет вид


            f (ε)= B exp− ε     ,    
                   
                  kT        
− функция распределения Максвелла − Больцмана,  
  m υ 2   m0υ2y   m υ 2 + П(x, y, z) = m   υ2 + П(x, y, z)  
где ε = x +   + z    
   
                 

энергия молекулы; В − нормировочная постоянная.

(10.3.9)

− полная



Наши рекомендации