Задачи к контрольной работе

ЗАДАЧА1

Определить аналитическим и графическим способами усилия в стержнях АВ и ВС заданной стержневой системы.

Вариант	F1, кН	F 2, кН	α2, град	α3, град
			20˚	45˚
			90˚	60˚
			60˚	45˚
			30˚	60˚
			30˚	60˚
			60˚	30˚
			90˚	45˚
			90˚	60˚
			45˚	30˚
10			90˚	30˚

C

=30o

ПРИМЕР 1

Определить аналитическим и графическим способами в стержнях АВ и ВС заданной стержневой системы (рисунок 1).

Дано: F₁ = 28 кН; F₂ = 42 кН; α₁=45⁰;α ₂=60⁰; α₃=30⁰.

Определить: усилия

-

F2

Рисунок -1

РЕШЕНИЕ

1 Аналитическое решение

1 Рассматриваем равновесие точки В, в которой сходятся все стержни и внешние силы (рисунок 1).

2 Отбрасываем связи АВ и ВС, заменяя их усилиями в стержнях . Направления усилий примем от угла В, предполагая стержни растянутыми. Выполним на отдельном чертеже схему действия сил в точке В (рисунок 2).

3 Выбираем систему координат таким образом, чтобы одна из осей совпадала с неизвестным усилием, например, с _А. Обозначаем на схеме углы, образованные действующими силами с осью Х и составляем углы, образованные действующими силами с осью Х и составляем уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил:

; F₂cos 75⁰+F₁cos 45⁰+S_ccos 75⁰-S_А=0 (1);

; F₂cos 15⁰-F₁cos 45⁰-S_ccos 15⁰=0 (2).

F2

Рисунок - 2

Из уравнения (2) находим усилие Sс:

Подставляем числовые значения:

Найденное значение Sс подставляем в уравнение (1) и находим из него значение S_А:

S_А= 42*0,259+28*0,707+21,51*0,259=36,24 кН.

Окончательно S_A =36,24 кН, S_с=21,51 кН; знаки указывают, что оба стержня растянуты.

2 Графическое решение

Выбираем масштаб сил , тогда силы будут откладываться отрезками ; .

Из произвольно выбранной точки 0 откладываем отрезок, соответствующий величине и направлению силы . Из конца этого отрезка откладываем отрезок . Так как условием равновесия сходящейся системы сил является замкнутость силового многоугольника, то из начала отрезка откладываем линию, параллельную вектору , а из конца отрезка откладываем линию, параллельную вектору . Точка их пересечения является вершиной силового многоугольника (рисунок 3).

Рисунок - 3

Измеряя отрезки и и, умножая их на масштаб находим значения S_А и S_С:

;

.

Вычислим допущенную при графическом способе решения ошибку:

(Ошибка находится в пределах 2%).

Ответ:

а) аналитическое решение:

б) графическое решение:

ЗАДАЧА 2

Для двухопорной балки определить реакции опор

Вариант	F1, кН	F2, кН	М, кНм	ℓ1, м	ℓ2, м	ℓ3, м
				2,0 4,0 5,0 2,0 3,0 1,0 2,0 1,0 4,0 1,5	6,0 4,0 3,0 3,0 3,0 4,0 5,0 6,0 3,0 4,5	2,0 2,0 2,0 5,0 4,0 5,0 3,0 3,0 3,0 4,0

ПРИМЕР 2 Определить реакции опор двухопорной балки (рисунок - 4)

Дано: F₁=24 кН; F₂=36 кН; m₁=18 кНм; m₂=24 кНм; ℓ₁=2,0 м; ℓ₂=3,0 м; ℓ₃=3,0 м

Определить реакции опор R_АУ и R_ВУ

Рисунок - 4

Решение:

1 Обозначаем опоры буквами А и В. Отбрасываем связи (опоры А и В), заменяем их действие реакциями. Так как задана параллельная система сил, то реакции в опорах будут только вертикальные А и В. Выбираем систему координат ХУ с началом в левой опоре и чертим расчетную схему балки (рисунок 5)

Рисунок - 5

2 Для полученной плоской параллельной системы сил составляем уравнение равновесия:

F₁*2.0+m₁+F₂*3.0-m₂-Rву*0,6=0 (3)

F₁*8,0+m₁+R_АУ*6.0-F₂*3.0-m₂=0 (4)

3 Решаем систему уравнений.

Из уравнения (3) находим R_ВУ:

Rву =

Из уравнения (4) находим R_АУ:

4 Для проверки правильности решения составим сумму протекций всех сил

на ось У

то есть реакции определены верно.

ЗАДАЧА 3

Для заданных сечений, состоящих из прокатных профилей и полосы b×h, определить положение центра тяжести.

Вариант	Двутавр	b, см	h, м	Швеллер
		20,0	1,2
		18,0	1,5
		24,0	1,8
		28,0	2,0	18а
		24,0	1,8	22а
		20,0	1,5	24а
		15,0	1,2
	24а	12,0	1,0
	18а	24,0	2,0
	22а	21,0	2,4

ПРИМЕР 3.

Определить координаты центра тяжести сечения. Сечение состоит из двутавра № 18, швеллера № 18 и пластины 200*60 (рисунок-6)

Рисунок - 6

1 Разобьем сечение на профили проката. Оно состоит из двутавра № 18, швеллера № 18 и пластины 200*60. обозначим их 1, 2, 3.

2 Укажем центры тяжести каждого профиля, используя таблицу приложения, и обозначим их С₁, С₂, С₃, проведем через них оси Х₁, Х₂, Х₃.

3 Выберем систему координатных осей. Ось Y совместим с осью симметрии, а ось Х проведем через центр тяжести двутавра.

4 Определим центр тяжести всего сечения. Так как ось Y совпадает с осью симметрии, то она проходит через центр тяжести сечения, потому Хс=0. Координату Yс определим по формуле:

Пользуясь таблицами ГОСТ 8239-89, ГОСТ 8240-89, ГОСТ 8510-86, ГОСТ 8509-86, определим координаты центров тяжести

А₁ = 20,7 см² 7,57 см

А₂ = 23,4 см² y₂ = 0

А₃ = 20*6 = 120 см² -12 см

Координата у₂ равна нулю, так как ось Х проходит через центр тяжести двутавра. Подставим полученные значения в формулу для определения у_С:

-7,82 см

1 Укажем центр тяжести сечения на рисунке и обозначим его буквой С. Покажем расстояние у_С = -7,82 см от оси Х до точки С.

2 Определим расстояние между точками С и С₁, С и С₂, С и С₃, обозначим их а₁, а₂, а₃:

а₁ = у₁ + у_С = 7,57 + 7,82 = 15,39 см

а₂ = у_С = 7,82 см

а₁ = у₃ - у_С = 12 - 7,82 = 4,18 см

3 Выполним проверку. Для этого ось Х проведем по нижнему краю пластины. Ось Y оставим, как в первом решении. Формулы для определения х_С и у_С не изменятся:

х_С = 0,

Площади профилей останутся такими же, а координаты центров тяжести двутавра, швеллера и пластины изменятся.

А₁ = 20,7 см² 22,57 см

А₂ = 23,4 см² 15 см

А₃ = 20*6 = 120 см² 3 см

Находим координату центра тяжести:

7,18 см

По найденным координатам х_С и у_С наносим на рисунок точку С. Найденное двумя способами положение центра тяжести находится в одной и той же точке. Сумма координат у_С, найденных при первом и втором решении: 7,82 + 7,18 = 15 см

Это равно расстоянию между осями Х при первом и втором решении:

18/2 + 6 = 15 см.

ЗАДАЧА 4

По оси ступенчатого бруса приложены силы и . Необходимо построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, определить абсолютную деформацию бруса. Принять Е = 2,1 * 10⁵ МПа.

Вариант	F1, кН	F2, кН	l1, м	l2, м	l3, м	А, см2
			1,0	1,2	1,4	4,0
			1,2	1,4	1,6	6,0
			1,4	1,6	1,8	3,5
			1,6	1,8	2,0	4,5
			1,8	1,6	1,4	4,0
			2,0	1,4	1,2	6,5
			1,8	2,0	2,4	7,5
			1,6	1,4	1,2	6,0
			1,4	1,2	1,0	5,0
			1,2	1,4	1,6	4,0

ПРИМЕР 4

Для данного ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Определить абсолютное удлинение (укорочение) бруса (рисунок 7)

Дано:

, , м, м, м, А=3,2 см ², Е=2,1*10⁵ МПа

87,5

		-
	-
		Z

Рисунок - 7

Решение

1 Проводим ось Z в сторону свободного конца бруса и определяем реакцию заделки :

2 Разбиваем брус на участки, границы которых определяются сечениями, где изменяется площадь поперечного сечения или приложены внешние силы. На каждом из участков проводим характерные сечения 1-1, 2-2, 3-3. С помощью метода сечений определяем продольные силы на каждом из участков бруса: мысленно рассекаем брус в пределах первого участка сечения 1-1, отбрасываем верхнюю часть бруса и заменяем ее действие продольной силой N₁ (рисунок 7) для оставшейся части составляем уравнение равновесия:

Аналогично находим N₂ и N₃:

сечение 2-2 (рисунок 7)

;

сечение 3-3 (рисунок 7)

.

По найденным значениям продольной силы строим соответствующую эпюру. Для этого параллельно оси бруса проведем базовую (нулевую) линию. Левее ее откладываем отрицательные значения N, соответствующие сжатому участку, а правее – положительные значения N, соответствующие растянутому участку (рисунок - 7).

Определяем нормальные напряжения в характерных сечениях бруса по формуле:

;

.

Строим соответствующую найденным значениям эпюру σ (рисунок - 7)

4 Определяем абсолютное удлинение бруса.

В соответствии с законом Гука:

где Е=2,1*10⁵ МПа – модуль продольной упругости для стали.

Складывая удлинение участков, получим:

Учитывая, что I м=10³мм, будем иметь:

(87,5*2,4+43,75*2,2-112,5*2,0)=0,39 мм.

Таким образом, абсолютное удлинение бруса = 0,39 мм.

ЗАДАЧА 5

По данным задачи 2 для двухопорной балки построить эпоры поперечных сил Qу и изгибающих моментов М_х. Подобрать сечение стального двутавра, приняв

[σ] = 160 МПа.

ПРИМЕР 5

Для двухопорной балки построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М. Подобрать сечение стального двутавра, приняв [σ] = 160 МПа.

Дано: F₁=24 kH; F₂=36 кН; m₁=18 кНм;

m₂=24 кНм; =2.0 м; м; м.

Рисунок - 8

Решение

1 Составляем уравнение равновесия параллельной системы сил, из которых определяем опорные реакции балки:

(5)

(6)

Из уравнения (6) находим R_AУ:

Из уравнения (5) находим В:

Проверяем правильность определения опорных реакций, составляя сумму проекций всех сил на ось У:

то есть реакции определены верно.

2 Определяем значения поперечной силы Q в характерных сечениях балки, которые обозначим цифрами 1, 2, 3, 4 (рисунок 8 а)

Q₁=Q₂^лев=F₁=24 кН;

Q₂^прав=Q₃^лев=F₁+R_АУ=24-13=11 кН;

Q₃^2прав=Q₄=F₁+R_АУ-F₂= -R_ВУ= -25 кН.

По найденным значениям строим эпюру, поперечных сил Q (рисунок 8 б).

3 Аналогично определяем значения изгибающего момента М в характерных сечениях балки:

М₁=0;

М₂^лев=F₁*2.0=48 кНм

М₂^прав=М₂^лев+m₁=48+18=66 кНм;

М₃=F₁*5.0+m₁+R_АУ*3,0=120+18-39=99 кНм;

М₄=m₂=24 кНм.

По найденным значениям строим эпюру изгибающих моментов М (рисунок 8 в).

4 По эпюре изгибающих моментов определяем положение опасного сечения балки (сечение, в котором изгибающий момент имеет наибольшее по абсолютной величине значение). В нашем случае – это сечение 3, где М₃=М_maх=99 кНм. Из условия прочности балки на изгиб вычисляем необходимый осевой момент сопротивления:

.

В соответствии с ГОСТ 8239-89 принимаем сечение из стального двутавра № 33 с Wх=597 см³. Имеем перенапряжение:

< 5%

что находится в разрешенных пределах (менее 5%).

Ответ: сечение балки двутавр № 33.