Векторы, производные и интегралы

Содержатся методические рекомендации по изучению курса физики и решению задач по механике, молекулярной физике и термодинамике. Представлен набор задач различного уровня сложности для аудиторной и самостоятельной работы студентов. В приложении приведены необходимые справочные данные.

Методические указания предназначены для студентов первого курса технических вузов.

Библиогр.: 5 назв. Табл. 8. Рис. 4. Прил. 1.

Рецензенты:

________________________

© Омский гос. университет

путей сообщения, 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение. 5

1. Механика. 6

1.1. Векторы, производные и интегралы.. 6

1.2. Поступательное движение абсолютно твердого тела (АТТ) 7

1.2.1. Кинематика частицы и поступательного движения АТТ. 7

1.2.2. Динамика частицы и поступательного движения АТТ. 11

1.3. Вращение АТТ вокруг неподвижной оси. 13

1.3.1. Кинематика вращения АТТ вокруг неподвижной оси. 13

1.3.2. Момент силы. Момент инерции и момент импульса АТТ. 15

1.3.3. Основной закон динамики вращения АТТ вокруг неподвижной оси. 19

1.4. Механическая работа. Энергия. Законы сохранения в механике. 20

1.4.1. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии. 20

1.4.2. Закон сохранения импульса. Столкновение частиц. 24

1.4.3. Закон сохранения момента импульса. 27

1.5. Элементы специальной теории относительности. 29

2. Молекулярная физика и термодинамика. 31

2.1. Уравнение состояния идеального газа. Закон Дальтона. 31

2.2. Распределения Максвелла и Больцмана. 33

2.3. Первый закон термодинамики. Адиабатный процесс. 35

2.4. Теплоемкость. Энтропия. Цикл Карно. 37

Библиографический список. 40

Приложение. 42

ВВЕДЕНИЕ

Данные методические указания к решению задач по курсу общей физики помогут студентам изучить этот интереснейший предмет. Программа курса построена таким образом, чтобы студенты не только приобрели определенные знания, но и научились применять их на практике. Решение задач для реализации этой цели является совершенно необходимым.

Как научиться решать задачи?

Перед решением задач сначала нужно изучить теоретический материал по соответствующей теме, затем внимательно прочитать условие задачи и понять, к какому разделу физики относится рассматриваемая задача, какое явление она описывает и какой процесс изучает. После этого следует переписать в тетрадь условие задачи полностью и кратко (столбиком), правильно обозначить используемые величины и рационально расставить индексы (это рекомендуется сделать после того, как выполнен рисунок). Значения величин, приведенные в задаче, следует перевес-ти в «основные» единицы СИ (например, граммы – в килограммы, километры – в метры и т. д.).

Для решения задачи по механике необходимо выполнить рисунок и удачно выбрать систему отсчета (векторы на рисунке следует изображать длинными стрелками), построить проекции векторов на выбранные оси координат и выписать подходящие формулы. Иногда для наглядности полезно подчеркнуть известные и неизвестные величины, при необходимости найти дополнительные уравнения, если неизвестных больше, чем уравнений. Решать задачи следует только в общем виде. Численные значения величин рекомендуется подставлять в расчетную формулу после того, как получено алгебраическое выражение для искомой величины. Для выполнения расчетов необходимо научиться эффективно использовать микрокалькулятор, освоить операции со скобками, ячейками памяти и т. д.

Иногда бывает полезно систематизировать проведенные математические преобразования, проанализировать их, поискать более рациональное решение после получения ответа в трудной задаче, еще раз вернуться к ее решению. Re-petitio est mater studiorum (лат.) – гласит пословица, что означает: повторение – мать учения.

В задачах для самостоятельного решения цифра, стоящая в скобках после номера задачи, обозначает степень сложности задачи.

МЕХАНИКА

Векторы, производные и интегралы

Физические величины можно разделить на два типа: скалярные и векторные. Скалярные величины (масса, длина, работа, электрический заряд и др.) полностью характеризуются одним числовым значением. Векторные величины (перемещение, скорость, сила, импульс, момент силы и др.) характеризуются тремя числами (проекциями вектора на ось) или числовым значением (модулем) и направлением в пространстве (ортом). Геометрический образ вектора – это направленный отрезок прямой.

Над векторами можно выполнить пять алгебраических действий: сложение, вычитание, умножение вектора на число, скалярное произведение, векторное произведение (обратите внимание на отличие этих действий от четырех арифметических действий).

В курсе механики решаются задачи не только на равномерное и равно­ускоренное движение тел (как в курсе средней школы), но и задачи с произ­вольной зависимостью ускорения тела от времени, решение которых основано на вычислении производных и интегралов функций.

Задачи

1.(1) Выбрать правильные и ошибочные записи: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15)

2.(1) Путешественник движется со скоростью 1,6 на северо-восток, ориентируясь по компасу. Угол между направлением его скорости и направлением на восток равен 30°. Найти проекции скорости движения туриста на координатные оси, направленные с запада на восток и с юга на север.

3.(1) Скорость камня, брошенного горизонтально, в некоторый момент времени составила угол 30° к горизонту, при этом ее модуль стал равен 18 м/с. Найти проекции скорости на горизонтальную (направленную по начальной скорости) и вертикальную (направленную вверх) оси.

4.(2) На лыжника, спускающегося с горы, наклон которой к горизонту сос-тавляет 30°, действуют три силы: сила тяжести, направленная вертикально вниз; сила реакции опоры, направленная перпендикулярно поверхности горы вверх; сила трения, направленная противоположно направлению движения лыжника. Найти проекции этих векторов на ось Ox, направленную вдоль наклонной плоскости вниз, и на ось Oy, направленную перпендикулярно поверхности горы вверх.

5.(1) Гуляя по Москве, турист прошел 0,43 км по Тверской, а затем, свернув под прямым углом на Театральный проезд, прошел еще 0,32 км. Чему оказалось равным перемещение туриста?

6.(1) Два корабля движутся расходящимися под углом 30° курсами со скоростями 18 и 24 км/ч. Найти относительную скорость кораблей.

7.(2) Найти равнодействующую сил, названных в задаче 4.

8.(1) Найти работу силы в 30 Н, действующей на небольшое тело под углом 30° к горизонту, при перемещении тела на 0,35 м по горизонтали.

9.(1 – 3) Для функций f(x) найти производную, интеграл и вычислить значение определенного интеграла на интервале от 0 до 1:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

10.(2, 3) Найти частные производные функций нескольких переменных по каждому аргументу функции:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .