Выборочная функция распределения

Выборочное исследование

Статистическое наблюдение можно организовать как сплошное и несплошное. Сплошное наблюдение предусматривает обследование всех единиц изучаемой совокупности, несплошное - лишь ее часть. К несплошному наблюдению относится выборочное наблюдение. Цель выборочного наблюдения состоит в том, чтобы по характеристикам выборочной совокупности судить о характеристиках генеральной совокупности.

Способ отбора - порядок отбора единиц из генеральной совокупности. Различают два вида:

1) повторный;

2) бесповторный.

Повторный отбор - отобранную единицу после обследования возвращают в генеральную совокупность, и она снова участвует в отборе. Численность генеральной совокупности при этом все время остается неизменной, а вероятность попадания каждой единицы в выборку постоянной.

Бесповторный отбор - отобранные однажды единицы в генеральную совокупность не возвращаются. Вероятность попадания отдельных единиц в вы­борку увеличивается по мере производства отбора.

В зависимости от методики формирования выборочной совокупности различают следующие виды выборки.

Простая случайная выборка - отбор, при котором единицы отбираются из генеральной совокупности наудачу. Этот выбор осуществляется двумя путями: жеребьевкой; с помощью таблиц случайных чисел.

Механическая выборка - вид отбора, при котором наблюдению подвергаются единицы, равно отстоящие друг от друга (отбирается каждая пятая единица, каждая десятая). Если единицы генеральной совокупности располагаются в случайном порядке, не зависящем от изучаемого признака, механическая выборка называется несистематической. Если единицы генеральной совокупности расположены в порядке увеличения или уменьшения изучаемого признака, механическая выборка называется систематической.

При механической выборке учитывается шаг отсчета и начало отсчета. Шаг отсчета - расстояние между соседними отбираемыми единицами. Он определяется делением численности генеральной совокупности на объем выборки h = N /n. Начало отсчета - номер единицы, которая должна быть отобрана первой.

Типическая выборкаприменятся для совокупности, не являющейся однородной по изучаемому признаку. При этом генеральную совокупность раз­бивают на однородные группы (типы) по изучаемому признаку. Затем из каждой группы отбирается определенное число единиц.

При пропорциональной выборке из каждой группы отбирают число единиц, пропорциональное удельному весу данной группы в генеральной совокупности. Стандартная ошибка непропорциональной выборки зависит от величины средней из групповых дисперсий .

Серийная выборка- из генеральной совокупности отбираются не единицы, подлежащие обследованию, а группы (серии, гнезда) единиц.

При проведении социальных исследований используют следующие способы формирования выборочной совокупности:

- механический отбор;

- типологический (стратифицированный) отбор;

- серийный отбор;

- многоступенчатый (скрининговый) отбор;

- когортный метод;

- метод отбора копи-пар.

Формирование выборочной совокупности (выборки) позволяет получить такую совокупность единиц наблюдения, которая по интересующим исследователя признакам дает представление о генеральной совокупности. Для этого выборка должна быть репрезентативной (представительной).

Репрезентативность выборки - соответствие характеристик, получаемых в результате выборочного наблюдения, аналогичным показателем генеральной совокупности.

При проведении выборочного исследования нельзя получить абсолютно точные данные, как при сплошном наблюдении. Обусловлено это тем, что наблюдению подвергается не вся совокупность, а только ее часть. Поэтому при проведении выборочного исследования неизбежна некоторая погрешность (ошибки). Ошибки, свойственные выборочному исследованию, называются ошибками выборки.

Ошибка выборки - расхождение между характеристиками выборочной и генеральной совокупностей. Как правило, она возникает в результате нарушения методологических принципов отбора единиц наблюдения при формировании выборочной совокупности и вызвана объективным различием целого (генеральной совокупности) и его части (выборки).

Наибольшая из возможных ошибок выборки Δ называется предельной ошибкой выборки, которая рассчитывается по формуле:

где S²- оценка дисперсии σ², вычисляемая по выборке х₁ х₂, х_n.

Средней ошибкой выборки (μ) называют различие между средними выборочной и генеральной совокупностями, которая по модулю не превышает σ.

Тогда коэффициент доверия t характеризует ее кратность. В случае когда генеральная совокупность имеет конечный объем N, в среднюю ошибку выборки μ вводят поправочный коэффициент

На формулах расчета предельной ошибки выборки основан способ определения численности выборки, обеспечивающей заданную точность оценки. Из формулы для предельной ошибки:

следует:

В случае генеральной совокупности конечного объема N аналогично можно найти:

следовательно,

При оценке вероятности р по относительной частоте ω из формулы:

следует:

Аналогично для генеральной совокупности конечного объема N получаем:

следовательно,

Таким образом, задав желаемую точность, т.е. указав предельную ошибку Δ, достаточный объем выборки n, обеспечивающий эту точность, можно найти по приведенным формулам. При n, больших найденного значения, точность увеличивается, поскольку предельная ошибка Δ уменьшается.

ВЫБОРОЧНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Полигоны частот и относительных частот можно, очевидно, строить для дискретного вариационного ряда. Однако для дискретного вариационного ряда можно также ввести понятие выборочной функции распределения F_n(x).

Пусть таблица дискретного вариационного ряда имеет вид:

где х₁ < х₂ <…< х_k, 1 ≤ k ≤ n, n₁- частота х₁, n₂> – частота х₂,…, n_k> – частота х_k, причем n₁+n₂+…+n_k=n.

Выборочной функцией распределения F_n(x)> называется ступенчатая функция следующего вида:

Выборочная функция F_n(x) является постоянной на каждом интервале (х_р, х_р+1), а в каждой точке х_р увеличивается на величину n_р/n , р=1,2,…, k-1. Кроме того, F_n(x) – неубывающая функция, 0 ≤ F_n(x) ≤ 1, F_n(-∞)=0, F_n(+∞)=1.

Таким образом, F_n(x) обладает теми же свойствами, что и функция распределения F(x) случайной величины.

Иногда функцию F_n(x) называют функцией накопленных относительных частот.