Главный момент количеств движения (импульса) системы

Главным моментом количеств движения (или кинетическом моментом) системы относительно данного центра О называется величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относи­тельно этого центра.

Аналогично определяются моменты количеств движения системы относительно координатных осей:

При этом представляют собою одновременно проекции вектора на координатные оси.

Подобно тому, как количество движения системы является характеристикой ее поступательного движения, главный момент количеств движения системы является характеристи­кой вращательного движения системы.

Рис.6

Чтобы уяснить механический смысл величины L₀ и иметь необхо­димые формулы для решения задач, вычислим кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижнойоси (рис.6).Приэтом, как обычно, определение вектора сводится к определению его проекций .

Найдем сначала наиболее важ­ную для приложений формулу, оп­ределяющую величину L_z, т.е. кине­тический момент вращающегося тела относительно оси вращения.

Для любой точки тела, отстоя­щей от оси вращения на расстоя­нии , скорость . Сле­довательно, для этой точки . Тогда для всего тела, вынося общий множитель ω за скобку, получим

Величина, стоящая в скобке, представляет собою момент инерции тела относительно оси z. Окончательно находим

Таким образом, кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

Если система состоит из нескольких тел, вращающихся вокруг одной и той же оси, то, очевидно, будет

Легко видеть аналогию между формулами и : количество движения равно произведению массы (величина, характеризующая инертность тела при поступательном движении) на скорость; кинети­ческий момент равен произведению момента инерции (величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении) на угловую скорость.

Пример 5.Маховое колесо начинает вращаться с угловым ускорением ε = 0,5 рад/с² и через время t₁ = 15 с после начала движения приобретает момент импульса L₁ = 70 кг∙м²/с. Найти кинетическую энергию W колеса и его момент импульса L₂ через время t₂ = 20 с после начала движения.

Решение.Угловая скорость махового колеса через время t₁ после начала вращения ω₁=εt₁. Поскольку момента импульса колеса L₁=Iω₁, то его момент инерции

Угловая скорость через время t₂ после начала вращения ω₂=εt₂.

Кинетическая энергия через время t₂ после начала вращения колеса равна

Момент импульса колеса через время t₂ после начала его вращения

Пример 6.Из ружья массой m₁ = 5 кг вылетает пуля массой m₂ = 5 г со скоростью v₂ = 600 м/с. Найти скорость v₁ отдачи ружья.

Решение.

1) По закону сохранения импульса:

при этом то:

Ответ:Скорость отдачи ружья составляет 0,6 м/с.