Приклади розв’язання задач

Приклад 1 Матеріальна точка рухається прямолінійно з прискоренням Приклади розв’язання задач - student2.ru =5 м/c2. Визначити, на скільки шлях, пройдений точкою за Приклади розв’язання задач - student2.ru -ну секунду, буде більший за шлях, пройдений за попередню секунду (рис.2). Припустити, що Приклади розв’язання задач - student2.ru =0.

 
  Приклади розв’язання задач - student2.ru

Рисунок 2 - Шляхи, що проходить тіло за n, n-1 та n-ну секунди

Розв’язання.При рівноприскореному русі шлях, що проходить тіло за будь-який час Приклади розв’язання задач - student2.ru , у випадку якщо початкова швидкість дорівнює нулю, визначається виразом

Приклади розв’язання задач - student2.ru . (1)

За n секунд тіло подолало шлях

Приклади розв’язання задач - student2.ru , (2)

за n-1 секунд

Приклади розв’язання задач - student2.ru . (3)

Тоді за n-ну секунду тіло пройшло шлях, що дорівнює різниці між цими відстанями (рис.1). Відповідний вираз знайдемо як різницю між співвідношеннями (2) і (3)

Приклади розв’язання задач - student2.ru . (4)

Аналогічний вигляд має вираз для шляху, що пройдений за (n-1) - шу секунду:

Приклади розв’язання задач - student2.ru . (5)

Нарешті, знайдемо різницю шляхів:

Приклади розв’язання задач - student2.ru Приклади розв’язання задач - student2.ru , (6)

звідси Приклади розв’язання задач - student2.ru м.

Відповідь: Приклади розв’язання задач - student2.ru м.

Приклад 2 Матеріальна точка рухається в площині (xy) згідно з рівняннями Приклади розв’язання задач - student2.ru і Приклади розв’язання задач - student2.ru де Приклади розв’язання задач - student2.ru =7 м/с, Приклади розв’язання задач - student2.ru =-2 м/с Приклади розв’язання задач - student2.ru Приклади розв’язання задач - student2.ru =-1 м/с, Приклади розв’язання задач - student2.ru =0,2 м/с Приклади розв’язання задач - student2.ru Знайти модулі швидкості і прискорення точки в момент часу Приклади розв’язання задач - student2.ru =5 с.

Розв’язання. Визначимо проекції швидкості та прискорення на напрямки х та у. Оскільки за визначенням швидкість і прискорення тіла – це відповідно перша і друга похідні за часом від координати, одержимо

Приклади розв’язання задач - student2.ru Приклади розв’язання задач - student2.ru ,

Приклади розв’язання задач - student2.ru ,

Приклади розв’язання задач - student2.ru .

Знаючи проекції швидкості і прискорення, легко знайти модулі цих величин (рис.3). Для цього скористаємося теоремою Піфагора

Приклади розв’язання задач - student2.ru , (7)

Приклади розв’язання задач - student2.ru . (8)

Після підстановки числових значень величин у співвідношення (7) та (8) отримаємо

 
  Приклади розв’язання задач - student2.ru

Рисунок 3- Швидкість тіла та її проекції

Приклади розв’язання задач - student2.ru

Приклади розв’язання задач - student2.ru м/с.

Приклади розв’язання задач - student2.ru м/с2.

Відповідь: u= 13,1 м/с; а = 4,02 м/с2.

Приклади розв’язання задач - student2.ru Приклад 3 Тіло обертається навколо нерухомої осі за законом Приклади розв’язання задач - student2.ru , де А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = =-2 рад/ Приклади розв’язання задач - student2.ru (рис.4). Знайти повне прискорення точки, що знаходиться на відстані r = 0,1 м від осі обертання, для моменту часу t = 4 с.

Рисунок 4 – Тангенціальне та нормальне прискорення тіла при русі по колу

Розв’язання. Повне прискорення а точки, що рухається вздовж кривої лінії, може бути знайдене як геометрична сума тангенціального прискорення Приклади розв’язання задач - student2.ru , направленого по дотичній до траєкторії, і нормального прискорення Приклади розв’язання задач - student2.ru , направленого до центру кривини траєкторії (рис.4):

Приклади розв’язання задач - student2.ru .

Оскільки вектори Приклади розв’язання задач - student2.ru і Приклади розв’язання задач - student2.ru взаємно перпендикулярні, то модуль прискорення дорівнює

Приклади розв’язання задач - student2.ru . (9)

Модулі тангенціального і нормального прискорення точки тіла, що обертається, визначаються формулами

Приклади розв’язання задач - student2.ru (10)

де Приклади розв’язання задач - student2.ru - модуль кутової швидкості тіла; Приклади розв’язання задач - student2.ru - модуль його кутового прискорення; Приклади розв’язання задач - student2.ru – відстань від точки до осі обертання. Підставляючи співвідношення (10) у формулу (9), одержимо

Приклади розв’язання задач - student2.ru . (11)

Кутову швидкість Приклади розв’язання задач - student2.ru знайдемо, взявши першу похідну від кута повороту тіла за часом

Приклади розв’язання задач - student2.ru

У момент часу t = 4 с модуль кутової швидкості дорівнює

Приклади розв’язання задач - student2.ru рад/с.

Кутове прискорення знайдемо, узявши першу похідну від кутової швидкості за часом

Приклади розв’язання задач - student2.ru рад/с2.

Наши рекомендации