Приклади розв’язання задач.

Приклад 1. Побудувати ряд розподілу суми очок на кістці доміно. Знайти моду, математичне сподівання, дисперсію і стандартне відхилення суми очок.

Розв’язання. Як відомо, кістка доміно має два поля, на яких знаходяться числа від 0 до 6. Всього кісток 28, а сума очок на кістці приймає цілі значення від 0 до 12. Усі можливі комбінації чисел на кістці і відповідні суми очок зручно подати за допомогою таблиці, яка наведена нижче.

У першому рядку таблиці розташовані числа очок на одному полі, а у першому стовпчику на другому полі. У полі таблиці знаходяться суми очок на кістці. Половину (нижню) таблиці залишено порожньою внаслідок симетрії суми числа очок.

 
 
   
     
       
         
           

Ймовірність числа очок і (на основі класичного означення ймовірності визначається за формулою)

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

де Ni – число кісток (клітинок у таблиці), що містять суму і (і=1…6), N – загальне число кісток (N=28).

Шляхом підрахунку клітинок визначаємо Ni для і=1…6 і розраховуємо відповідні ймовірності. Ряд розподілу суми очок і подано у наступній таблиці:

і
Ni
P(i) Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Мода mрозподілу, тобто значення випадкової величини, якому відповідає найбільша ймовірність, дорівнює

m = 6,

а відповідна ймовірність

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Математичне сподівання Мсуми очок розраховуємо за формулою

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Підставляючи чисельні значення з таблиці, знаходимо:

M(i)=6.

Дисперсія D(i) суми очок розраховується за формулою

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Підставляючи чисельні значення з таблиці, знаходимо:

D(i)=9.

Стандартне σ(i) відхилення суми очок дорівнює

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Приклад 2. Дискретна випадкова величина Х задана наступним рядом розподілу:

Xi
P(Xi) 0.1 0.2 0.5 0.2

Записати функцію розподілу випадкової величини, визначити її математичне сподівання та дисперсію. Визначити ймовірність приналежності випадкової величини проміжку [1.5;5.4]

Розв’язання. Функція F(x)розподілу випадкової величини співставляє кожному значенню аргументу (неперервного !) ймовірність того, що випадкова величина буде меншою від аргументу функції. Усі можливі значення даної дискретної випадкової величини наведені у рядку розподілу. Можливі значення випадкової величини Х розбивають область визначення D(F(x))аргументу функції розподілу F(x)на 5 проміжків:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Визначимо функцію розподілу на кожному з цих проміжків. Виходимо з того, що ряд розподілу містить усі можливі значення випадкової величини.

Очевидно, випадкова величина ніяк не може прийняти значення, менше ніж і. Це означає, що подія X<1є неможливою, тобто P(X<1)=0, або

F(x)=0 при Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Значень випадкової величини, менших від чисел із проміжку [1;2], існує рівно одне – це Х = 1 , яке має ймовірність 0,1. Отже, подія X<x при 1<x<2 виникає з ймовірністю 0,1, тобто для функції розподілу маємо

F(x)=0.1 при Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Переходимо до наступного проміжку значень аргументу 1<x<5. Значень випадкової величини, менших ніж, будь-яке число із проміжку [2;5], існує два: це X = 1та Х = 2,які мають ймовірності відповідно 0,1 та 0,2. Отже, подія X<xна проміжку 1<x<5 є об’єднанням подій X = 1або Х = 2, які є несумісними і незалежними. Таким чином, за теоремою додавання ймовірностей маємо на проміжку [1;2]:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

або

Приклади розв’язання задач. - student2.ru при Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Аналогічним шляхом для значень х із проміжку [5;6] встановлюємо, що є три можливих значення випадкової величини, які задовольняють умові X<x:

X = 1, X = 2 та Х = 5, - так що випадкова подія X<x при 5<x<6 є об’єднанням трьох несумісних подій X = 1, X = 2 та Х = 5 , а її ймовірність визначається за формулою додавання ймовірностей:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

або

Приклади розв’язання задач. - student2.ru при Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Нарешті, для будь-якого значення х із проміжку Приклади розв’язання задач. - student2.ru подія X<x є достеменною, тобто виконується завжди (немає значень випадкової величини більших за 6). Ймовірність достеменної події дорівнює 1, отже на проміжку x>6 маємо

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

або

Приклади розв’язання задач. - student2.ru при Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Остаточно записуємо функцію розподілу:

при x<1; при 1<x<2; при 2<x<5; при 5<x<6; при x>6;
Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Математичне сподівання Мсуми очок розраховуємо за формулою

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Підставляючи чисельні значення з таблиці, знаходимо:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Дисперсія D(i) суми очок розраховується за формулою

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Підставляючи чисельні значення з таблиці, знаходимо:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Ймовірність того, що значення випадкової величини Х буде знаходитись у проміжку [x1;x2], розраховується за формулою =

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

де F(x) – функція розподілу випадкової величини.

За побудованою вище функцією розподілу знаходимо:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru

І обчислюємо шукану ймовірність

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Приклад 3. Час t виготовлення лікарського препарату провізором є рівномірно розподіленою випадковою величиною на інтервалі від 10 до 25 хвилин. Знайти:

а) Вираз функції густини розподілу та вираз функції розподілу часу виготовлення препарату;

б) середній час виготовлення препарату та його дисперсію і стандартне відхилення;

в)ймовірність того, що препарат буде виготовлено за час не більше 15 хвилин.

Розв’язання а) Функцію густини розподілу часу виготовлення препарату f(t) визначаємо, виходячи з означення рівномірного розподілу : за межами проміжку [10 хв; 25 хв.] густина розподілу дорівнює нулю, а в межах цього проміжку вона є оберненою величиною до ширини проміжку, тобто

Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Функція розподілу F(τ) визначається шляхом інтегрування функції густини розподілу f(t) в межах від -∞ до τ

F(τ)= Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Інтегруючи окремо по інтегралах визначення функції густини розподілу, знаходимо:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru F(τ)= Приклади розв’язання задач. - student2.ru

б) Середній час виготовлення препарату T визнаається як його матиматичне сподівання:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Дисперсія D(t) часу виготовлення дорівнює:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Стандартне відхилення Приклади розв’язання задач. - student2.ru 1 часу виготовлення препарату дорівнює:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

а) Ймовірність того, що час виготовлення препарату буде в межах від t1 до t2 може бути визначена за допомогою функції розділу за формулою

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

або за допомогою функції густини розподілу за формулою

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Скористаємось першою формулою. Умова “час виготовлення препарату не більше 15 хв.” Означає, що час виготовлення препарату належить до інтервалу [- Приклади розв’язання задач. - student2.ru ;15]:

t Приклади розв’язання задач. - student2.ru [- Приклади розв’язання задач. - student2.ru ;15]

За знайденою у п.б.) функцією розподілу визначаємо:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Шукана ймовірність дорівнює:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклад 6.4. Неперервна випадкова величина X задана функцією густини розподілу ймовірності

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

а) Знайти константу а і вираз функції розподілу.

Розв’язання а)Константу а визначаємо за допомогою умови нормування:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Проінтегруємо функцію густини розподілу:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

У відповідності з умовою нормування звідси отримуємо рівняння

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Звідки

а=2.

Отже, функція густини розподілу є

Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Інтегруючи функцію густини розподілу по трьох інтервалах області визначення, знаходимо функцію розподілу ймовірності величини Х:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Приклад 6.5. За добу у пологовому будинку народжено 5 немовлят. Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,52. Знайти ймовірність того, серед народжених

а) рівно троє хлопчиків;

б) не менше трьох дівчаток.

а) Знайти константу а і вираз функції розподілу

Розв’язання. Оскільки окремі народження є незалежними подіями і ймовірності народження хлопчика у кожному народженні є однаковими, то задача відповідає умовам випробувань Бернуллі (послідовні незалежні випробування).

Введемо позначення випадкових подій: А – народження хлопчика, А3 – народження трьох хлопчиків з п’яти дітей, В – народження дівчинки, Ві – народження і дівчаток з п’яти дітей, С – народження не менше трьох дівчаток з п’яти дітей.

За умовою маємо

Приклади розв’язання задач. - student2.ru Приклади розв’язання задач. - student2.ru

а) Ймовірність того, що серед народжених віно троє хлопчиків визначаємо за формулою Бернуллі:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

б) Подія С полягає у народженні або 3, або 4, або 5 дівчаток, які являють собою несумісні події, так що подія С є їх об’єднанням. Отже, у відповідності теоремою додавання ймовірностей і формулою Бернуллі, для ймовірності народження не менше трьох дівчаток маємо:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Приклад 6.6. В результаті вакцинації імунітет від захворювання формується ймовірність 0.999. Вакцинацію пройшли 4000 дітей. Яка ймовірність того імунітету не набуло двоє дітей?

Розв’язання. Ймовірність події “не набуття імунітету”, яку позначимо N, як події протилежної до події “набуття імунітету”, яку позначимо I,становить

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Оскільки число випробувань велике (4000) і ймовірність події “ненабуття імунітету” постійна і достатньо мала (0.001), то можна вважати, що число дітей, що це набули імунітету, описується розподілом Пуассона (закон рідкісних подій).

Ймовірність m-разового здійснення у серії n випробувань випадкової події, яка має розподіл Пуассона, визначається за формулою Пуассона:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

де Приклади розв’язання задач. - student2.ru - параметр розподілу,

n-число випробувань,

p-ймовірність здійснення події.

У нас n=4000, m=2, p=0.001, Приклади розв’язання задач. - student2.ru Підставляючи чисельні значення до формули Пуассона, знаходимо

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Приклад 6.7. Зріст жінок (см) має нормальний розподіл з математичним сподіванням Приклади розв’язання задач. - student2.ru см і стандартним відхиленням Приклади розв’язання задач. - student2.ru см. Яка частина жінок має зріст

а) менше 180 см;

б) в межах [160;175] см?

Розв’язання. Задана випадкова величина має нормальний розподіл N(166;6). Ймовірність приналежності випадкової величини Х, що має нормальний розподіл Приклади розв’язання задач. - student2.ruдо проміжку [x1;x2] дорівнює

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

де Приклади розв’язання задач. - student2.ru - функція розподілу ймовірності стандартного нормального розподілу N(0;1) (інтеграл ймовірності);

z – нормалізована змінна

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

а) Умова “зріст менше 180 см” означає приналежність зросту до інтервалу [- Приклади розв’язання задач. - student2.ru ;180]. Переходимо до нормалізованої змінної z, для чого обчислюємо її значення на межах інтервалу

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Знаходимо за таблицями значень функції Ф(z)

Ф(2,33)=0,99; Ф(- Приклади розв’язання задач. - student2.ru )=0.

Шукана ймовірність дорівнює

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

б) Переходимо до нормалізованої змінної:

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Знаходимо за таблицями значень функції Ф(z)

Ф(-1)=1-Ф(1)=1-0,841=0,159; Ф(1,5)=0,933

І розраховуємо шукану ймовірність

Приклади розв’язання задач. - student2.ru

Тема 3. Елементи математичної статистики.

Наши рекомендации