Раздел физики, в котором рассматривают законы равновесия и движения жидких и газообразных тел, а также их взаимодействие с твердыми телами, называют гидроаэромеханикой.

Характерное свойство жидких и газообразных тел – их текучесть, т.е. малая сопротивляемость деформации сдвига. В жидкости силы, действующие между молекулами, меньше чем в твердых телах, и быстро убывают с расстоянием. В газах при обычных условиях силы молекулярного взаимодействия настолько малы, что молекулы свободно и беспорядочно перемещаются по законам, близким к законам упругого удара и проявляются эти силы только при сближении молекул. В жидкости некоторая упорядоченность в расположении молекул наблюдается лишь вблизи каждой данной молекулы и в течение некоторого времени.

Иными словами, в обычных условиях жидкости не оказывают сопротивления изменению формы, но сохраняют свой объем, а газы не сохраняют ни формы, ни объема. Вследствие этого внешнее давление, производимое на жидкость или газ, передается ими во все стороны равномерно (закон Паскаля).

Гидроаэростатика – раздел механики, изучающий равновесие жидкостей и газов.

Гидроаэродинамика – раздел механики, изучающий движение жидкостей и газов под действием внешних сил.

Жидкости и газа рассматриваются в механике как сплошные среды, непрерывно заполняющие часть пространства.

Для изменения объема жидкости или газа требуются внешние силы, при этом в жидкости и газе возникают упругие силы. Эти упругие свойства характеризуются давлением.

∆f

∆S

Рассмотрим, как действуют силы внутри жидкости. Для этого проведем в некотором объеме жидкости, находящемся в равновесии, площадку ∆S (рис. 1.11). Вследствие упругости отдельные частицы жидкости действуют друг на друга и, в частности, на ∆S с силой, зависящей от степени сжатия жидкости.

Равнодействующая ∆f всех сил, с которыми жидкость действует на площадку ∆S, направлена по нормали к ней, т.к. в противном случае её нужно было разложить на две составляющие – нормальную и касательную. Рис. 1.11.

Касательная составляющая вследствие отсутствия упругости сдвига привела бы жидкость в движение, что противоречит условию неподвижности.

Силу, отнесенную к единице поверхности площадки ∆S, называют давлением:

Чтобы определить давление в точке, переходим к пределу:

(1)

Давление – скаляр, т.к. его величина не зависит от ориентации площадки, к которой отнесено давление. Давление в газах определяется аналогично.

Единицы давления:

СИ: Н/м² (Па – Паскаль)

Внесистемные единицы: 1 мм. рт. ст. = 133 Па

1 атм = 1,01·10⁵ Па

Гидростатика несжимаемой жидкости

h

S

P0

Fв

Fн

Силы, действующие в жидкости, делятся на массовые (объемные) и поверхностные (касательные). Массовая сила ( f )– сила, действующая на любой элемент объема жидкости (например – сила тяжести или вес жидкости). Поверхностные силы – это внешние силы, действующие на поверхность жидкости или на выделенный объем.

Рис. 1.12.

Если бы в жидкости не было бы объемных сил, то условием равновесия было бы постоянство давления во всем объеме.

Определим теперь давление внутри весомой несжимаемой жидкости. Выделим вертикальный цилиндр высотой h и площадью S (рис. 1.12). Рассчитаем силу, действующую на нижнюю и верхнюю поверхности цилиндра.

На верхнюю: F_B = p₀S

На нижнюю: F_H = pS

Еще на цилиндр действует сила тяжести:

mg = ρVg = ρhSg

Если цилиндр в равновесии, то результирующая R всех сил равна нулю: F_B + mg – F_H = 0

p₀S + ρhSg – pS = 0

p = p₀ + ρgh – гидростатическое уравнение (2)

Следствием неодинаковости давлений на разных уровнях в жидкостях и газах является наличие выталкивающей силы, определяемой законом Архимеда (287-212 гг. до н.э.):

На тело, погруженное в жидкость или газ, и омываемое со всех сторон действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости или газа в объеме погруженного тела.

Закон Архимеда используется при оценке плавучести и устойчивости кораблей.

Современная теория плавучести и остойчивости кораблей развита в трудах А. Н. Крылова, создавшего русскую научную школу кораблестроения.

Стационарное движение идеальной жидкости.

Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени.

поле скоростей

линия тока

Совокупность векторов или , заданных для всех точек пространства, называется полем скоростей (или ускорений).

Поле скоростей изображают следующим образом:

проводят в движущейся жидкости линии так, чтобы касательные к ним в каждой точке совпадали по направлению с .

Линия, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной, называется линией тока.

Линии тока проводят так, чтобы густота их была пропорциональна величине скорости в данном месте.

Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока.

Течение жидкости, при котором скорости в каждой точке потока, а также форма и расположение линий тока, не изменяются со временем, называется стационарным (установившимся).

Поток, в котором распределение скоростей меняется со временем, называется нестационарным.

Рассмотрим стационарное течение жидкости, происходящее без пузырьков и пустот.

Рис. 1.13

Такое течение должно удовлетворять закону сохранения массы: за один и тот же интервал времени ∆t через разные сечения трубки S₁ и S₂ должны проходить одинаковые массы жидкости:

v₁S₁ = v₂S₂ – уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости (3)

Теорема неразрывности:

Произведение величины скорости течения несжимаемой жидкости на величину поперечного сечения трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока.

Следствия из уравнения (3):

1) чем уже сечение трубки тока, тем больше v и наоборот;

2) при изменении сечения трубки тока частицы движутся с ускорением.

Применим закон сохранения энергии для выделенных объемов.

Изменение энергии ∆E рассматриваемого объема из 1 в 2 равно:

∆E = (E_p2 + E_k2) – (E_p1 + E_k1)

(4)

Т.к. силы трения отсутствуют, то изменение энергии должно равняться работе, совершаемой силами давления:

A = F₁ℓ₁ – F₂ℓ₂ = p₁S₁ℓ₁ – p₂S₂ℓ₂ (5)

Приравнивая (4) и (5), получим:

т.к. V₁ = V₂ = V, а , то:

– уравнение Бернулли(1738г.) (6)

Это уравнение связывает изменение давления с изменением скорости течения и геометрической высотой.

Уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения энергии для единицы объема жидкости:

– Е_к энергия единицы объема жидкости (динамическое давление);

ρgh – Е_п энергия единицы объема жидкости в поле силы тяжести (гидростатическое давление);

p – называется статистическим давлением жидкости на стенки трубы;

Уравнение Бернулли хорошо выполняется для реальных жидкостей, внутреннее трение в которых мало (вода, воздух).

Следствия:

1. Накдонная трубка тока постоянного сечения (v = const везде):

r·g·h₁ + p₁ = r·g·h₂ + p₂;

p₁ – p₂ = r·g·(h₂ – h₁)

Разность давлений в двух сечениях равна весу столба жидкостей между ними, т.е.

Δp = p₁ – p₂ – равно гидростатическому давлению.

2. Горизонтальная трубка тока переменного сечения:

В местах сужений, где скорость возрастает, статистическое давление уменьшается (и наоборот).

Вязкость. Силы внутреннего трения.

x vв   v2

При течении реальной жидкости или газа отдельные слои воздействуют друг на друга с силами, касательными к слоям, которые называются силами внутреннего трения. Свойства жидкости, связанные с наличием сил внутреннего трения называется вязкостью.

Рис. 1.14

Рассмотрим течение вязкой жидкости между двумя твердыми пластинами, из которых нижняя неподвижна, а верхняя движется со скоростью v_в (рис. 1.14). Условно представим жидкость в виде нескольких слоев 1,2,3…. Слой у дна, как бы прилипает, его скорость равна нулю. У верхнего слоя, прилипшего к пластине скорость максимальна. Слои воздействуют друг на друга. Например, слой 3 стремится ускорить 2, но испытывает торможение с его стороны, хотя со стороны 4 сам ускоряется. Т.е. нижележащий слой тормозит, а вышележащий слой ускоряет течение жидкости.

Если слои жидкости движутся с различными скоростями, то возникают силы взаимодействия между слоями и возникает дополнительно обмен количеством движения между ними в результате беспорядочного движения молекул. Молекулы, переходя из слоя в слой, изменяют их количество движения.

Это и является результатом возникновения внутреннего трения.

И. Ньютон дал выражение для силы внутреннего трения:

(7)

Отсюда следует, что сила внутреннего трения пропорциональна площади взаимодействующих слоев и тем больше, чем больше их относительная скорость.

η – коэффициент динамической вязкости (вязкость).

- называется градиентом скорости, который характеризует быстроту изменения величины скорости при переходе от слоя к слою в направлении нормальном к движению слоев.

[η] = кг/м·с в СИ;

η зависит от температуры жидкости (с ростом температуры уменьшается).

Вязкость проявляется не только при движении жидкости или газа по сосудам, но и при движении тел в жидкости или газе. При небольших скоростях тел, в соответствии с уравнением Ньютона, сила сопротивления движущемуся телу пропорциональна вязкости жидкости, скорости движения тела и зависит от размеров тела. Наиболее простой формой тела является шар. Для него силы внутреннего трения находятся следующим образом:

F_тр = 6πηrv– закон Стокса.

r- радиус шара, v- скорость его движения.

Различают два течения жидкости:

а) ламинарное (пластинчатое) – движение жидкости параллельными слоями, не перемешиваясь.

б) турбулентное (вихревое) – частицы жидкости движутся по искривленным случайно изменяющимся во времени траекториям.

Ламинарное течение – течение стационарное при небольших скоростях.

Турбулентное течение – течение нестационарное.

ламинарное

турбулентное

Характер изменения скорости течения в потоках можно представить схемами средних скоростей:

При ламинарном движении:

верхние слои жидкости из-за сил молекулярного притяжения прилипают к поверхности трубы и остаются неподвижными. Скорости последующих слоев увеличивается при увеличении расстояния от стенок трубы.

При турбулентном движении:

Частицы жидкости приобретают скорость перпендикулярную течению, следовательно могут переходить из слоя в слой. Скорость частиц жидкости быстро увеличивается по мере удаления от поверхности трубы, а затем практически не меняется, т.к. частицы свободно переходят от слоя в слой.

Английский учёный Рейнольдс установил, что характер течения зависит от значения безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса Re:

, (8)

где ρ – плотность жидкости (газа);

v – средняя скорость потока;

ℓ – геометрический размер сечения;

η – вязкость.

При малых Re – ламинарное течение, при больших – турбулентное.

Величина в уравнении (8) называется кинематической вязкостью ν.

Вопросы для самоподготовки

1. Что изучает гидроаэромеханика.

2. Что называется давлением.

3. Вывод гидростатического уравнения.

4. Условия плавания тел. Закон Архимеда.

5. Что такое линия тока, трубка тока.

6. Какое течение жидкости называется стационарным, нестационарным.

7. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости.

8. Вывод уравнения Бернулли.

9. Следствия из уравнения Бернулли.

10. Вязкость. Силы внутреннего трения.

11. Ламинарное и турбулентное течение.

12. Число Рейнольдса.

ЛЕКЦИЯ № 8